https://math-wiki.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Ofekgillon10Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]2026-05-12T23:21:10Zתרומות המשתמשMediaWiki 1.39.4https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=84296משתמש:Ofekgillon102020-05-23T11:09:07Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית-פיזיקה (תשעג-תשעו)<br />
<br />
תרגלתי את הקורס אופטיקה (86-246-04) בתשע"ו והקורס בחשמל ומגנטיות (86-120-05) בתשע"ח<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
להלן מפורטים הקורסים שלקחתי במהלך התואר הראשון שלי. את רוב הקורסים הבנתי רק הרבה אחרי המבחן, חלק קטן מהקורסים הבנתי במהלך לימודם, וחלק מהקורסים אני לא מבין עד היום...<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר גיל אריאל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| פרופ' יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|משוואות דיפרנציאליות רגילות]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גב' שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מר מיכאל רבינוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אוריינטציה לתלמידי מחקר</span><br />
| 86-431-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=84295משתמש:Ofekgillon102020-05-23T11:03:02Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית-פיזיקה (תשעג-תשעו)<br />
<br />
תרגלתי את הקורס אופטיקה (86-246-04) בסמסטר ב' תשע"ו והקורס בחשמל ומגנטיות (86-120-05) בתשע"ח<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר גיל אריאל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| פרופ' יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|משוואות דיפרנציאליות רגילות]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גב' שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מר מיכאל רבינוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אוריינטציה לתלמידי מחקר</span><br />
| 86-431-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=84294משתמש:Ofekgillon102020-05-23T11:00:41Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית-פיזיקה (תשעג-תשעו)<br />
<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר גיל אריאל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| פרופ' יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|משוואות דיפרנציאליות רגילות]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גב' שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מר מיכאל רבינוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אוריינטציה לתלמידי מחקר</span><br />
| 86-431-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99_%D7%94%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94&diff=82530אינפי 1/מערכי ההרצאה2019-11-12T19:43:58Z<p>Ofekgillon10: /* סדרות */</p>
<hr />
<div>בדף זה מופיע החומר של הקורס חשבון אינפינטסימלי 1, מסודר לפי נושאים (לא כולל בניית הממשיים). הסימונים, ההגדרות וההוכחות הולכים לפי ההרצאות של פרופ' מרק אגרנובסקי מתשע"ג. <br />
<br />
הערת המסכם: השתדלתי פה ושם לנסות לתת אינטואיציה כשהוכחה או הגדרה לא ברורה מספיק. יש מרצים שמעבירים את הקורס בסדר קצת שונה פה ושם ומוכיחים דברים בצורה שונה, אבל עיקר הדברים די זהה בין מרצים ולכן אין צורך להרתע אם בסיכום פה מופיעה הוכחה בצורה שונה משראיתם בכתה. בהצלחה בשנה א', אופק גילון.<br />
<br />
==החומר לפי נושאים==<br />
===מבוא - תכונות של ממשיים===<br />
<br />
* [[אינפי 1/קבוצות מספרים|קבוצות מספרים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חזקות|חזקות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/ערך מוחלט ואי שיוויונים|ערך מוחלט ואי שיוויונים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חסמים|חסמים]]<br />
<br />
===סדרות===<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות|סדרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות חסומות|סדרות חסומות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של סדרות|אריתמטיקה של גבולות של סדרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות אינסופיים (סדרות)|גבולות אינסופיים (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)|אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (סדרות)|משפט הסנדוויץ' (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אי שיוויונים של גבולות (סדרות)|אי שיוויונים של גבולות (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות מונוטוניות|סדרות מונוטוניות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מעבר גבול|מעבר גבול]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סכום של סדרה הנדסית|סכום של סדרה הנדסית]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אי שיוויון ברנולי|אי שיוויון ברנולי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/המספר של אוילר e|המספר של אוילר e]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול עליון ותחתון|גבול עליון ותחתון]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות חלקיים|גבולות חלקיים]] (כולל את משפט בולצאנו-ויירשטראס)<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות קושי|סדרות קושי]] (כולל בין היתר את ההוכחה שהטור ההרמוני מתבדר)<br />
<br />
* [[אינפי 1/למת קנטור (חיתוך קטעים)|למת קנטור (חיתוך קטעים)]]<br />
<br />
===טורים===<br />
* [[אינפי 1/טורים|טורים]]<br />
<br />
====טורים חיוביים====<br />
* [[אינפי 1/מבחן ההשוואה הראשון לטורים|מבחן ההשוואה הראשון לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סימני לנדאו|סימני לנדאו / סימון אסימפטוטי]] (לרוב לא בחומר אך יכול לעזור להבנת ההוכחות בהמשך)<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן ההשוואה הגבולי לטורים|מבחן ההשוואה הגבולי לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן העיבוי לטורים|מבחן העיבוי לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן לוגריתמי|מבחן לוגריתמי]] (לרוב לא בחומר)<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן המנה של דלאמבר לטורים|מבחן המנה של דלאמבר לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים|מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים]]<br />
<br />
====טורים כלליים====<br />
* [[אינפי 1/התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי|התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן לייבניץ להתכנסות טורים|מבחן לייבניץ להתכנסות טורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן דיריכלה להתכנסות טורים|מבחן דיריכלה להתכנסות טורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן אבל להתכנסות טורים|מבחן אבל להתכנסות טורים]]<br />
<br />
====קומוטטיביות ואסוציטיאביות בטור, כפל טורים====<br />
* [[אינפי 1/קיבוץ איברים בטור|קיבוץ איברים בטור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/התמרת איברים בטור ומשפט רימן|התמרת איברים בטור ומשפט רימן]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מכפלת טורים|מכפלת טורים]]<br />
<br />
===פונקציות===<br />
<br />
====כלליות====<br />
* [[אינפי 1/הגדרת הגבול לפי קושי|הגדרת הגבול לפי קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/הגדרת הגבול לפי היינה|הגדרת הגבול לפי היינה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה|שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה|תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (פונקציות)|משפט הסנדוויץ' (פונקציות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0|גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של פונקציות|אריתמטיקה של גבולות של פונקציות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול של פונקציה מונוטונית|גבול של פונקציה מונוטונית]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות חד צדדיים|גבולות חד צדדיים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)|גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)]]<br />
<br />
====רציפות====<br />
* [[אינפי 1/פונקציות רציפות|פונקציות רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מיון נק' אי רציפות|מיון נק' אי רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט ערך הביניים|משפט ערך הביניים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות|משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות רציפות הפיכות|פונקציות רציפות הפיכות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות אלמנטריות|פונקציות אלמנטריות]] (האקספוננט, הלוגריתם, והוכחה שסינוס וקוסינוס רציפות)<br />
<br />
* [[אינפי 1/רציפות במ"ש|רציפות במ"ש]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מאפייני רציפות במ"ש בקטעים|מאפייני רציפות במ"ש בקטעים]]<br />
<br />
=== פונקציות גזירות===<br />
====בסיס====<br />
* [[אינפי 1/נגזרת, דיפרנציאל ומשיק|נגזרת, דיפרנציאל ומשיק]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרות חד צדדיות|נגזרות חד צדדיות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פעולות עם נגזרות|פעולות עם נגזרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)|נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת של פונקציה הפוכה|נגזרת של פונקציה הפוכה]]<br />
<br />
====משפטיים מרכזיים עם נגזרת====<br />
* [[אינפי 1/נק' קיצון ומשפט פרמה|נק' קיצון ומשפט פרמה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/למת רול|למת רול]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט ערך הממוצע של לגרנז'|משפט ערך הממוצע של לגרנז']]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הערך הממוצע של קושי|משפט הערך הממוצע של קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת חסומה ורציפות במ"ש|נגזרת חסומה ורציפות במ"ש]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו|נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/כלל לופיטל|כלל לופיטל]]<br />
<br />
====נגזרות מסדר גבוה וטיילור====<br />
* [[אינפי 1/נגזרות מסדר גבוה|נגזרות מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה|כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/הגדרת פולינום טיילור|הגדרת פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שארית פיאנו של פולינום טיילור|שארית פיאנו של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שארית לגרנז' של פולינום טיילור|שארית לגרנז' של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/יחידות של פולינום טיילור|יחידות של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חישוב גבולות עם שארית פיאנו|חישוב גבולות עם שארית פיאנו]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פולינום טיילור|פולינום טיילור (סיכום הדברים)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/טור טיילור|טור טיילור]]<br />
<br />
====חקירת פונקציות====<br />
<br />
* [[אינפי 1/חקירה של פונקציות מונוטוניות|חקירה של פונקציות מונוטוניות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה|אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות קמורות וקעורות|פונקציות קמורות וקעורות]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99_%D7%94%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94&diff=82529אינפי 1/מערכי ההרצאה2019-11-12T19:40:58Z<p>Ofekgillon10: /* סדרות */</p>
<hr />
<div>בדף זה מופיע החומר של הקורס חשבון אינפינטסימלי 1, מסודר לפי נושאים (לא כולל בניית הממשיים). הסימונים, ההגדרות וההוכחות הולכים לפי ההרצאות של פרופ' מרק אגרנובסקי מתשע"ג. <br />
<br />
הערת המסכם: השתדלתי פה ושם לנסות לתת אינטואיציה כשהוכחה או הגדרה לא ברורה מספיק. יש מרצים שמעבירים את הקורס בסדר קצת שונה פה ושם ומוכיחים דברים בצורה שונה, אבל עיקר הדברים די זהה בין מרצים ולכן אין צורך להרתע אם בסיכום פה מופיעה הוכחה בצורה שונה משראיתם בכתה. בהצלחה בשנה א', אופק גילון.<br />
<br />
==החומר לפי נושאים==<br />
===מבוא - תכונות של ממשיים===<br />
<br />
* [[אינפי 1/קבוצות מספרים|קבוצות מספרים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חזקות|חזקות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/ערך מוחלט ואי שיוויונים|ערך מוחלט ואי שיוויונים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חסמים|חסמים]]<br />
<br />
===סדרות===<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות|סדרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות חסומות|סדרות חסומות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של סדרות|אריתמטיקה של גבולות של סדרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות אינסופיים (סדרות)|גבולות אינסופיים (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)|אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (סדרות)|משפט הסנדוויץ' (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אי שיוויונים של גבולות (סדרות)|אי שיוויונים של גבולות (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות מונוטוניות|סדרות מונוטוניות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מעבר גבול|מעבר גבול]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סכום של סדרה הנדסית|סכום של סדרה הנדסית]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אי שיוויון ברנולי|אי שיוויון ברנולי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/המספר של אוילר e|המספר של אוילר e]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול עליון ותחתון|גבול עליון ותחתון]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות חלקיים|גבולות חלקיים]] (כולל את משפט בולצאנו-ויירשטראס)<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות קושי|סדרות קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/למת קנטור (חיתוך קטעים)|למת קנטור (חיתוך קטעים)]]<br />
<br />
===טורים===<br />
* [[אינפי 1/טורים|טורים]]<br />
<br />
====טורים חיוביים====<br />
* [[אינפי 1/מבחן ההשוואה הראשון לטורים|מבחן ההשוואה הראשון לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סימני לנדאו|סימני לנדאו / סימון אסימפטוטי]] (לרוב לא בחומר אך יכול לעזור להבנת ההוכחות בהמשך)<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן ההשוואה הגבולי לטורים|מבחן ההשוואה הגבולי לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן העיבוי לטורים|מבחן העיבוי לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן לוגריתמי|מבחן לוגריתמי]] (לרוב לא בחומר)<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן המנה של דלאמבר לטורים|מבחן המנה של דלאמבר לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים|מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים]]<br />
<br />
====טורים כלליים====<br />
* [[אינפי 1/התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי|התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן לייבניץ להתכנסות טורים|מבחן לייבניץ להתכנסות טורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן דיריכלה להתכנסות טורים|מבחן דיריכלה להתכנסות טורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן אבל להתכנסות טורים|מבחן אבל להתכנסות טורים]]<br />
<br />
====קומוטטיביות ואסוציטיאביות בטור, כפל טורים====<br />
* [[אינפי 1/קיבוץ איברים בטור|קיבוץ איברים בטור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/התמרת איברים בטור ומשפט רימן|התמרת איברים בטור ומשפט רימן]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מכפלת טורים|מכפלת טורים]]<br />
<br />
===פונקציות===<br />
<br />
====כלליות====<br />
* [[אינפי 1/הגדרת הגבול לפי קושי|הגדרת הגבול לפי קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/הגדרת הגבול לפי היינה|הגדרת הגבול לפי היינה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה|שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה|תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (פונקציות)|משפט הסנדוויץ' (פונקציות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0|גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של פונקציות|אריתמטיקה של גבולות של פונקציות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול של פונקציה מונוטונית|גבול של פונקציה מונוטונית]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות חד צדדיים|גבולות חד צדדיים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)|גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)]]<br />
<br />
====רציפות====<br />
* [[אינפי 1/פונקציות רציפות|פונקציות רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מיון נק' אי רציפות|מיון נק' אי רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט ערך הביניים|משפט ערך הביניים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות|משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות רציפות הפיכות|פונקציות רציפות הפיכות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות אלמנטריות|פונקציות אלמנטריות]] (האקספוננט, הלוגריתם, והוכחה שסינוס וקוסינוס רציפות)<br />
<br />
* [[אינפי 1/רציפות במ"ש|רציפות במ"ש]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מאפייני רציפות במ"ש בקטעים|מאפייני רציפות במ"ש בקטעים]]<br />
<br />
=== פונקציות גזירות===<br />
====בסיס====<br />
* [[אינפי 1/נגזרת, דיפרנציאל ומשיק|נגזרת, דיפרנציאל ומשיק]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרות חד צדדיות|נגזרות חד צדדיות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פעולות עם נגזרות|פעולות עם נגזרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)|נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת של פונקציה הפוכה|נגזרת של פונקציה הפוכה]]<br />
<br />
====משפטיים מרכזיים עם נגזרת====<br />
* [[אינפי 1/נק' קיצון ומשפט פרמה|נק' קיצון ומשפט פרמה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/למת רול|למת רול]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט ערך הממוצע של לגרנז'|משפט ערך הממוצע של לגרנז']]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הערך הממוצע של קושי|משפט הערך הממוצע של קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת חסומה ורציפות במ"ש|נגזרת חסומה ורציפות במ"ש]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו|נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/כלל לופיטל|כלל לופיטל]]<br />
<br />
====נגזרות מסדר גבוה וטיילור====<br />
* [[אינפי 1/נגזרות מסדר גבוה|נגזרות מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה|כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/הגדרת פולינום טיילור|הגדרת פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שארית פיאנו של פולינום טיילור|שארית פיאנו של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שארית לגרנז' של פולינום טיילור|שארית לגרנז' של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/יחידות של פולינום טיילור|יחידות של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חישוב גבולות עם שארית פיאנו|חישוב גבולות עם שארית פיאנו]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פולינום טיילור|פולינום טיילור (סיכום הדברים)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/טור טיילור|טור טיילור]]<br />
<br />
====חקירת פונקציות====<br />
<br />
* [[אינפי 1/חקירה של פונקציות מונוטוניות|חקירה של פונקציות מונוטוניות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה|אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות קמורות וקעורות|פונקציות קמורות וקעורות]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%A1%D7%9B%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%94_%D7%94%D7%A0%D7%93%D7%A1%D7%99%D7%AA&diff=82528קוד:סכום של סדרה הנדסית2019-11-12T18:55:15Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>\begin{definition}<br />
סדרה $a_n$ נקראת סדרה הנדסית אם $ \exists q \forall n : a_{n+1}=q\cdot a_n $.<br />
\end{definition}<br />
<br />
נסמן את הסדרה<br />
$$x_n=\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_1 q + a_1 q^2 +\cdots + a_1 q^{n-1} = a_1 (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}) $$<br />
ונשים לב ש- $x_n (1-q)=a_1 (1-q^n) \Rightarrow x_n = \frac{a_1 (q^n -1)}{q-1} $ . מה הגבול של הסדרה הזאת?<br />
<br />
אם $|q|>1$ אז $\lim_{n\to \infty}|\frac{q^n-1}{q-1}| = \infty $<br />
<br />
אם $|q|<1$ אז $\lim_{n\to \infty} q^n = 0 $ ואז לפי אריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} x_n = \frac{a_1 (0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q} $<br />
<br />
אם $q=1$ אז נשים לב ש- $a_n=a_1$ ולכן $x_n=n\cdot a_1 $ ולכן חוץ מבמקרה המנוון בו האיבר הראשון הוא 0, הסדרה לא תתכנס.<br />
<br />
אם $q=-1$ אז $x_n$ תראה ככה: $a_1,0,a_1,0,\cdots $ , ושוב זה לא מתכנס חוץ מבמקרה בו $a_1=0$</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%99%D7%9D&diff=78164קוד:גבולות חלקיים2018-11-03T18:34:50Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>\subsection{תתי סדרות}<br />
\begin{definition}<br />
תהי $A\subseteq \mathbb{N} $ אינסופית אז הצמצום של הסדרה $ x_n:\mathbb{N}\to \mathbb{R} $ אל הקבוצה A נקראת תת סדרה של $x_n$. עוד דרך להסתכל על זה היא לקחת סדרה חד חד ערכית של טבעיים שמונוטונית עולה, $n_k$ (לדוגמה $n(k)=2k $ היא סדרת הזוגיים $2,4,6,\cdots $) ואז להסתכל על $f(n(k)) $ או $ x_{n_k} $ .<br />
\end{definition}<br />
<br />
\begin{example}<br />
נסתכל על הסדרה $1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots $ נסתכל על הסדרה שנמצאת במקומות הזוגיים, כלומר ניקח את <br />
$A=\mathbb{N}_{\text{even}} $<br />
ואז $n(k)=2k$ ו- $x_{n_k}$ נראית ככה: $0,0,0,0,\cdots $ . הסדרה המקורי לא מתכנסת, אבל תת הסדרה הזאת כן מתכנסת, ל-0. זה הרעיון של גבול חלקי.<br />
\end{example}<br />
<br />
\subsection{גבולות חלקיים}<br />
\begin{definition}<br />
$l \in \mathbb{R} $ נקרא גבול חלקי של סדרה אם קיימת תת סדרה שלה שמתכנסת ל- $l$<br />
\end{definition}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
אם $x_n \to L$ אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-$L$.<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
תהי תת סדרה $x_{n_k}$ ויהי אפסילון גדול מ-0. עפ"י הנתון$\exists n_0 \forall n>n_0 |x_n-L|<\epsilon $ . ידוע ש- $n_k$ סדרה חח"ע מונוטונית עולה של טבעיים, ולכן היא לא חסומה וקיים $k_0 $ כך ש- $\forall k>k_0: n_{k_0} > n_0 $ . מכאן ש- $ \forall k>k_0 : |x_{n_k}-L|<\varepsilon $ <br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
תהי סדרה שכל תת סדרה שלה מתכנסת ל- $L$, אזי $x_n \to L$.<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
נניח בשלילה שהסדרה לא מתכנסת ל- $L$, אזי $\exists_{\epsilon>0}\forall_{N} \exists_{n>N} : |x_n-L|\geq \epsilon $ . אם כך, נבנה תת סדרה $x_{n_k} $ באופן הבא: לכל $N$ קיים $n>N$ שעבורו $|x_n-L|\geq \epsilon $ ולכן ניקח את אותם $n$ים עבור $N=1,2,3,\cdots $ ואלה יהיו ה- $n_k $. באופן הזה נקבל תת סדרה שהמרחק בין איבר בה ל-$L$ גדול או שווה לאפסילון אבל זה סותר את הנתון שכל תתי הסדרות שואפות ל- $L$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{קשר בין גבולות חלקיים לגבול עליון ותחתון}<br />
\begin{thm}<br />
כל גבול חלקי של סדרה הוא בין הגבול התחתון שלה לגבול העליון שלה.<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
יהי $l$ גבול חלקי אז קיימת תת סדרה $x_{n_k} \to l$. מתקיים ש- $l_{n_k}\leq x_{n_k} \leq L_{n_k} $ וממשפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
הגבול העליון והתחתון הם גבולות חלקיים<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
$L_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\} $ ואז לכל $k$ מתקיים $\exists_{n_k} : L_k-\frac{1}{k}<x_{n_k}<L_k $ ואז קיימת תת סדרה מונוטונית שלפי משפט הסנדוויץ' מתכנסת לגבול העליון. עבור הגבול התחתון באופן אנלוגי.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{משפט בולצאנו ווירשטראס}<br />
\begin{thm}<br />
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
רעיון ההוכחה: הגבול התחתון הוא גבול של סדרה מונוטונית עולה (סדרת האינפימומים), והסדרה המקורית $x_n$ חסומה מלעיל. לכן, גם סדרת האינפימומים חסומה מלעיל, ואז הגבול החלקי הוא מספר סופי משום שהוא גבול של סדרה מונוטונית וחסומה.<br />
משום שהגבול התחתון הוא גבול חלקי, קיימת תת סדרה שמתכנסת אליו. משל. בצורה יותר פורמלית: <br />
$-M\leq x_n\leq M \Rightarrow -M\leq l_n \leq M$ ואז $l_n$ מונו' עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת, אז הגבול התחתון קיים, והוא גבול חלקי, ולכן יש תת סדרה מתכנסת.<br />
\end{proof}</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%99%D7%9D&diff=78160קוד:גבולות חלקיים2018-11-03T18:30:19Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>\subsection{תתי סדרות}<br />
\begin{definition}<br />
תהי $A\subseteq \mathbb{N} $ אינסופית אז הצמצום של הסדרה $ x_n:\mathbb{N}\to \mathbb{R} $ אל הקבוצה A נקראת תת סדרה של $x_n$. עוד דרך להסתכל על זה היא לקחת סדרה חד חד ערכית של טבעיים שמונוטונית עולה, $n_k$ (לדוגמה $n(k)=2k $ היא סדרת הזוגיים $2,4,6,\cdots $) ואז להסתכל על $f(n(k)) $ או $ x_{n_k} $ .<br />
\end{definition}<br />
<br />
\begin{example}<br />
נסתכל על הסדרה $1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots $ נסתכל על הסדרה שנמצאת במקומות הזוגיים, כלומר ניקח את <br />
$A=\mathbb{N}_{\text{even}} $<br />
ואז $n(k)=2k$ ו- $x_{n_k}$ נראית ככה: $0,0,0,0,\cdots $ . הסדרה המקורי לא מתכנסת, אבל תת הסדרה הזאת כן מתכנסת, ל-0. זה הרעיון של גבול חלקי.<br />
\end{example}<br />
<br />
\subsection{גבולות חלקיים}<br />
\begin{definition}<br />
$l \in \mathbb{R} $ נקרא גבול חלקי של סדרה אם קיימת תת סדרה שלה שמתכנסת ל- $l$<br />
\end{definition}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
אם $x_n \to L$ אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-$L$.<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
תהי תת סדרה $x_{n_k}$ ויהי אפסילון גדול מ-0. עפ"י הנתון$\exists n_0 \forall n>n_0 |x_n-L|<\epsilon $ . ידוע ש- $n_k$ סדרה חח"ע מונוטונית עולה של טבעיים, ולכן היא לא חסומה וקיים $k_0 $ כך ש- $\forall k>k_0: n_{k_0} > n_0 $ . מכאן ש- $ \forall k>k_0 : |x_{n_k}-L|<\varepsilon $ <br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
תהי סדרה שכל תת סדרה שלה מתכנסת ל- $L$, אזי $x_n \to L$.<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
נניח בשלילה שהסדרה לא מתכנסת ל- $L$, אזי $\exists_{\epsilon>0}\forall_{N} \exists_{n>N} : |x_n-L|\geq \epsilon $ . אם כך, נבנה תת סדרה $x_{n_k} $ באופן הבא: לכל $N$ קיים $n>N$ שעבורו $|x_n-L|\geq \epsilon $ ולכן ניקח את אותם $n$ים עבור $N=1,2,3,\cdots $ ואלה יהיו ה- $n_k $. באופן הזה נקבל תת סדרה שהמרחק בין איבר בה ל-$L$ גדול או שווה לאפסילון אבל זה סותר את הנתון שכל תתי הסדרות שואפות ל- $L$.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{קשר בין גבולות חלקיים לגבול עליון ותחתון}<br />
\begin{thm}<br />
כל גבול חלקי של סדרה הוא בין הגבול התחתון שלה לגבול העליון שלה.<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
יהי $l$ גבול חלקי אז קיימת תת סדרה $x_{n_k} \to l$. מתקיים ש- $l_{n_k}\leq x_{n_k} \leq L_{n_k} $ וממשפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{thm}<br />
הגבול העליון והתחתון הם גבולות חלקיים<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
$L_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\} $ ואז לכל $k$ מתקיים $\exists_{n_k} : L_k-\frac{1}{k}<x_{n_k}<L_k $ ואז קיימת תת סדרה מונוטונית שלפי משפט הסנדוויץ' מתכנסת לגבול העליון. עבור הגבול התחתון באופן אנלוגי.<br />
\end{proof}<br />
<br />
\subsection{משפט בולצאנו ווירשטראס}<br />
\begin{thm}<br />
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
רעיון ההוכחה: הגבול התחתון הוא גבול של סדרה מונוטונית עולה (סדרת האינפימומים), והסדרה המקורית $x_n$ חסומה מלעיל. לכן, גם סדרת האינפימומים חסומה מלעיל, ואז הגבול החלקי הוא מספר סופי משום שהוא גבול של סדרה מונוטונית וחסומה. משום שהגבול התחתון הוא גבול חלקי, קיימת תת סדרה שמתכנסת אליו. משל. בצורה יותר פורמלית: <br />
$-M\leq x_n\leq M \Rightarrow -M\leq l_n \leq M$ ואז $l_n$ מונו' עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת, אז הגבול התחתון קיים, והוא גבול חלקי, ולכן יש תת סדרה מתכנסת.<br />
\end{proof}</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99_%D7%94%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94&diff=78157אינפי 1/מערכי ההרצאה2018-11-03T18:08:26Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>בדף זה מופיע החומר של הקורס חשבון אינפינטסימלי 1, מסודר לפי נושאים (לא כולל בניית הממשיים). הסימונים, ההגדרות וההוכחות הולכים לפי ההרצאות של פרופ' מרק אגרנובסקי מתשע"ג. <br />
<br />
הערת המסכם: השתדלתי פה ושם לנסות לתת אינטואיציה כשהוכחה או הגדרה לא ברורה מספיק. יש מרצים שמעבירים את הקורס בסדר קצת שונה פה ושם ומוכיחים דברים בצורה שונה, אבל עיקר הדברים די זהה בין מרצים ולכן אין צורך להרתע אם בסיכום פה מופיעה הוכחה בצורה שונה משראיתם בכתה. בהצלחה בשנה א', אופק גילון.<br />
<br />
==החומר לפי נושאים==<br />
===מבוא - תכונות של ממשיים===<br />
<br />
* [[אינפי 1/קבוצות מספרים|קבוצות מספרים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חזקות|חזקות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/ערך מוחלט ואי שיוויונים|ערך מוחלט ואי שיוויונים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חסמים|חסמים]]<br />
<br />
===סדרות===<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות|סדרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות חסומות|סדרות חסומות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של סדרות|אריתמטיקה של גבולות של סדרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות אינסופיים (סדרות)|גבולות אינסופיים (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)|אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (סדרות)|משפט הסנדוויץ' (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אי שיוויונים של גבולות (סדרות)|אי שיוויונים של גבולות (סדרות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות מונוטוניות|סדרות מונוטוניות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מעבר גבול|מעבר גבול]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סכום של סדרה הנדסית|סכום של סדרה הנדסית]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אי שיוויון ברנולי|אי שיוויון ברנולי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/המספר של אוילר e|המספר של אוילר e]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול עליון ותחתון|גבול עליון ותחתון]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות חלקיים|גבולות חלקיים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סדרות קושי|סדרות קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/למת קנטור (חיתוך קטעים)|למת קנטור (חיתוך קטעים)]]<br />
<br />
===טורים===<br />
* [[אינפי 1/טורים|טורים]]<br />
<br />
====טורים חיוביים====<br />
* [[אינפי 1/מבחן ההשוואה הראשון לטורים|מבחן ההשוואה הראשון לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/סימני לנדאו|סימני לנדאו / סימון אסימפטוטי]] (לרוב לא בחומר אך יכול לעזור להבנת ההוכחות בהמשך)<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן ההשוואה הגבולי לטורים|מבחן ההשוואה הגבולי לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן העיבוי לטורים|מבחן העיבוי לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן לוגריתמי|מבחן לוגריתמי]] (לרוב לא בחומר)<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן המנה של דלאמבר לטורים|מבחן המנה של דלאמבר לטורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים|מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים]]<br />
<br />
====טורים כלליים====<br />
* [[אינפי 1/התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי|התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן לייבניץ להתכנסות טורים|מבחן לייבניץ להתכנסות טורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן דיריכלה להתכנסות טורים|מבחן דיריכלה להתכנסות טורים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מבחן אבל להתכנסות טורים|מבחן אבל להתכנסות טורים]]<br />
<br />
====קומוטטיביות ואסוציטיאביות בטור, כפל טורים====<br />
* [[אינפי 1/קיבוץ איברים בטור|קיבוץ איברים בטור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/התמרת איברים בטור ומשפט רימן|התמרת איברים בטור ומשפט רימן]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מכפלת טורים|מכפלת טורים]]<br />
<br />
===פונקציות===<br />
<br />
====כלליות====<br />
* [[אינפי 1/הגדרת הגבול לפי קושי|הגדרת הגבול לפי קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/הגדרת הגבול לפי היינה|הגדרת הגבול לפי היינה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה|שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה|תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הסנדוויץ' (פונקציות)|משפט הסנדוויץ' (פונקציות)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0|גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של פונקציות|אריתמטיקה של גבולות של פונקציות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול של פונקציה מונוטונית|גבול של פונקציה מונוטונית]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבולות חד צדדיים|גבולות חד צדדיים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)|גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)]]<br />
<br />
====רציפות====<br />
* [[אינפי 1/פונקציות רציפות|פונקציות רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מיון נק' אי רציפות|מיון נק' אי רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט ערך הביניים|משפט ערך הביניים]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות|משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות רציפות הפיכות|פונקציות רציפות הפיכות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות אלמנטריות|פונקציות אלמנטריות]] (האקספוננט, הלוגריתם, והוכחה שסינוס וקוסינוס רציפות)<br />
<br />
* [[אינפי 1/רציפות במ"ש|רציפות במ"ש]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/מאפייני רציפות במ"ש בקטעים|מאפייני רציפות במ"ש בקטעים]]<br />
<br />
=== פונקציות גזירות===<br />
====בסיס====<br />
* [[אינפי 1/נגזרת, דיפרנציאל ומשיק|נגזרת, דיפרנציאל ומשיק]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרות חד צדדיות|נגזרות חד צדדיות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פעולות עם נגזרות|פעולות עם נגזרות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)|נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת של פונקציה הפוכה|נגזרת של פונקציה הפוכה]]<br />
<br />
====משפטיים מרכזיים עם נגזרת====<br />
* [[אינפי 1/נק' קיצון ומשפט פרמה|נק' קיצון ומשפט פרמה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/למת רול|למת רול]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט ערך הממוצע של לגרנז'|משפט ערך הממוצע של לגרנז']]<br />
<br />
* [[אינפי 1/משפט הערך הממוצע של קושי|משפט הערך הממוצע של קושי]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נגזרת חסומה ורציפות במ"ש|נגזרת חסומה ורציפות במ"ש]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו|נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/כלל לופיטל|כלל לופיטל]]<br />
<br />
====נגזרות מסדר גבוה וטיילור====<br />
* [[אינפי 1/נגזרות מסדר גבוה|נגזרות מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה|כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/הגדרת פולינום טיילור|הגדרת פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שארית פיאנו של פולינום טיילור|שארית פיאנו של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/שארית לגרנז' של פולינום טיילור|שארית לגרנז' של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/יחידות של פולינום טיילור|יחידות של פולינום טיילור]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/חישוב גבולות עם שארית פיאנו|חישוב גבולות עם שארית פיאנו]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פולינום טיילור|פולינום טיילור (סיכום הדברים)]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/טור טיילור|טור טיילור]]<br />
<br />
====חקירת פונקציות====<br />
<br />
* [[אינפי 1/חקירה של פונקציות מונוטוניות|חקירה של פונקציות מונוטוניות]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה|אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה]]<br />
<br />
* [[אינפי 1/פונקציות קמורות וקעורות|פונקציות קמורות וקעורות]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%99%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99_1&diff=7815688-132 חשבון אינפיניטיסימלי 12018-11-03T18:03:22Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>'''חשבון אינפיניטיסימלי 1''' הוא המחצית הראשונה של קורס בסיס בחשבון אינפיניטסימאלי – החל מהיסודות האקסיומטיים וכלה בנגזרות. לומדים בו מערכות מספרים, המספרים הממשיים ותכונותיהם, גבולות של סדרות, גבולות של טורים, גבולות ורציפות של פונקציות, נגזרות ותכונותיהן, ועל נוסחת טיילור.<br />
<br />
== מועדי לימוד ==<br />
*[[89-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעט מדמח|סמסטר א' תשע"ט - מדמ"ח]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעט בוגרים|סמסטר א' תשע"ט בוגרים]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעט תיכוניסטים|סמסטר א' תשע"ט תיכוניסטים]]<br />
*[[89-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעח מדמח|סמסטר א' תשע"ח - מדמ"ח]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעח בוגרים|סמסטר א' תשע"ח בוגרים]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעח|סמסטר א' תשע"ח]]<br />
*[[89-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעז מדמח|סמסטר א' תשע"ז - מדמ"ח]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעז|סמסטר א' תשע"ז]]<br />
*[[89-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעו מדמח|סמסטר א' תשע"ו - מדמ"ח]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעו|סמסטר א' תשע"ו]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה מדמח|סמסטר א' תשע"ה - מדמ"ח]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה|סמסטר א' תשע"ה]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד מדמח|סמסטר א' תשע"ד - מדמ"ח]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד|סמסטר א' תשע"ד]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג|סמסטר א' תשע"ג]]<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב|סמסטר א' תשע"ב]]<br />
*[[88-132 סמסטר א' תשעא|סמסטר א' תשע"א]]<br />
*[[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע|סמסטר קיץ תש"ע]]<br />
<br />
==מערכי תרגול ==<br />
<br />
'''[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי התרגול]]'''<br />
<br />
== חומר עזר ==<br />
* [[אינפי 1/מערכי ההרצאה|סיכום הקורס מחולק לפי נושאים עם הערות המסכם - עוקב אחרי הקורס של פרופ' אגרנובסקי]]<br />
<br />
* [[סיכומי הרצאות - אינפי 1|סיכומי ההרצאות משנת תשעג של פרופ' אגרנובסקי. באדיבות דביר חדד. הנ"ל לא לוקח אחריות על טעויות]]<br />
<br />
* [[סיכומי הרצאות מאת נועם יערי ויהונתן רגב|סיכומי ההרצאות מאת נועם יערי ויהונתן רגב]]<br />
<br />
*[[מדיה:09Infi2Derivatives.jpg|דף נוסחאות של נגזרות]]<br />
<br />
*[[מדיה:10TauInfi1Ex.pdf|תרגילי הבית מאוניברסיטת תל אביב תשע"א]]<br />
<br />
*[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעו - בחנים משנים קודמות|בחנים משנים קודמות לתשע"ו]]<br />
<br />
== מבחנים משנים קודמות ==<br />
*מדמ"ח תשע"ב: [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|פתרון מועד א']]<br />
*תשע"א: [[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|פתרון מועד א']], [[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|פתרון מועד ב']]<br />
*תש"ע: [[מדיה:09Infi1TestA.pdf| שאלון מועד א']], [[מדיה:09Infi1TestASol.pdf| פתרון מועד א']]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=88-230_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_3_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%93_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%A4%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%AA&diff=6519088-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד פונקציות מפריכות2016-01-30T11:15:12Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>נכתב ע"י אופק גילון, לקוח מההרצאות של מרק אגרנובסקי תשע"ד<br />
==פונקציה בה הגבולות המחוזררים קיימים, שווים, אך גבול לא קיים==<br />
<math>f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}</math><br />
<br />
נראה כי <math>f(x,0)=f(0,y)=0\neq1=f(x,x)</math> ולכן הגבולות המחוזררים הם 0 אך אין גבול<br />
<br />
==פונקציה רציפה לכל משתנה בנפרד אבל לא רציפה==<br />
<math>f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2} \ \text{if} x^2+y^2\neq0 \\ 0 \ \text{else} \end {cases}</math><br />
לא קיים גבול ב-0 ולכן הפונקציה לא רציפה שם.<br />
<br />
אך <math> f(0,y)=0</math> וגם <math>f(x,0)=0</math> ולכן <math>\lim_{x\to 0} f(x,0) = \lim_{y\to 0} f(0,y) = f(0,0) = 0</math><br />
==פונקציה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל לא דיפרנציאבילית==<br />
<math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math><br />
<br />
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)<br />
<br />
אך הנגזרות החלקיות קיימות:<br />
<br />
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0</math><br />
<br />
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y<br />
<br />
==פונקציה דיפרנציאבילית אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות==<br />
<math>f(x)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin(\frac{1}{x^2+y^2}) \ \text{if} \ x^2+y^2\neq 0 \\ 0\ \text{else}\end{cases}</math><br />
<br />
נשים לב ש- f דיפ' ב-0 והדיפרנציאל הוא <math>df_{(0,0)}\equiv 0</math> אך <math>\frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} </math> לא חסומות סביב (0,0):<br />
<br />
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (x,0) = -\frac{2}{x}\cdot \cos(\frac1{x^2})</math> - לא חסומה, ובאופן דומה הנגזרת החלקית לפי y<br />
<br />
==פונקציה שהנגזרות החלקיות לא מתחלפות==<br />
<br />
<math>f(x,y)=\begin{cases}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \ \text{if}\ x^2+y^2\neq 0 \\ 0 \ \text{else} \end{cases}</math><br />
<br />
<math>\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y} (x,0)-\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)}{x}</math><br />
<br />
<math>\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)=0 , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (x,0)=\lim_{y\to 0} \frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}=x</math><br />
<br />
אז<br />
<br />
<math>\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{x-0}{x}=1</math><br />
<br />
אבל <math>f(x,y)=-f(y,x)</math> אז <math>\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{-y-0}{y}=-1</math><br />
<br />
כלומר<br />
<br />
<math>\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (0,0) \neq \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (0,0)</math></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=62562משתמש:Ofekgillon102015-10-02T10:23:38Z<p>Ofekgillon10: /* קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה */</p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית, שנה ג' בתואר ראשון בפיזיקה<br />
<br />
מתרגל בסמסטר ב' את אופטיקה 86-246-04<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר גיל אריאל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| פרופ' יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|משוואות דיפרנציאליות רגילות]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גב' שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מר מיכאל רבינוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אוריינטציה לתלמידי מחקר</span><br />
| 86-431-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=62561משתמש:Ofekgillon102015-10-02T10:22:54Z<p>Ofekgillon10: /* קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה */</p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית, שנה ג' בתואר ראשון בפיזיקה<br />
<br />
מתרגל בסמסטר ב' את אופטיקה 86-246-04<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר גיל אריאל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| פרופ' יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|מד"ר]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ'<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גב' שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מר מיכאל רבינוביץ'<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אוריינטציה לתלמידי מחקר</span><br />
| 86-431-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=62560משתמש:Ofekgillon102015-10-02T10:21:41Z<p>Ofekgillon10: /* סמסטרים וקורסים */</p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית, שנה ג' בתואר ראשון בפיזיקה<br />
<br />
מתרגל בסמסטר ב' את אופטיקה 86-246-04<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר גיל אריאל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|מד"ר]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גברת שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מיכאל רבינוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אוריינטציה לתלמידי מחקר</span><br />
| 86-431-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=62559משתמש:Ofekgillon102015-10-02T10:19:35Z<p>Ofekgillon10: /* סמסטרים וקורסים */</p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית, שנה ג' בתואר ראשון בפיזיקה<br />
<br />
מתרגל בסמסטר ב' את אופטיקה 86-246-04<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר אריאל גיל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|מד"ר]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גברת שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מיכאל רבינוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אוריינטציה לתלמידי מחקר</span><br />
| 86-431-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=62558משתמש:Ofekgillon102015-10-02T10:15:10Z<p>Ofekgillon10: /* קורסי בחירה */</p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית, שנה ג' בתואר ראשון בפיזיקה<br />
<br />
מתרגל בסמסטר ב' את אופטיקה 86-246-04<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר אריאל גיל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|מד"ר]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גברת שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="5" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מיכאל רבינוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה קוונטית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=62557משתמש:Ofekgillon102015-10-02T10:09:54Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>בוגר תואר במתמטיקה עיונית, שנה ג' בתואר ראשון בפיזיקה<br />
<br />
מתרגל בסמסטר ב' את אופטיקה 86-246-04<br />
<br />
==סמסטרים וקורסים== <br />
<br />
===קורסי חובה תואר ראשון מתמטיקה פיזיקה===<br />
(אדום = פיזיקה, כחול = מתמטיקה, מקושר לדף הקורס ב- mathwiki)<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר אריאל גיל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|מד"ר]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גברת שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-<br />
| rowspan="5" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 2</span><br />
| 86-312-01<br />
| פרופ' אלי ברקאי<br />
| 86-312-03<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה סטטיסטית 2</span><br />
| 86-216-01<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-216-03<br />
| מיכאל רבינוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תורת השדה האלקטרומגנטי</span><br />
| 86-234-01<br />
| פרופ' נדב שנרב<br />
| 86-234-02<br />
| מר חיים ויסמן<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אנליזה נומרית לפסיקאים</span><br />
| 86-302-01<br />
| פרופ' דוד קסלר<br />
| 86-302-02<br />
| מר הלל סנהדראי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה בפיסיקה יישומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-385-01<br />
| גב' נועה קורצווייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">פיזיקת המצב המוצק</span><br />
| 86-370-01<br />
| פרופ' אפרת שמשוני<br />
| 86-370-03<br />
| מר אריאל אייזנבך<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סדנת תכנות בשפת C</span><br />
| 86-368-01<br />
| מר אבשלום אלמליח<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה חישובית</span><br />
| 86-362-01<br />
| פרופ' ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">סמינר בנושאים נבחרים</span><br />
| 86-432-02<br />
| פרופ' בוריס שפירא<br />
| ----<br />
| ----<br />
|}<br />
<br />
===קורסי בחירה===<br />
הערה: אין צורך בקורסי בחירה בתואר מתמטיקה פיזיקה.<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה קוונטית</span><br />
| 86-840-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-840-02<br />
| מר רפי ורד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| 86-755-01<br />
| פרופ' לב חייקוביץ'<br />
| 86-755-02<br />
| מר ליאון בלו<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ו<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה מודרנית ולייזרים</span><br />
| 86-365-01<br />
| פרופ' אבי פאר<br />
| 86-365-02<br />
| ד"ר הדר גניש<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">פיזיקה אטומית</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-367-01<br />
| פרופ' מיכאל רוזנבלו<br />
|}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A2%D7%A7%D7%99%D7%A4%D7%94_%D7%A9%D7%9C_%D7%90%D7%95%D7%A8&diff=62556עקיפה של אור2015-10-02T00:15:06Z<p>Ofekgillon10: /* רקע תיאורטי */</p>
<hr />
<div>[[קובץ:עקיפה.jpg|שמאל|250px]]<br />
<br />
ניסוי עקיפה מסדקים בוצע ב-1801, על ידי הפיזיקאי תומאס יאנג, על מנת להכריע האם האור הוא גל או חלקיק. בניסוי, התקבלה התנהגות גלית של האור (התאבכות ועקיפה), ובעקבות כך, במשך כל המאה ה-19, עד לניסוי פרנק-הרץ והמאמר על האפקט הפוטואלקטרי של אלברט איינשטיין, ההנחה המקובלת הייתה שהאור הוא גל.<br />
בניסוי זה נמדוד את עצמת האור הנפלט מלייזר חצי מוליך, לאחר מעבר האלומה דרך סדק בודד, שני סדקים ושריג עקיפה. בנוסף, נמדוד את התופעה ההפוכה בה מתרחשת עקיפה לאחר מעבר אלומת האור מחסומים דקים. באמצעות תבניות העקיפה וההתאבכות המתקבלות נמצא את אורך הגל של קרינת הליזר ואת וחב המחסומים אותם עבר האור.<br />
<br />
==רקע תיאורטי==<br />
<br />
כדי לקבל מושג ראשוני טוב על רעיון הניסוי ועל תוצאותיו, מי שיש לו סבלנות ואנגלית אינה זרה לו יוכל להקדיש 7 דקות ל[https://www.youtube.com/watch?v=Iuv6hY6zsd0| סרטון הזה].<br />
<br />
האור הנראה יכול להיות מתואר על ידי תנועה של גלים אלקטרומגנטים בעלי אורך גל, אמפליטודה ופאזה. ככל גל, מתאפיינים גלי האור בתדירות, <math>f</math> , משרעת, <math>A</math>, מהירות, <math>v</math>, ואורך גל, <math>λ</math>. תדירות הגל תלוייה במקור, מהירות הגל תלוייה בתווך בו עובר הגל והיחס בינהם הוא התדר <math>f=v/λ</math>. <br />
עקרון הסופרפוזיציה קובע שכאשר בתווך מסוים עוברים מספר גלים בו-זמנית מתקבל גל שקול אשר שווה לסכום הגלים העוברים בתווך. כלומר, כל הגדלים המאפיינים את הגלים מתחברים לפי כללי החיבור הווקטורי. נדון עתה בסופר-פוזיציה (סכימה) של שני גלים הרמונים, בעלי תדירות שווה בנקודה מסוימת של המרחב.<br />
נרשום משוואות עבור שני גלים <math>Y_1</math> ו-<math>Y_2</math> במיקום מסויים:<br />
<br />
<math>Y_1=A_1 \sin (\omega t+ \theta_1)</math><br />
<math>Y_2=A_2 \sin (\omega t+ \theta_2)</math><br />
<br />
<math>A_1,A_2</math> אמפליטודת הגלים, <math>\omega</math> המהירות הזויתית ו-<math>\theta_1, \theta_2</math> הפאזות ההתחלתיות של הגלים.<br />
<br />
לפי עקרון הסופר פוזיציה התנועה השקולה באותה נקודה נראית כמו:<br />
<br />
<math>Y_1+Y_2=A_1 \sin (\omega t+\theta_1)+A_2 \sin (\omega t+\theta_2)</math><br />
<br />
* עבור <math>\Delta\theta=\theta_1-\theta_2=0</math> נקבל <math>A=A_1+A_2</math> . כלומר, האמפליטודה השקולה שווה לסכום האמפליטודה של המרכיבים (התאבכות בונה).<br />
* עבור <math>\Delta\theta=\theta_1-\theta_2=\pi</math> נקבל <math>A=A_1-A_2</math> . כלומר, האמפליטודה השקולה שווה להפרש האמפליטודה של המרכיבים (התאבכות הורסת).<br />
<br />
במקרה מיוחד של התאבכות הורסת, כאשר שתי האמפליטודות שוות, נקבל מקרה בו <math>A=0</math> , כלומר בנקודה לא יהיה אור.<br />
<br />
ידוע שעוצמת הגל <math>I</math> פרופורציוניות לריבוע האמפליטודה, לכן במקרה הספציפי בו <math>A_1=A_2</math> נקבל :<br />
<br />
<math>I={A^2}={{A_1}^2\cos({{\Delta \theta} \over 2})} </math><br />
<br />
כלומר עוצמת הגל (האור) הנוצרת בסופרפוזיציה של שני גלים בעלי תדירות שווה תלויה בהפרש הפאזות בין הגלים הנפגשים. <br />
<br />
[[קובץ:התאבכות.png|300px|שמאל|ממוזער|איור 1 - התאבכות משני סדקים]]<br />
<br />
בניסוי של התאבכות משני סדקים משתמשים במקור אור אחד העובר דרך שני סדקים דקים הרחוקים מרחק <math>d</math> ביניהם. בצורה כזו ניתן לקבל שני מקורות אור קוהרנטים (ללא הפרש פאזה ביניהם), ראו איור 1.<br />
<br />
איור 2 מציג סכמה המאפשרת לעקוב אחר נקודה אקראית <math>M</math> על מסך רחוק מרחק <math>D</math> מהסדקים. נקבל כי עצמת האור המגיע לנקודה משני הסדקים תלוי בהפרש הדרכים <math>r_1-r_2</math> אותן עברו הקרנים. מדמיון משולשים ומהנחה שמרחק המסך גדול מאוד מהמרחק בין הסדקים נקבל כי <br />
<math>r_1-r_2={yd \over D}</math>.<br />
<br />
[[קובץ:סכמת ניסוי עקיפה.png|500px|מרכז|ממוזער|איור 2 - סכמת ניסוי התאבכות משני סדקים]]<br />
<br />
כאמור כאשר הפרשי הפאזות שווים ל-0 או לאורכי גל שלמים נקבל התאבכות בונה לכן מקסימום אור ייראה על המסך במרחק <math>y_m</math> מהנקודה <math>O</math>, כאשר: <br />
<br />
<math>{{y_md} \over D} = m \lambda</math> <br />
<br />
עקיפה מסדק בודד מוסברת על ידי עקרון הויגינס הקובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית גל (המוגדר כמשטח של נקודות שוות פאזה) כאל מקור חדש של גל כדורי המתפשט לכל הכיוונים במהירות ההתפשטות של הגל המקורי. מקורות אלו מתאבכים ויוצרים תבנית עקיפה בה מינמום אור מתקבל בזויות <math>\theta</math> מהציר המרכזי המקיימות <math>\sin \theta_n={{n \lambda} \over a}</math>, כאשר <math>a</math> הוא רוחב הסדק.<br />
<br />
==מערכת הניסוי==<br />
<br />
המערכת כוללת לייזר חצי-מוליך, גלאי אור (Light sensor) וחיישן סיבוב(Rotary motion sensor) . קריאת הנתונים ורישומם מתבצעים בעזרת מערכת SW interface 750של DataStudio. <br />
<br />
[[קובץ:מערכת הניסוי עקיפה.png|700px|מרכז|ממוזער|איור 3 - מערכת הניסוי]]<br />
<br />
גלאי האור ניתן להזזה על- גבי פס המיוחד לכך. ההזזה מתבצעת באופן ידני, כאשר חיישן הסיבוב מודד את גודל התזוזה. לצורך זה, יש להפעיל את חיישן התזוזה במצב של מדידת מרחק לינארי (Position), זאת ע"י כניסה לתפריט Measurement של החיישן. בניסוי הנוכחי, המדידה בגלאי זה צריכה להיות ברגישות high.<br />
<br />
שימו לב שהאור המגיע עובר דרך הסדק המוביל לחישן.<br />
<br />
מצאו את רמות הרגישות המתאימות עבור גלאי האור וכן את קצב המדידה, כך שהמדידה שתתקבל תהיה חלקה וכוללת את העוצמות הגבוהות (בניסוי הסדקים). גלאי האור מצויד גם במתג רגישות, יש להפעיל את הגלאי במצב בו המתג נמצא על 100. הלייזר מופעל באמצעות מתג הנמצא בצידו האחורי. בסמוך למתג זה נמצאות שתי ידיות לקביעת הכיוון המדוייק של קרן הלייזר.<br />
<br />
==מהלך הניסוי==<br />
<br />
===התאבכות ועקיפה מסדקים===<br />
<br />
* קבלו את תבנית ההתאבכות של שני סדקים בעובי <math>0.08 mm</math> במרחקים של <math>0.250 mm</math> ו-<math>0.500 mm</math>.<br />
<br />
מתוך תבניות התאבכות אלו מצאו את אורך הגל של הלייזר.<br />
<br />
* קבלו תבניות עקיפה עבור 3 סדקים ברוחב שונה (3 העבים מבין ששת הסדקים שבשקופית). <br />
<br />
בהתבסס על אורך הגל שקבלתם בסעיף הקודם, ומתוך תבניות העקיפה מצאו את רוחב הסדקים.<br />
<br />
===עקיפה ממכשול צר===<br />
<br />
על פי עקרון Babinet , תמונת עקיפה ממכשול צר בעובי מסויים זהה לתמונת העקיפה מסדק באותו עובי. <br />
<br />
קבלו תמונות עקיפה עבור שני מכשולים בעוביים שונים, ועבור שערה אחת משערות ראשכם. שימו לב שבניסוי זה עצמת האור חזקה, לכן חיישן האור מגיע לרוויה והתמונה "תחתך" במרכז.<br />
<br />
* מצאו בעזרת תבנית העקיפה המתקבלת את עובי המכשולים השונים.<br />
<br />
===השפעת רגישות החיישן על תוצאות המדידה===<br />
<br />
בניסוי זה ניתן לראות כיצד תמונת העקיפה משתנה מהותית עם שינוי רגישות חיישן האור. חלק זה של הניסוי מדגים את החשיבות בבחירת רגישות מתאימה למכשירי המדידה.<br />
<br />
בצעו את הניסוי עבור המכשול העבה בשתי רגישויות מדידה - med ו-high, והסבירו את ההבדלים המתקבלים בתמונות העקיפה.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%98%D7%95%D7%9D&diff=62555אטום2015-10-01T23:49:54Z<p>Ofekgillon10: /* פיתוח מתמטי */</p>
<hr />
<div>[[קובץ:אטום.jpg|שמאל|250px]]<br />
<br />
בניסוי זה תלמדו על אחת מפריצות הדרך בדרך לבניית מכניקת הקוונטים.<br />
<br />
בשנת 1913 הציג נילס בוהר את מודל האטום שלו, לפיו בתוך האטום אלקטרונים נעים במספר בדיד של מסלולים, שבהם התנע הזוויתי של האלקטרונים הוא בכפולות שלמות של קבוע פלאנק <math>h</math>, חלקי <math>2\pi</math>. המודל הזה הסביר באופן יפה את ספקטרום הפליטה של אטום המימן, וההסבר האינטואיטיבי שעומד מאחוריו הוא שהאלקטרון מתנהג כמו גל, והמסלולים בהם הוא יכול לנוע דומים למצבים עצמיים של גלים. <br />
<br />
בניסוי זה תוכלו לקבוע את רמות האנרגיה של אטום המימן לפי קווי ספקטרום הפליטה שלו ולמצוא את קבוע רידברג (Rydberg). חלקו שני של הניסוי הוא ביצוע גירסא של ניסוי פרנק-הרץ למציאת פוטנציאל עירור ופוטנציאל יינון של אטומי גז אציל. <br />
<br />
==רקע תיאורטי==<br />
=== העשרה - קצת היסטוריה ===<br />
בסוף המאה ה-19, אחרי שג'וזף תומסון הגיע בעקבנות ניסוי למסקנה שהאטום מורכב בתוכו ממטענים חיוביים ושליליים, התפרסם "מודל עוגת הצימוקים" שלו. לפי המודל, האטום מורכב ממטען חיובי שמפוזר בצורה אחידה ובתוכו תקועים אלקטרונים, נושאי מטען שלילי, כפי שצימוקים נמצאים בעוגה.<br />
<br />
בתחילת המאה ה-20, הנס גייגר וארנסט מרסדן, תחת הדרכתו של ארנסט רתרפורד, ביצעו ניסוי בו מפגיזים מספר עלי מתכות שונות בחלקיקי אלפא, והצורה בה חלקיקי האלפא התפזרו מההפגזרות הייתה שונה מהמצופה לפי עוגת הצימוקים, ולפיכך יצאו במודל חדש לאטום: המודל הפלנטרי (מהמילה planet, כוכב לכת). לפי המודל הפלנטרי של רתרפורד, האטום מורכב מגרעין חיובי והאלקטרונים מקיפים אותו כמו שכוכבי הלכת מקיפים את השמש. המודל התאים לתוצאות הניסוי, אך היו בו מספר בעיות, הגדולה שבהן היא העובדה שאם האלקטרונים מסתובבים סביב הגרעין, הם בתאוצה, וידוע מחשמל שמטען בתאוצה פולט קרינה אלקטרומגנטית ומאבד אנרגיה (תראו את זה בקורס תורת שדות אלקטרומגנטיים בשנה ג'), ומכאן שאמור לקרוס אל גרעין האטום. חישובים מדויקים הראו שזמן הקריסה הוא פחות משנייה, וכפי שידוע לנו אטומים הם דברים יציבים, כך שהמודל הפלנטרי נפל גם הוא. <br />
<br />
כמו כן, כאשר לכדו גזים מסוימים וחיממו אותם, גילו שהם פולטים אור. יתר על כן, כאשר הסתכלו על האור דרך ספקטרומטר, מכשיר שמפצל את התדרים השונים של האור, ראו שבמקום ספקטרום רציף של צבעים, האור מורכב מכמה צבעים ספציפיים. כלומר '''ספקטרום הפליטה''' שלהם היה בדיד (או במילה אחרת, "מֵקְווּנְטַט"), דבר שנראה מאוד מוזר משום שקלאסית, אין שום סיבה שמשהו יפלוט רק צבעים מסוימים.<br />
<br />
מדענים מסוימים כמו בלמר, ליימן ועוד כמה חזו ומדדו תדרי פליטה אפשריים וזכו בכך שסדרות הפליטה האלו ייקראו על שמם. כמה שנים לאחר מכן רידברג מצא הכללה של כל הנוסחאות, וראה שלכל צבע שיכול לצאת מאטום המימן מתאימים 2 מספרים טבעיים n,m כך שמתקיים <math>\frac{1}{\lambda}=R \left ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right )</math> כאשר R הוא קבוע שקרא לו קבוע רידברג. עצם זה שספקטרום הפליטה הוא בדיד היה מוזר, אז העובדה הזאת בכלל הייתה מסתורית.<br />
<br />
===מודל האטום של בוהר===<br />
<br />
עקב נפילתו של המודל הפלנטרי של רתרפורד, בשנת 1913 הציע<br />
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%9C%D7%A1_%D7%91%D7%95%D7%94%D7%A8 נילס בוהר] (N.Bohr), פיזיקאי דני צעיר שעבד במעבדתו של רתרפורד מודל מתוקן. הנחות בוהר הן עבור אטום המימן שהוא האטום הפשוט ביותר – בו יש אלקטרון אחד המסתובב מסביב לגרעין המכיל פרוטון בודד.<br />
<br />
* אלקטרון יכול לנוע מסביב לגרעין רק במסלולים מעגליים מסויימים (המסלולים "מֵקְווּנְטַטִים"). כאשר האלקטרון נע באחד מהמסלולים הללו, אין הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית למרות תנועתו המואצת. הנחה זו מנוגדת לחוקי הפיזיקה הקלאסית ובוהר קיבל אותה כאקסיומה.<br />
<br />
כפי שכתוב בהקדמה, בוהר קבע שהתנאי למסלולים המותרים (נקראים גם סטציונריים) הוא שהתנע הזוויתי <math>L= r \times p = rmv</math> הוא כפולה שלמה של <math>\frac{h}{2\pi} </math> (כלומר לא כל תנע זוויתי אפשרי, אלא ערכים בדידים של תנע זוויתי, מכאן שגם הוא מקוונטט):<br />
<br />
<math>mvr=n {h \over 2 \pi}</math> <br />
כאשר: <math>m</math>- מסת האלקטרון, <math>h</math>-קבוע פלנק ו- <math>n</math> מספר טבעי המאפיין את אינדקס המסלול.<br />
<br />
* מההנחה הקודמת וממכניקה אפשר להבין שלאלקטרון שמסתובב במעגל ברדיוס <math>n</math> סביב הגרעין תהיה אנרגיה <math>E_n</math> מתאימה. לפי בוהר, האלקטרון יכול לקפוץ ממסלול למסלול אבל צריך לקבל או לפלוט מנת אנרגיה מתאימה, היא נבלעת או נפלטת בצורת פוטון. למדתם בפיזיקה מודרנית שאנרגיה של פוטון בתדירות <math>f</math> היא <math>hf</math> ומכאן שכאשר אלקטרון עובר ממסלול n למסלול m הוא צריך לפלוט או לבלוע פוטון בתדר שמקיים:<br />
<math>hf=|E_n-E_m| </math> <br />
בהתבססו על הנחות יסוד אלה, חישב בוהר את רדיוסי המסלולים המותרים של אטום המימן, את אנרגיות המצבים היציבים ואורכי הגל של קווי ספקטרום הפליטה או ספקטרום הבליעה המתאימים למעבר של האטום ממצב יציב אחד לאחר.<br />
<br />
====פיתוח מתמטי====<br />
לפי החוק השני של ניוטון, לחלקיק בתנועה מעגלית יש תאוצה צנטריפטלית שכיוונה כלפי מרכז המעגל. לכן על החלקיק פועל כח צנטריפטלי שכיוונו למרכז וגדלו <math>F={mv^2 \over r}</math> , הכח המאלץ את האלקטרון לנוע במעגל סביב הגרעין הוא הכח החשמלי <math>F=\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} </math> המושך אותו אל הגרעין (מטען האלקטרון מסומן ב-e). מהשוואת שני כוחות אלו נקבל את רדיוס המסלול:<br />
<br />
<math>r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}</math> <br />
<br />
כאשר <math>\epsilon_0=8.85*10^{-12} Fm^{-1}</math> הוא הקבוע הדיאלקטרי של החלל החופשי. <br />
<br />
הצבת ערכה של <math>v</math> ממשוואת התנאי למסלולים סטציונריים נותנת ערך בדיד לרדיוסים:<br />
<br />
<math>mvr=n \frac{h}{2\pi} \Rightarrow v=\frac{n\cdot h}{2\pi m r}\ ,\ r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}\Rightarrow r_n=({{\epsilon_0 h^2} \over {\pi me^2}})n^2</math> <br />
<br />
האנרגיה של האלקטרון בכל אחד מהמצבים הסטציונריים מורכבת מהאנרגיה הקינטית ומהאנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון והגרעין כלומר:<br />
<br />
<math>E_T=E_p+E_k=-{e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 r}}+{{mv^2} \over 2}</math> <br />
נקבל לאחר הצבת הרדיוס ואלגברה פשוטה כי מסלולי האנרגיה מקוונטטים ושווים:<br />
<br />
<math>E_n=-{{e^4m} \over {8 \pi \epsilon_0 r}}=-{{hcR} \over n^2}</math> <br />
<br />
כאשר <math>R={{e^4m} \over {8 \epsilon_0 ^2 h^3c}}</math> קבוע רידברג (Rydberg) <br />
<br />
מתוך ביטוי זה ניתן לשרטט את רמות האנרגיה של אטום המימן (ראו איור 1).<br />
<br />
[[קובץ:ספקטרום פליטה אטום מימן.png|300px|מרכז|ממוזער|איור 1 - ספקטרום פליטה של אטום מימן]]<br />
<br />
הקווים הספקטרליים של אטומי המימן יוצרים מספר סדרות המתאימות למעברים של האטום מרמת אנרגיה גבוהה (n) לנמוכות יותר (m). סדרות אלו קיבלו שמות של המדענים: Lyman, Balmer, , Paschen, Brackett, Pfund.<br />
<br />
בעבודה זו נשתמש בסדרת Balmer כי בסדרה זו קוי הספקטרום המתקבלים הם בתחום הנראה. מודל בוהר נותן במדוייק את הקווים הספקטרליים של אטום המימן או דמוי מימן – שבקליפתו החיצונית אלקטרון אחד בלבד, אך נכשל במקרים אחרים. לתיאור אטומים בעלי מספר אלקטרונים, יש להשתמש בתיאור הקוונטי המלא של האטום – לפי משוואת שרדינגר.<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ (Franck–Hertz)===<br />
<br />
במעבדה זו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ (James Franck – Gustav Hertz), אשר הפכו לאחת ההוכחות הניסיוניות הראשונות למודל בוהר המהווה יסוד לפיסיקה הקוונטית. פרס נובל לפיסיקה הוענק ל[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%A1%D7%98%D7%91_%D7%94%D7%A8%D7%A5 גוסטב הרץ] ו[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92'%D7%99%D7%99%D7%9E%D7%A1_%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A7 ג'יימס פרנק] עבור ניסויים אלה ב-1925.<br />
<br />
'''פוטנציאלים של עירור (excitation) ויינון (ionization)'''<br />
<br />
בליעת אנרגיה ע"י אטום ומעבר האטום למצב סטציונרי בעל אנרגיה גדולה יותר נקרא עירור. אנרגית העירור מבוטאת בדרך כלל ביחידות אלקטרון-וולט (eV). על מנת לקבוע את המצבים הסטציונריים ניתן להשתמש בהפצצת אטומים באלקטרונים. כאשר האנרגיה של אלקטרונים נמוכה, ההתנגשויות עם האטומים הן אלסטיות. כתוצאה מהבדל גדול במסות של האלקטרונים והאטומים, האלקטרונים מעבירים לאטומים רק חלק קטן מהאנרגיה שלהם. אולם כשהאנרגיה מגיעה לערך מסוים ההתנגשויות כבר אינן אלסטיות: אלקטרונים מוסרים לאטומים את כל האנרגיה שלהם, והאטומים עוברים למצב בעל אנרגיה גדולה יותר. ניסוים אלה מוכיחים את קיומם של מצבים סטציונריים באטום ומאפשרים למדוד את האנרגיות שלהם. אם אנרגית האלקטרונים מספיק גדולה, מתרחש יינון האטום - בריחת אלקטרון אחד מאטום והפיכת האטום ליון. <br />
<br />
==מערכת הניסוי==<br />
<br />
===ספקטרום הפליטה של מימן===<br />
<br />
המערכת מורכבת ממנורת מימן הפועלת תחת מתח של <math>5000V</math>. אטומי המימן מעוררים ופולטים קרינת אור נראה. כדי למצוא את אורכי הגל של האור הנפלט נשתמש בספקטרוסקופ, ראו איור 2. בספקטרומטר, האור הנפלט מהמימן החם עובר דרך שריג עקיפה ויוצר תמונת התאבכות. בתמונה זו מופרדים הגלים לפי אורך הגל שלהם, ועל ידי כיול ניתן לראות את סדרת אורכי הגל של הקרינה הנפלטת. <br />
<br />
[[קובץ:מנורת מימן.png|450px|מרכז|ממוזער|איור 3 - ספקטרומטר (מימין) ומנורת מימן (משמאל)]]<br />
<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ===<br />
<br />
בניסוי שלנו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ. נשתמש בשפופרת תיראטרון (thyratron)- טריאודה ממולאת גז עם קתודה מחוממת הפולטת אלקטרונים. בין האנודה לקטודה ישנו שריג (grid) שצורתו המחוררת מאפשרת מעבר אלקטרונים דרכו. מתח מאיץ מופעל בין השריג לבין הקתודה של התיראטרון ושולט על תנועת האלקטרונים (ראו איור 2). <br />
<br />
[[קובץ:תיראטרון.png|150px|שמאל|ממוזער|איור 3 - מבנה התיראטרון. העיגול השחור מיצג המצאות גז בשפופרת]]<br />
<br />
מעגל המדידה מסורטט באיור 4. במערכת זו מפעילים מתח שלילי על האנודה (אלקטרודה המשמשת כקולט), כך שאלקטרונים אינם יכולים להגיע אליו. בישומים רגילים של תיראטרון האנודה מוחזקת בפוטנציאל חיובי על מנת לקלוט את האלקטרונים. <br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נוצר כאשר מתבצע עירור באטומי הגז שבשפופרת באופן הבא:<br />
האלקטרונים אשר נפלטים מהקתודה המחוממת ומואצים לעבר השריג (בשל הפוטנציאל החיובי) מתנגשים עם אטומי הגז שבשפופרת. בשלב הראשוני ההתנגשויות הינם אלסטיות כך שהאלקטרונים כמעט ולא מאבדים מהאנרגיה שלהם וממשיכים לעבר השריג. גם האלקטרונים המצליחים לעבור את השריג חוזרים בחזרה אליו בשל הפוטנציאל השלילי של הקולט. כאשר האנרגיה הקינטית של האלקטרונים (בשל הגדלת הפוטנציאל), שווה לרמת האנרגיה של אטומי הגז מתבצע עירור של האטומים. האלקטרונים מוסרים את האנרגיה שלהם לאטומים ובככך גורמים לאלקטרוני אטומי-הגז לעבור למסלול סטציונרי בעל אנרגיה גבוהה יותר. לאחר פרק זמן קצר מאוד, האלקטרונים חוזרים למצב בעל אנרגיה יותר נמוכה, ופולטים פוטונים. פוטונים אלו פוגעים בקולט וגורמים לאפקט הפוטו-אלקטרי. פוטונים משחררים אלקטרונים מהקולט (אנרגית הפוטונים גדולה פונקציית העבודה של הקולט). אלקטרונים אלה נעים מהקולט לעבר השריג וכך נוצר הזרם במעגל הקולט.<br />
<br />
[[קובץ: מעגל הניסוי אטום.png|650px|מרכז|ממוזער|איור 4 - מעגל המדידה]]<br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נמדד בעזרת מכשיר בעל רגישות בסדר גודל של <math>10^{-10} A</math>. במערכת שלנו במעגל הקולט קיים נגד של <math>1 M \Omega</math>, כאשר מודדים עליו את מפל מתח עליו מבאמצעות מילי-וולטמטר בעל רגישות של <math>0.1mV</math>, סך כל הרגישות בזרם הנמדד תהיה <math>10^{-10} A</math>. <br />
<br />
פוטנציאל העירור של אטומי הגז בתיראטרון שווה למתח המאיץ שעבורו מופיע זרם במעגל של הקולט. את פוטנציאל היינון קובעים לפי עלייה חזקה בזרם השריג. עלייה זאת קשורה לנטרול של המטען האלקטרוני המרחבי ליד הקתודה על ידי היונים החיוביים שהופיעו. על מנת להגביל את זרם השריג, הוכנסה התנגדות למעגל.<br />
<br />
==מהלך הניסוי==<br />
<br />
'''ספקטרום הפליטה של מימן'''<br />
<br />
את המערכת יפעיל ויכבה המדריך בלבד!<br />
<br />
סכנה! המנורה פועלת תחת מתח של <math>5000 V</math>! אין לקרב אל המנורה חפצים מתכתיים או ידיים. <br />
<br />
יש להסתכל דרך הספקטרוסקופ ולמצוא את אורכי הגל של 3 הקווים הברורים ביותר. ניתן לראות עוד קווים חלשים יותר – כתוצאה ממולקולות מימן.<br />
<br />
* חשבו את ערכו הממוצע של קבוע רידברג עבור 3 אורכי הגל המתקבלים.<br />
* שרטטו תרשים של רמות האנרגיה לפי המדידות והחישובים שביצעתם.<br />
<br />
'''ניסוי פרנק–הרץ'''<br />
<br />
בנו את המעגל באיור כאשר המתח השלילי על הקולט הוא <math>5 V</math>. <br />
ומצאו את אופייני הזרם בקולט ובשריג כפונקציה של המתח על השריג. התחל ממתח של <math>0.5 V</math> ועלו בחצאי וולטים. דונו בתוצאות המתקבלות וחשבו את אורך הגל של האור הנפלט.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%98%D7%95%D7%9D&diff=62554אטום2015-10-01T23:40:02Z<p>Ofekgillon10: /* העשרה - קצת היסטוריה */</p>
<hr />
<div>[[קובץ:אטום.jpg|שמאל|250px]]<br />
<br />
בניסוי זה תלמדו על אחת מפריצות הדרך בדרך לבניית מכניקת הקוונטים.<br />
<br />
בשנת 1913 הציג נילס בוהר את מודל האטום שלו, לפיו בתוך האטום אלקטרונים נעים במספר בדיד של מסלולים, שבהם התנע הזוויתי של האלקטרונים הוא בכפולות שלמות של קבוע פלאנק <math>h</math>, חלקי <math>2\pi</math>. המודל הזה הסביר באופן יפה את ספקטרום הפליטה של אטום המימן, וההסבר האינטואיטיבי שעומד מאחוריו הוא שהאלקטרון מתנהג כמו גל, והמסלולים בהם הוא יכול לנוע דומים למצבים עצמיים של גלים. <br />
<br />
בניסוי זה תוכלו לקבוע את רמות האנרגיה של אטום המימן לפי קווי ספקטרום הפליטה שלו ולמצוא את קבוע רידברג (Rydberg). חלקו שני של הניסוי הוא ביצוע גירסא של ניסוי פרנק-הרץ למציאת פוטנציאל עירור ופוטנציאל יינון של אטומי גז אציל. <br />
<br />
==רקע תיאורטי==<br />
=== העשרה - קצת היסטוריה ===<br />
בסוף המאה ה-19, אחרי שג'וזף תומסון הגיע בעקבנות ניסוי למסקנה שהאטום מורכב בתוכו ממטענים חיוביים ושליליים, התפרסם "מודל עוגת הצימוקים" שלו. לפי המודל, האטום מורכב ממטען חיובי שמפוזר בצורה אחידה ובתוכו תקועים אלקטרונים, נושאי מטען שלילי, כפי שצימוקים נמצאים בעוגה.<br />
<br />
בתחילת המאה ה-20, הנס גייגר וארנסט מרסדן, תחת הדרכתו של ארנסט רתרפורד, ביצעו ניסוי בו מפגיזים מספר עלי מתכות שונות בחלקיקי אלפא, והצורה בה חלקיקי האלפא התפזרו מההפגזרות הייתה שונה מהמצופה לפי עוגת הצימוקים, ולפיכך יצאו במודל חדש לאטום: המודל הפלנטרי (מהמילה planet, כוכב לכת). לפי המודל הפלנטרי של רתרפורד, האטום מורכב מגרעין חיובי והאלקטרונים מקיפים אותו כמו שכוכבי הלכת מקיפים את השמש. המודל התאים לתוצאות הניסוי, אך היו בו מספר בעיות, הגדולה שבהן היא העובדה שאם האלקטרונים מסתובבים סביב הגרעין, הם בתאוצה, וידוע מחשמל שמטען בתאוצה פולט קרינה אלקטרומגנטית ומאבד אנרגיה (תראו את זה בקורס תורת שדות אלקטרומגנטיים בשנה ג'), ומכאן שאמור לקרוס אל גרעין האטום. חישובים מדויקים הראו שזמן הקריסה הוא פחות משנייה, וכפי שידוע לנו אטומים הם דברים יציבים, כך שהמודל הפלנטרי נפל גם הוא. <br />
<br />
כמו כן, כאשר לכדו גזים מסוימים וחיממו אותם, גילו שהם פולטים אור. יתר על כן, כאשר הסתכלו על האור דרך ספקטרומטר, מכשיר שמפצל את התדרים השונים של האור, ראו שבמקום ספקטרום רציף של צבעים, האור מורכב מכמה צבעים ספציפיים. כלומר '''ספקטרום הפליטה''' שלהם היה בדיד (או במילה אחרת, "מֵקְווּנְטַט"), דבר שנראה מאוד מוזר משום שקלאסית, אין שום סיבה שמשהו יפלוט רק צבעים מסוימים.<br />
<br />
מדענים מסוימים כמו בלמר, ליימן ועוד כמה חזו ומדדו תדרי פליטה אפשריים וזכו בכך שסדרות הפליטה האלו ייקראו על שמם. כמה שנים לאחר מכן רידברג מצא הכללה של כל הנוסחאות, וראה שלכל צבע שיכול לצאת מאטום המימן מתאימים 2 מספרים טבעיים n,m כך שמתקיים <math>\frac{1}{\lambda}=R \left ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right )</math> כאשר R הוא קבוע שקרא לו קבוע רידברג. עצם זה שספקטרום הפליטה הוא בדיד היה מוזר, אז העובדה הזאת בכלל הייתה מסתורית.<br />
<br />
===מודל האטום של בוהר===<br />
<br />
עקב נפילתו של המודל הפלנטרי של רתרפורד, בשנת 1913 הציע<br />
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%9C%D7%A1_%D7%91%D7%95%D7%94%D7%A8 נילס בוהר] (N.Bohr), פיזיקאי דני צעיר שעבד במעבדתו של רתרפורד מודל מתוקן. הנחות בוהר הן עבור אטום המימן שהוא האטום הפשוט ביותר – בו יש אלקטרון אחד המסתובב מסביב לגרעין המכיל פרוטון בודד.<br />
<br />
* אלקטרון יכול לנוע מסביב לגרעין רק במסלולים מעגליים מסויימים (המסלולים "מֵקְווּנְטַטִים"). כאשר האלקטרון נע באחד מהמסלולים הללו, אין הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית למרות תנועתו המואצת. הנחה זו מנוגדת לחוקי הפיזיקה הקלאסית ובוהר קיבל אותה כאקסיומה.<br />
<br />
כפי שכתוב בהקדמה, בוהר קבע שהתנאי למסלולים המותרים (נקראים גם סטציונריים) הוא שהתנע הזוויתי <math>L= r \times p = rmv</math> הוא כפולה שלמה של <math>\frac{h}{2\pi} </math> (כלומר לא כל תנע זוויתי אפשרי, אלא ערכים בדידים של תנע זוויתי, מכאן שגם הוא מקוונטט):<br />
<br />
<math>mvr=n {h \over 2 \pi}</math> <br />
כאשר: <math>m</math>- מסת האלקטרון, <math>h</math>-קבוע פלנק ו- <math>n</math> מספר טבעי המאפיין את אינדקס המסלול.<br />
<br />
* מההנחה הקודמת וממכניקה אפשר להבין שלאלקטרון שמסתובב במעגל ברדיוס <math>n</math> סביב הגרעין תהיה אנרגיה <math>E_n</math> מתאימה. לפי בוהר, האלקטרון יכול לקפוץ ממסלול למסלול אבל צריך לקבל או לפלוט מנת אנרגיה מתאימה, היא נבלעת או נפלטת בצורת פוטון. למדתם בפיזיקה מודרנית שאנרגיה של פוטון בתדירות <math>f</math> היא <math>hf</math> ומכאן שכאשר אלקטרון עובר ממסלול n למסלול m הוא צריך לפלוט או לבלוע פוטון בתדר שמקיים:<br />
<math>hf=|E_n-E_m| </math> <br />
בהתבססו על הנחות יסוד אלה, חישב בוהר את רדיוסי המסלולים המותרים של אטום המימן, את אנרגיות המצבים היציבים ואורכי הגל של קווי ספקטרום הפליטה או ספקטרום הבליעה המתאימים למעבר של האטום ממצב יציב אחד לאחר.<br />
<br />
====פיתוח מתמטי====<br />
לפי החוק השני של ניוטון, לחלקיק בתנועה מעגלית יש תאוצה צנטריפטלית שכיוונה כלפי מרכז המעגל. לכן על החלקיק פועל כח צנטריפטלי שכיוונו למרכז וגדלו <math>F={mv^2 \over r}</math> , הכח המאלץ את האלקטרון לנוע במעגל סביב הגרעין הוא הכח החשמלי <math>F=\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} </math> המושך אותו אל הגרעין (מטען האלקטרון מסומן ב-e). מהשוואת שני כוחות אלו נקבל את רדיוס המסלול:<br />
<br />
<math>r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}</math> <br />
<br />
כאשר <math>\epsilon_0=8.85*10^{-12} Fm^{-1}</math> הוא הקבוע הדיאלקטרי של החלל החופשי. <br />
<br />
הצבת ערכה של <math>v</math> ממשוואת התנאי למסלולים סטציונריים נותנת ערך בדיד לרדיוסים:<br />
<br />
<math>mvr=n \frac{h}{2\pi} \Rightarrow v=\frac{n\cdot h}{2\pi m r}\ ,\ r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}\Rightarrow r_n=({{\epsilon_0 h^2} \over {\pi me^2}})n^2</math> <br />
<br />
האנרגיה של האלקטרון בכל אחד מהמצבים הסטציונריים מורכבת מהאנרגיה הקינטית ומהאנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון והגרעין כלומר:<br />
<br />
<math>E_T=E_p+E_k=-{e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 r}}+{{mv^2} \over 2}</math> <br />
נקבל לאחר הצבת הרדיוס ואלגברה פשוטה כי מסלולי האנרגיה מקוונטטים ושווים:<br />
<br />
<math>E_n=-{{e^4m} \over {8 \pi \epsilon_0 r}}=-{{hcR} \over n^2}</math> <br />
כאשר <math>R={{e^4m} \over {8 \epsilon_0 ^2 h^3c}}</math> קבוע רידברג (Rydberg) <br />
<br />
מתוך ביטוי זה ניתן לשרטט את רמות האנרגיה של אטום המימן (ראו איור 1).<br />
<br />
[[קובץ:ספקטרום פליטה אטום מימן.png|300px|מרכז|ממוזער|איור 1 - ספקטרום פליטה של אטום מימן]]<br />
<br />
הקווים הספקטרליים של אטומי המימן יוצרים מספר סדרות המתאימות למעברים של האטום מרמת אנרגיה גבוהה (n) לנמוכות יותר (m). סדרות אלו קיבלו שמות של המדענים: Lyman, Balmer, , Paschen, Brackett, Pfund.<br />
<br />
בעבודה זו נשתמש בסדרת Balmer כי בסדרה זו קוי הספקטרום המתקבלים הם בתחום הנראה. מודל בוהר נותן במדוייק את הקווים הספקטרליים של אטום המימן או דמוי מימן – שבקליפתו החיצונית אלקטרון אחד בלבד, אך נכשל במקרים אחרים. לתיאור אטומים בעלי מספר אלקטרונים, יש להשתמש בתיאור הקוונטי המלא של האטום – לפי משוואת שרדינגר.<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ (Franck–Hertz)===<br />
<br />
במעבדה זו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ (James Franck – Gustav Hertz), אשר הפכו לאחת ההוכחות הניסיוניות הראשונות למודל בוהר המהווה יסוד לפיסיקה הקוונטית. פרס נובל לפיסיקה הוענק ל[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%A1%D7%98%D7%91_%D7%94%D7%A8%D7%A5 גוסטב הרץ] ו[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92'%D7%99%D7%99%D7%9E%D7%A1_%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A7 ג'יימס פרנק] עבור ניסויים אלה ב-1925.<br />
<br />
'''פוטנציאלים של עירור (excitation) ויינון (ionization)'''<br />
<br />
בליעת אנרגיה ע"י אטום ומעבר האטום למצב סטציונרי בעל אנרגיה גדולה יותר נקרא עירור. אנרגית העירור מבוטאת בדרך כלל ביחידות אלקטרון-וולט (eV). על מנת לקבוע את המצבים הסטציונריים ניתן להשתמש בהפצצת אטומים באלקטרונים. כאשר האנרגיה של אלקטרונים נמוכה, ההתנגשויות עם האטומים הן אלסטיות. כתוצאה מהבדל גדול במסות של האלקטרונים והאטומים, האלקטרונים מעבירים לאטומים רק חלק קטן מהאנרגיה שלהם. אולם כשהאנרגיה מגיעה לערך מסוים ההתנגשויות כבר אינן אלסטיות: אלקטרונים מוסרים לאטומים את כל האנרגיה שלהם, והאטומים עוברים למצב בעל אנרגיה גדולה יותר. ניסוים אלה מוכיחים את קיומם של מצבים סטציונריים באטום ומאפשרים למדוד את האנרגיות שלהם. אם אנרגית האלקטרונים מספיק גדולה, מתרחש יינון האטום - בריחת אלקטרון אחד מאטום והפיכת האטום ליון. <br />
<br />
==מערכת הניסוי==<br />
<br />
===ספקטרום הפליטה של מימן===<br />
<br />
המערכת מורכבת ממנורת מימן הפועלת תחת מתח של <math>5000V</math>. אטומי המימן מעוררים ופולטים קרינת אור נראה. כדי למצוא את אורכי הגל של האור הנפלט נשתמש בספקטרוסקופ, ראו איור 2. בספקטרומטר, האור הנפלט מהמימן החם עובר דרך שריג עקיפה ויוצר תמונת התאבכות. בתמונה זו מופרדים הגלים לפי אורך הגל שלהם, ועל ידי כיול ניתן לראות את סדרת אורכי הגל של הקרינה הנפלטת. <br />
<br />
[[קובץ:מנורת מימן.png|450px|מרכז|ממוזער|איור 3 - ספקטרומטר (מימין) ומנורת מימן (משמאל)]]<br />
<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ===<br />
<br />
בניסוי שלנו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ. נשתמש בשפופרת תיראטרון (thyratron)- טריאודה ממולאת גז עם קתודה מחוממת הפולטת אלקטרונים. בין האנודה לקטודה ישנו שריג (grid) שצורתו המחוררת מאפשרת מעבר אלקטרונים דרכו. מתח מאיץ מופעל בין השריג לבין הקתודה של התיראטרון ושולט על תנועת האלקטרונים (ראו איור 2). <br />
<br />
[[קובץ:תיראטרון.png|150px|שמאל|ממוזער|איור 3 - מבנה התיראטרון. העיגול השחור מיצג המצאות גז בשפופרת]]<br />
<br />
מעגל המדידה מסורטט באיור 4. במערכת זו מפעילים מתח שלילי על האנודה (אלקטרודה המשמשת כקולט), כך שאלקטרונים אינם יכולים להגיע אליו. בישומים רגילים של תיראטרון האנודה מוחזקת בפוטנציאל חיובי על מנת לקלוט את האלקטרונים. <br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נוצר כאשר מתבצע עירור באטומי הגז שבשפופרת באופן הבא:<br />
האלקטרונים אשר נפלטים מהקתודה המחוממת ומואצים לעבר השריג (בשל הפוטנציאל החיובי) מתנגשים עם אטומי הגז שבשפופרת. בשלב הראשוני ההתנגשויות הינם אלסטיות כך שהאלקטרונים כמעט ולא מאבדים מהאנרגיה שלהם וממשיכים לעבר השריג. גם האלקטרונים המצליחים לעבור את השריג חוזרים בחזרה אליו בשל הפוטנציאל השלילי של הקולט. כאשר האנרגיה הקינטית של האלקטרונים (בשל הגדלת הפוטנציאל), שווה לרמת האנרגיה של אטומי הגז מתבצע עירור של האטומים. האלקטרונים מוסרים את האנרגיה שלהם לאטומים ובככך גורמים לאלקטרוני אטומי-הגז לעבור למסלול סטציונרי בעל אנרגיה גבוהה יותר. לאחר פרק זמן קצר מאוד, האלקטרונים חוזרים למצב בעל אנרגיה יותר נמוכה, ופולטים פוטונים. פוטונים אלו פוגעים בקולט וגורמים לאפקט הפוטו-אלקטרי. פוטונים משחררים אלקטרונים מהקולט (אנרגית הפוטונים גדולה פונקציית העבודה של הקולט). אלקטרונים אלה נעים מהקולט לעבר השריג וכך נוצר הזרם במעגל הקולט.<br />
<br />
[[קובץ: מעגל הניסוי אטום.png|650px|מרכז|ממוזער|איור 4 - מעגל המדידה]]<br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נמדד בעזרת מכשיר בעל רגישות בסדר גודל של <math>10^{-10} A</math>. במערכת שלנו במעגל הקולט קיים נגד של <math>1 M \Omega</math>, כאשר מודדים עליו את מפל מתח עליו מבאמצעות מילי-וולטמטר בעל רגישות של <math>0.1mV</math>, סך כל הרגישות בזרם הנמדד תהיה <math>10^{-10} A</math>. <br />
<br />
פוטנציאל העירור של אטומי הגז בתיראטרון שווה למתח המאיץ שעבורו מופיע זרם במעגל של הקולט. את פוטנציאל היינון קובעים לפי עלייה חזקה בזרם השריג. עלייה זאת קשורה לנטרול של המטען האלקטרוני המרחבי ליד הקתודה על ידי היונים החיוביים שהופיעו. על מנת להגביל את זרם השריג, הוכנסה התנגדות למעגל.<br />
<br />
==מהלך הניסוי==<br />
<br />
'''ספקטרום הפליטה של מימן'''<br />
<br />
את המערכת יפעיל ויכבה המדריך בלבד!<br />
<br />
סכנה! המנורה פועלת תחת מתח של <math>5000 V</math>! אין לקרב אל המנורה חפצים מתכתיים או ידיים. <br />
<br />
יש להסתכל דרך הספקטרוסקופ ולמצוא את אורכי הגל של 3 הקווים הברורים ביותר. ניתן לראות עוד קווים חלשים יותר – כתוצאה ממולקולות מימן.<br />
<br />
* חשבו את ערכו הממוצע של קבוע רידברג עבור 3 אורכי הגל המתקבלים.<br />
* שרטטו תרשים של רמות האנרגיה לפי המדידות והחישובים שביצעתם.<br />
<br />
'''ניסוי פרנק–הרץ'''<br />
<br />
בנו את המעגל באיור כאשר המתח השלילי על הקולט הוא <math>5 V</math>. <br />
ומצאו את אופייני הזרם בקולט ובשריג כפונקציה של המתח על השריג. התחל ממתח של <math>0.5 V</math> ועלו בחצאי וולטים. דונו בתוצאות המתקבלות וחשבו את אורך הגל של האור הנפלט.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%98%D7%95%D7%9D&diff=62553אטום2015-10-01T23:32:56Z<p>Ofekgillon10: /* מודל האטום של בוהר */</p>
<hr />
<div>[[קובץ:אטום.jpg|שמאל|250px]]<br />
<br />
בניסוי זה תלמדו על אחת מפריצות הדרך בדרך לבניית מכניקת הקוונטים.<br />
<br />
בשנת 1913 הציג נילס בוהר את מודל האטום שלו, לפיו בתוך האטום אלקטרונים נעים במספר בדיד של מסלולים, שבהם התנע הזוויתי של האלקטרונים הוא בכפולות שלמות של קבוע פלאנק <math>h</math>, חלקי <math>2\pi</math>. המודל הזה הסביר באופן יפה את ספקטרום הפליטה של אטום המימן, וההסבר האינטואיטיבי שעומד מאחוריו הוא שהאלקטרון מתנהג כמו גל, והמסלולים בהם הוא יכול לנוע דומים למצבים עצמיים של גלים. <br />
<br />
בניסוי זה תוכלו לקבוע את רמות האנרגיה של אטום המימן לפי קווי ספקטרום הפליטה שלו ולמצוא את קבוע רידברג (Rydberg). חלקו שני של הניסוי הוא ביצוע גירסא של ניסוי פרנק-הרץ למציאת פוטנציאל עירור ופוטנציאל יינון של אטומי גז אציל. <br />
<br />
==רקע תיאורטי==<br />
=== העשרה - קצת היסטוריה ===<br />
בסוף המאה ה-19, אחרי שג'וזף תומסון הגיע בעקבנות ניסוי למסקנה שהאטום מורכב בתוכו ממטענים חיוביים ושליליים, התפרסם "מודל עוגת הצימוקים" שלו. לפי המודל, האטום מורכב ממטען חיובי שמפוזר בצורה אחידה ובתוכו תקועים אלקטרונים, נושאי מטען שלילי, כפי שצימוקים נמצאים בעוגה.<br />
<br />
בתחילת המאה ה-20, הנס גייגר וארנסט מרסדן, תחת הדרכתו של ארנסט רתרפורד, ביצעו ניסוי בו מפגיזים מספר עלי מתכות שונות בחלקיקי אלפא, והצורה בה חלקיקי האלפא התפזרו מההפגזרות הייתה שונה מהמצופה לפי עוגת הצימוקים, ולפיכך יצאו במודל חדש לאטום: המודל הפלנטרי (מהמילה planet, כוכב לכת). לפי המודל הפלנטרי של רתרפורד, האטום מורכב מגרעין חיובי והאלקטרונים מקיפים אותו כמו שכוכבי הלכת מקיפים את השמש. המודל התאים לתוצאות הניסוי, אך היו בו מספר בעיות, הגדולה שבהן היא העובדה שאם האלקטרונים מסתובבים סביב הגרעין, הם בתאוצה, וידוע מחשמל שמטען בתאוצה פולט קרינה אלקטרומגנטית ומאבד אנרגיה (תראו את זה בקורס תורת שדות אלקטרומגנטיים בשנה ג'), ומכאן שאמור לקרוס אל גרעין האטום. חישובים מדויקים הראו שזמן הקריסה הוא פחות משנייה, וכפי שידוע לנו אטומים הם דברים יציבים, כך שהמודל הפלנטרי נפל גם הוא. <br />
<br />
כמו כן, כאשר לכדו גזים מסוימים וחיממו אותם, גילו שהם פולטים אור. יתר על כן, כאשר הסתכלו על האור דרך ספקטרומטר, מכשיר שמפצל את התדרים השונים של האור, ראו שבמקום ספקטרום רציף של צבעים, האור מורכב מכמה צבעים ספציפיים. כלומר '''ספקטרום הפליטה''' שלהם היה בדיד (או במילה אחרת, "מֵקְווּנְטַט"), דבר שנראה מאוד מוזר משום שקלאסית, אין שום סיבה שמשהו יפלוט רק צבעים מסוימים.<br />
<br />
===מודל האטום של בוהר===<br />
<br />
עקב נפילתו של המודל הפלנטרי של רתרפורד, בשנת 1913 הציע<br />
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%9C%D7%A1_%D7%91%D7%95%D7%94%D7%A8 נילס בוהר] (N.Bohr), פיזיקאי דני צעיר שעבד במעבדתו של רתרפורד מודל מתוקן. הנחות בוהר הן עבור אטום המימן שהוא האטום הפשוט ביותר – בו יש אלקטרון אחד המסתובב מסביב לגרעין המכיל פרוטון בודד.<br />
<br />
* אלקטרון יכול לנוע מסביב לגרעין רק במסלולים מעגליים מסויימים (המסלולים "מֵקְווּנְטַטִים"). כאשר האלקטרון נע באחד מהמסלולים הללו, אין הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית למרות תנועתו המואצת. הנחה זו מנוגדת לחוקי הפיזיקה הקלאסית ובוהר קיבל אותה כאקסיומה.<br />
<br />
כפי שכתוב בהקדמה, בוהר קבע שהתנאי למסלולים המותרים (נקראים גם סטציונריים) הוא שהתנע הזוויתי <math>L= r \times p = rmv</math> הוא כפולה שלמה של <math>\frac{h}{2\pi} </math> (כלומר לא כל תנע זוויתי אפשרי, אלא ערכים בדידים של תנע זוויתי, מכאן שגם הוא מקוונטט):<br />
<br />
<math>mvr=n {h \over 2 \pi}</math> <br />
כאשר: <math>m</math>- מסת האלקטרון, <math>h</math>-קבוע פלנק ו- <math>n</math> מספר טבעי המאפיין את אינדקס המסלול.<br />
<br />
* מההנחה הקודמת וממכניקה אפשר להבין שלאלקטרון שמסתובב במעגל ברדיוס <math>n</math> סביב הגרעין תהיה אנרגיה <math>E_n</math> מתאימה. לפי בוהר, האלקטרון יכול לקפוץ ממסלול למסלול אבל צריך לקבל או לפלוט מנת אנרגיה מתאימה, היא נבלעת או נפלטת בצורת פוטון. למדתם בפיזיקה מודרנית שאנרגיה של פוטון בתדירות <math>f</math> היא <math>hf</math> ומכאן שכאשר אלקטרון עובר ממסלול n למסלול m הוא צריך לפלוט או לבלוע פוטון בתדר שמקיים:<br />
<math>hf=|E_n-E_m| </math> <br />
בהתבססו על הנחות יסוד אלה, חישב בוהר את רדיוסי המסלולים המותרים של אטום המימן, את אנרגיות המצבים היציבים ואורכי הגל של קווי ספקטרום הפליטה או ספקטרום הבליעה המתאימים למעבר של האטום ממצב יציב אחד לאחר.<br />
<br />
====פיתוח מתמטי====<br />
לפי החוק השני של ניוטון, לחלקיק בתנועה מעגלית יש תאוצה צנטריפטלית שכיוונה כלפי מרכז המעגל. לכן על החלקיק פועל כח צנטריפטלי שכיוונו למרכז וגדלו <math>F={mv^2 \over r}</math> , הכח המאלץ את האלקטרון לנוע במעגל סביב הגרעין הוא הכח החשמלי <math>F=\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} </math> המושך אותו אל הגרעין (מטען האלקטרון מסומן ב-e). מהשוואת שני כוחות אלו נקבל את רדיוס המסלול:<br />
<br />
<math>r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}</math> <br />
<br />
כאשר <math>\epsilon_0=8.85*10^{-12} Fm^{-1}</math> הוא הקבוע הדיאלקטרי של החלל החופשי. <br />
<br />
הצבת ערכה של <math>v</math> ממשוואת התנאי למסלולים סטציונריים נותנת ערך בדיד לרדיוסים:<br />
<br />
<math>mvr=n \frac{h}{2\pi} \Rightarrow v=\frac{n\cdot h}{2\pi m r}\ ,\ r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}\Rightarrow r_n=({{\epsilon_0 h^2} \over {\pi me^2}})n^2</math> <br />
<br />
האנרגיה של האלקטרון בכל אחד מהמצבים הסטציונריים מורכבת מהאנרגיה הקינטית ומהאנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון והגרעין כלומר:<br />
<br />
<math>E_T=E_p+E_k=-{e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 r}}+{{mv^2} \over 2}</math> <br />
נקבל לאחר הצבת הרדיוס ואלגברה פשוטה כי מסלולי האנרגיה מקוונטטים ושווים:<br />
<br />
<math>E_n=-{{e^4m} \over {8 \pi \epsilon_0 r}}=-{{hcR} \over n^2}</math> <br />
כאשר <math>R={{e^4m} \over {8 \epsilon_0 ^2 h^3c}}</math> קבוע רידברג (Rydberg) <br />
<br />
מתוך ביטוי זה ניתן לשרטט את רמות האנרגיה של אטום המימן (ראו איור 1).<br />
<br />
[[קובץ:ספקטרום פליטה אטום מימן.png|300px|מרכז|ממוזער|איור 1 - ספקטרום פליטה של אטום מימן]]<br />
<br />
הקווים הספקטרליים של אטומי המימן יוצרים מספר סדרות המתאימות למעברים של האטום מרמת אנרגיה גבוהה (n) לנמוכות יותר (m). סדרות אלו קיבלו שמות של המדענים: Lyman, Balmer, , Paschen, Brackett, Pfund.<br />
<br />
בעבודה זו נשתמש בסדרת Balmer כי בסדרה זו קוי הספקטרום המתקבלים הם בתחום הנראה. מודל בוהר נותן במדוייק את הקווים הספקטרליים של אטום המימן או דמוי מימן – שבקליפתו החיצונית אלקטרון אחד בלבד, אך נכשל במקרים אחרים. לתיאור אטומים בעלי מספר אלקטרונים, יש להשתמש בתיאור הקוונטי המלא של האטום – לפי משוואת שרדינגר.<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ (Franck–Hertz)===<br />
<br />
במעבדה זו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ (James Franck – Gustav Hertz), אשר הפכו לאחת ההוכחות הניסיוניות הראשונות למודל בוהר המהווה יסוד לפיסיקה הקוונטית. פרס נובל לפיסיקה הוענק ל[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%A1%D7%98%D7%91_%D7%94%D7%A8%D7%A5 גוסטב הרץ] ו[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92'%D7%99%D7%99%D7%9E%D7%A1_%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A7 ג'יימס פרנק] עבור ניסויים אלה ב-1925.<br />
<br />
'''פוטנציאלים של עירור (excitation) ויינון (ionization)'''<br />
<br />
בליעת אנרגיה ע"י אטום ומעבר האטום למצב סטציונרי בעל אנרגיה גדולה יותר נקרא עירור. אנרגית העירור מבוטאת בדרך כלל ביחידות אלקטרון-וולט (eV). על מנת לקבוע את המצבים הסטציונריים ניתן להשתמש בהפצצת אטומים באלקטרונים. כאשר האנרגיה של אלקטרונים נמוכה, ההתנגשויות עם האטומים הן אלסטיות. כתוצאה מהבדל גדול במסות של האלקטרונים והאטומים, האלקטרונים מעבירים לאטומים רק חלק קטן מהאנרגיה שלהם. אולם כשהאנרגיה מגיעה לערך מסוים ההתנגשויות כבר אינן אלסטיות: אלקטרונים מוסרים לאטומים את כל האנרגיה שלהם, והאטומים עוברים למצב בעל אנרגיה גדולה יותר. ניסוים אלה מוכיחים את קיומם של מצבים סטציונריים באטום ומאפשרים למדוד את האנרגיות שלהם. אם אנרגית האלקטרונים מספיק גדולה, מתרחש יינון האטום - בריחת אלקטרון אחד מאטום והפיכת האטום ליון. <br />
<br />
==מערכת הניסוי==<br />
<br />
===ספקטרום הפליטה של מימן===<br />
<br />
המערכת מורכבת ממנורת מימן הפועלת תחת מתח של <math>5000V</math>. אטומי המימן מעוררים ופולטים קרינת אור נראה. כדי למצוא את אורכי הגל של האור הנפלט נשתמש בספקטרוסקופ, ראו איור 2. בספקטרומטר, האור הנפלט מהמימן החם עובר דרך שריג עקיפה ויוצר תמונת התאבכות. בתמונה זו מופרדים הגלים לפי אורך הגל שלהם, ועל ידי כיול ניתן לראות את סדרת אורכי הגל של הקרינה הנפלטת. <br />
<br />
[[קובץ:מנורת מימן.png|450px|מרכז|ממוזער|איור 3 - ספקטרומטר (מימין) ומנורת מימן (משמאל)]]<br />
<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ===<br />
<br />
בניסוי שלנו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ. נשתמש בשפופרת תיראטרון (thyratron)- טריאודה ממולאת גז עם קתודה מחוממת הפולטת אלקטרונים. בין האנודה לקטודה ישנו שריג (grid) שצורתו המחוררת מאפשרת מעבר אלקטרונים דרכו. מתח מאיץ מופעל בין השריג לבין הקתודה של התיראטרון ושולט על תנועת האלקטרונים (ראו איור 2). <br />
<br />
[[קובץ:תיראטרון.png|150px|שמאל|ממוזער|איור 3 - מבנה התיראטרון. העיגול השחור מיצג המצאות גז בשפופרת]]<br />
<br />
מעגל המדידה מסורטט באיור 4. במערכת זו מפעילים מתח שלילי על האנודה (אלקטרודה המשמשת כקולט), כך שאלקטרונים אינם יכולים להגיע אליו. בישומים רגילים של תיראטרון האנודה מוחזקת בפוטנציאל חיובי על מנת לקלוט את האלקטרונים. <br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נוצר כאשר מתבצע עירור באטומי הגז שבשפופרת באופן הבא:<br />
האלקטרונים אשר נפלטים מהקתודה המחוממת ומואצים לעבר השריג (בשל הפוטנציאל החיובי) מתנגשים עם אטומי הגז שבשפופרת. בשלב הראשוני ההתנגשויות הינם אלסטיות כך שהאלקטרונים כמעט ולא מאבדים מהאנרגיה שלהם וממשיכים לעבר השריג. גם האלקטרונים המצליחים לעבור את השריג חוזרים בחזרה אליו בשל הפוטנציאל השלילי של הקולט. כאשר האנרגיה הקינטית של האלקטרונים (בשל הגדלת הפוטנציאל), שווה לרמת האנרגיה של אטומי הגז מתבצע עירור של האטומים. האלקטרונים מוסרים את האנרגיה שלהם לאטומים ובככך גורמים לאלקטרוני אטומי-הגז לעבור למסלול סטציונרי בעל אנרגיה גבוהה יותר. לאחר פרק זמן קצר מאוד, האלקטרונים חוזרים למצב בעל אנרגיה יותר נמוכה, ופולטים פוטונים. פוטונים אלו פוגעים בקולט וגורמים לאפקט הפוטו-אלקטרי. פוטונים משחררים אלקטרונים מהקולט (אנרגית הפוטונים גדולה פונקציית העבודה של הקולט). אלקטרונים אלה נעים מהקולט לעבר השריג וכך נוצר הזרם במעגל הקולט.<br />
<br />
[[קובץ: מעגל הניסוי אטום.png|650px|מרכז|ממוזער|איור 4 - מעגל המדידה]]<br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נמדד בעזרת מכשיר בעל רגישות בסדר גודל של <math>10^{-10} A</math>. במערכת שלנו במעגל הקולט קיים נגד של <math>1 M \Omega</math>, כאשר מודדים עליו את מפל מתח עליו מבאמצעות מילי-וולטמטר בעל רגישות של <math>0.1mV</math>, סך כל הרגישות בזרם הנמדד תהיה <math>10^{-10} A</math>. <br />
<br />
פוטנציאל העירור של אטומי הגז בתיראטרון שווה למתח המאיץ שעבורו מופיע זרם במעגל של הקולט. את פוטנציאל היינון קובעים לפי עלייה חזקה בזרם השריג. עלייה זאת קשורה לנטרול של המטען האלקטרוני המרחבי ליד הקתודה על ידי היונים החיוביים שהופיעו. על מנת להגביל את זרם השריג, הוכנסה התנגדות למעגל.<br />
<br />
==מהלך הניסוי==<br />
<br />
'''ספקטרום הפליטה של מימן'''<br />
<br />
את המערכת יפעיל ויכבה המדריך בלבד!<br />
<br />
סכנה! המנורה פועלת תחת מתח של <math>5000 V</math>! אין לקרב אל המנורה חפצים מתכתיים או ידיים. <br />
<br />
יש להסתכל דרך הספקטרוסקופ ולמצוא את אורכי הגל של 3 הקווים הברורים ביותר. ניתן לראות עוד קווים חלשים יותר – כתוצאה ממולקולות מימן.<br />
<br />
* חשבו את ערכו הממוצע של קבוע רידברג עבור 3 אורכי הגל המתקבלים.<br />
* שרטטו תרשים של רמות האנרגיה לפי המדידות והחישובים שביצעתם.<br />
<br />
'''ניסוי פרנק–הרץ'''<br />
<br />
בנו את המעגל באיור כאשר המתח השלילי על הקולט הוא <math>5 V</math>. <br />
ומצאו את אופייני הזרם בקולט ובשריג כפונקציה של המתח על השריג. התחל ממתח של <math>0.5 V</math> ועלו בחצאי וולטים. דונו בתוצאות המתקבלות וחשבו את אורך הגל של האור הנפלט.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%98%D7%95%D7%9D&diff=62552אטום2015-10-01T18:30:57Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>[[קובץ:אטום.jpg|שמאל|250px]]<br />
<br />
בניסוי זה תלמדו על אחת מפריצות הדרך בדרך לבניית מכניקת הקוונטים.<br />
<br />
בשנת 1913 הציג נילס בוהר את מודל האטום שלו, לפיו בתוך האטום אלקטרונים נעים במספר בדיד של מסלולים, שבהם התנע הזוויתי של האלקטרונים הוא בכפולות שלמות של קבוע פלאנק <math>h</math>, חלקי <math>2\pi</math>. המודל הזה הסביר באופן יפה את ספקטרום הפליטה של אטום המימן, וההסבר האינטואיטיבי שעומד מאחוריו הוא שהאלקטרון מתנהג כמו גל, והמסלולים בהם הוא יכול לנוע דומים למצבים עצמיים של גלים. <br />
<br />
בניסוי זה תוכלו לקבוע את רמות האנרגיה של אטום המימן לפי קווי ספקטרום הפליטה שלו ולמצוא את קבוע רידברג (Rydberg). חלקו שני של הניסוי הוא ביצוע גירסא של ניסוי פרנק-הרץ למציאת פוטנציאל עירור ופוטנציאל יינון של אטומי גז אציל. <br />
<br />
==רקע תיאורטי==<br />
=== העשרה - קצת היסטוריה ===<br />
בסוף המאה ה-19, אחרי שג'וזף תומסון הגיע בעקבנות ניסוי למסקנה שהאטום מורכב בתוכו ממטענים חיוביים ושליליים, התפרסם "מודל עוגת הצימוקים" שלו. לפי המודל, האטום מורכב ממטען חיובי שמפוזר בצורה אחידה ובתוכו תקועים אלקטרונים, נושאי מטען שלילי, כפי שצימוקים נמצאים בעוגה.<br />
<br />
בתחילת המאה ה-20, הנס גייגר וארנסט מרסדן, תחת הדרכתו של ארנסט רתרפורד, ביצעו ניסוי בו מפגיזים מספר עלי מתכות שונות בחלקיקי אלפא, והצורה בה חלקיקי האלפא התפזרו מההפגזרות הייתה שונה מהמצופה לפי עוגת הצימוקים, ולפיכך יצאו במודל חדש לאטום: המודל הפלנטרי (מהמילה planet, כוכב לכת). לפי המודל הפלנטרי של רתרפורד, האטום מורכב מגרעין חיובי והאלקטרונים מקיפים אותו כמו שכוכבי הלכת מקיפים את השמש. המודל התאים לתוצאות הניסוי, אך היו בו מספר בעיות, הגדולה שבהן היא העובדה שאם האלקטרונים מסתובבים סביב הגרעין, הם בתאוצה, וידוע מחשמל שמטען בתאוצה פולט קרינה אלקטרומגנטית ומאבד אנרגיה (תראו את זה בקורס תורת שדות אלקטרומגנטיים בשנה ג'), ומכאן שאמור לקרוס אל גרעין האטום. חישובים מדויקים הראו שזמן הקריסה הוא פחות משנייה, וכפי שידוע לנו אטומים הם דברים יציבים, כך שהמודל הפלנטרי נפל גם הוא. <br />
<br />
כמו כן, כאשר לכדו גזים מסוימים וחיממו אותם, גילו שהם פולטים אור. יתר על כן, כאשר הסתכלו על האור דרך ספקטרומטר, מכשיר שמפצל את התדרים השונים של האור, ראו שבמקום ספקטרום רציף של צבעים, האור מורכב מכמה צבעים ספציפיים. כלומר '''ספקטרום הפליטה''' שלהם היה בדיד (או במילה אחרת, "מֵקְווּנְטַט"), דבר שנראה מאוד מוזר משום שקלאסית, אין שום סיבה שמשהו יפלוט רק צבעים מסוימים.<br />
<br />
===מודל האטום של בוהר===<br />
<br />
עקב נפילתו של המודל הפלנטרי של רתרפורד, בשנת 1913 הציע<br />
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%9C%D7%A1_%D7%91%D7%95%D7%94%D7%A8 נילס בוהר] (N.Bohr), פיזיקאי דני צעיר שעבד במעבדתו של רתרפורד מודל מתוקן. הנחות בוהר הן עבור אטום המימן שהוא האטום הפשוט ביותר – בו יש אלקטרון אחד המסתובב מסביב לגרעין המכיל פרוטון בודד.<br />
<br />
* אלקטרון יכול לנוע מסביב לגרעין רק במסלולים מעגליים מסויימים (המסלולים "מֵקְווּנְטַטִים"). כאשר האלקטרון נע באחד מהמסלולים הללו, אין הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית למרות תנועתו המואצת. הנחה זו מנוגדת לחוקי הפיזיקה הקלאסית ובוהר קיבל אותה כאקסיומה.<br />
<br />
כפי שכתוב בהקדמה, בוהר קבע שהתנאי למסלולים המותרים (נקראים גם סטציונריים) הוא שהתנע הזוויתי <math>L= r \times p = rmv</math> הוא כפולה שלמה של <math>\frac{h}{2\pi} </math> (כלומר לא כל תנע זוויתי אפשרי, אלא ערכים בדידים של תנע זוויתי, מכאן שגם הוא מקוונטט):<br />
<br />
<math>mvr=n {h \over 2 \pi}</math> <br />
כאשר: <math>m</math>- מסת האלקטרון, <math>h</math>-קבוע פלנק ו- <math>n</math> מספר טבעי המאפיין את אינדקס המסלול.<br />
<br />
* מההנחה הקודמת וממכניקה אפשר להבין שלאלקטרון שמסתובב במעגל ברדיוס <math>n</math> סביב הגרעין תהיה אנרגיה <math>E_n</math> מתאימה. לפי בוהר, האלקטרון יכול לקפוץ ממסלול למסלול אבל צריך לקבל או לפלוט מנת אנרגיה מתאימה, היא נבלעת או נפלטת בצורת פוטון. למדתם בפיזיקה מודרנית שאנרגיה של פוטון בתדירות <math>f</math> היא <math>hf</math> ומכאן שכאשר אלקטרון עובר ממסלול n למסלול m הוא צריך לפלוט או לבלוע פוטון בתדר שמקיים:<br />
<math>hf=|E_n-E_m| </math> <br />
בהתבססו על הנחות יסוד אלה, חישב בוהר את רדיוסי המסלולים המותרים של אטום המימן, את אנרגיות המצבים היציבים ואורכי הגל של קווי ספקטרום הפליטה או ספקטרום הבליעה המתאימים למעבר של האטום ממצב יציב אחד לאחר.<br />
<br />
לפי החוק השני של ניוטון, לחלקיק בתנועה מעגלית יש תאוצה צנטריפטלית שכיוונה כלפי מרכז המעגל. לכן על החלקיק פועל כח צנטריפטלי שכיוונו למרכז וגדלו <math>F={mv^2 \over r}</math> , הכח המאלץ את האלקטרון לנוע במעגל סביב הגרעין הוא הכח החשמלי המושך אותו אל הגרעין. מהשוואת שני כוחות אלו נקבל את רדיוס המסלול:<br />
<br />
<math>r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}</math> <br />
<br />
כאשר <math>\epsilon_0=8.85*10^{-12} Fm^{-1}</math> הוא הקבוע הדיאלקטרי של החלל החופשי. <br />
<br />
הצבת ערכה של <math>v</math> ממשוואת התנאי למסלולים סטציונריים נותנת ערך בדיד לרדיוסים:<br />
<br />
<math>r_n=({{\epsilon_0 h^2} \over {\pi me^2}})n^2</math> <br />
<br />
האנרגיה של האלקטרון בכל אחד מהמצבים הסטציונריים מורכבת מהאנרגיה הקינטית ומהאנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון והגרעין כלומר:<br />
<br />
<math>E_T=E_p+E_k=-{e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 r}}+{{mv^2} \over 2}</math> <br />
נקבל לאחר הצבת הרדיוס ואלגברה פשוטה כי מסלולי האנרגיה מקוונטטים ושווים:<br />
<br />
<math>E_n=-{{e^4m} \over {8 \pi \epsilon_0 r}}=-{{hcR} \over n^2}</math> <br />
כאשר <math>R={{e^4m} \over {8 \epsilon_0 ^2 h^3c}}</math> קבוע רידברג (Rydberg) <br />
<br />
מתוך ביטוי זה ניתן לשרטט את רמות האנרגיה של אטום המימן (ראו איור 1).<br />
<br />
[[קובץ:ספקטרום פליטה אטום מימן.png|300px|מרכז|ממוזער|איור 1 - ספקטרום פליטה של אטום מימן]]<br />
<br />
הקווים הספקטרליים של אטומי המימן יוצרים מספר סדרות המתאימות למעברים של האטום מרמת אנרגיה גבוהה (n) לנמוכות יותר (m). סדרות אלו קיבלו שמות של המדענים: Lyman, Balmer, , Paschen, Brackett, Pfund.<br />
<br />
בעבודה זו נשתמש בסדרת Balmer כי בסדרה זו קוי הספקטרום המתקבלים הם בתחום הנראה. מודל בוהר נותן במדוייק את הקווים הספקטרליים של אטום המימן או דמוי מימן – שבקליפתו החיצונית אלקטרון אחד בלבד, אך נכשל במקרים אחרים. לתיאור אטומים בעלי מספר אלקטרונים, יש להשתמש בתיאור הקוונטי המלא של האטום – לפי משוואת שרדינגר.<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ (Franck–Hertz)===<br />
<br />
במעבדה זו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ (James Franck – Gustav Hertz), אשר הפכו לאחת ההוכחות הניסיוניות הראשונות למודל בוהר המהווה יסוד לפיסיקה הקוונטית. פרס נובל לפיסיקה הוענק ל[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%A1%D7%98%D7%91_%D7%94%D7%A8%D7%A5 גוסטב הרץ] ו[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92'%D7%99%D7%99%D7%9E%D7%A1_%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A7 ג'יימס פרנק] עבור ניסויים אלה ב-1925.<br />
<br />
'''פוטנציאלים של עירור (excitation) ויינון (ionization)'''<br />
<br />
בליעת אנרגיה ע"י אטום ומעבר האטום למצב סטציונרי בעל אנרגיה גדולה יותר נקרא עירור. אנרגית העירור מבוטאת בדרך כלל ביחידות אלקטרון-וולט (eV). על מנת לקבוע את המצבים הסטציונריים ניתן להשתמש בהפצצת אטומים באלקטרונים. כאשר האנרגיה של אלקטרונים נמוכה, ההתנגשויות עם האטומים הן אלסטיות. כתוצאה מהבדל גדול במסות של האלקטרונים והאטומים, האלקטרונים מעבירים לאטומים רק חלק קטן מהאנרגיה שלהם. אולם כשהאנרגיה מגיעה לערך מסוים ההתנגשויות כבר אינן אלסטיות: אלקטרונים מוסרים לאטומים את כל האנרגיה שלהם, והאטומים עוברים למצב בעל אנרגיה גדולה יותר. ניסוים אלה מוכיחים את קיומם של מצבים סטציונריים באטום ומאפשרים למדוד את האנרגיות שלהם. אם אנרגית האלקטרונים מספיק גדולה, מתרחש יינון האטום - בריחת אלקטרון אחד מאטום והפיכת האטום ליון. <br />
<br />
==מערכת הניסוי==<br />
<br />
===ספקטרום הפליטה של מימן===<br />
<br />
המערכת מורכבת ממנורת מימן הפועלת תחת מתח של <math>5000V</math>. אטומי המימן מעוררים ופולטים קרינת אור נראה. כדי למצוא את אורכי הגל של האור הנפלט נשתמש בספקטרוסקופ, ראו איור 2. בספקטרומטר, האור הנפלט מהמימן החם עובר דרך שריג עקיפה ויוצר תמונת התאבכות. בתמונה זו מופרדים הגלים לפי אורך הגל שלהם, ועל ידי כיול ניתן לראות את סדרת אורכי הגל של הקרינה הנפלטת. <br />
<br />
[[קובץ:מנורת מימן.png|450px|מרכז|ממוזער|איור 3 - ספקטרומטר (מימין) ומנורת מימן (משמאל)]]<br />
<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ===<br />
<br />
בניסוי שלנו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ. נשתמש בשפופרת תיראטרון (thyratron)- טריאודה ממולאת גז עם קתודה מחוממת הפולטת אלקטרונים. בין האנודה לקטודה ישנו שריג (grid) שצורתו המחוררת מאפשרת מעבר אלקטרונים דרכו. מתח מאיץ מופעל בין השריג לבין הקתודה של התיראטרון ושולט על תנועת האלקטרונים (ראו איור 2). <br />
<br />
[[קובץ:תיראטרון.png|150px|שמאל|ממוזער|איור 3 - מבנה התיראטרון. העיגול השחור מיצג המצאות גז בשפופרת]]<br />
<br />
מעגל המדידה מסורטט באיור 4. במערכת זו מפעילים מתח שלילי על האנודה (אלקטרודה המשמשת כקולט), כך שאלקטרונים אינם יכולים להגיע אליו. בישומים רגילים של תיראטרון האנודה מוחזקת בפוטנציאל חיובי על מנת לקלוט את האלקטרונים. <br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נוצר כאשר מתבצע עירור באטומי הגז שבשפופרת באופן הבא:<br />
האלקטרונים אשר נפלטים מהקתודה המחוממת ומואצים לעבר השריג (בשל הפוטנציאל החיובי) מתנגשים עם אטומי הגז שבשפופרת. בשלב הראשוני ההתנגשויות הינם אלסטיות כך שהאלקטרונים כמעט ולא מאבדים מהאנרגיה שלהם וממשיכים לעבר השריג. גם האלקטרונים המצליחים לעבור את השריג חוזרים בחזרה אליו בשל הפוטנציאל השלילי של הקולט. כאשר האנרגיה הקינטית של האלקטרונים (בשל הגדלת הפוטנציאל), שווה לרמת האנרגיה של אטומי הגז מתבצע עירור של האטומים. האלקטרונים מוסרים את האנרגיה שלהם לאטומים ובככך גורמים לאלקטרוני אטומי-הגז לעבור למסלול סטציונרי בעל אנרגיה גבוהה יותר. לאחר פרק זמן קצר מאוד, האלקטרונים חוזרים למצב בעל אנרגיה יותר נמוכה, ופולטים פוטונים. פוטונים אלו פוגעים בקולט וגורמים לאפקט הפוטו-אלקטרי. פוטונים משחררים אלקטרונים מהקולט (אנרגית הפוטונים גדולה פונקציית העבודה של הקולט). אלקטרונים אלה נעים מהקולט לעבר השריג וכך נוצר הזרם במעגל הקולט.<br />
<br />
[[קובץ: מעגל הניסוי אטום.png|650px|מרכז|ממוזער|איור 4 - מעגל המדידה]]<br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נמדד בעזרת מכשיר בעל רגישות בסדר גודל של <math>10^{-10} A</math>. במערכת שלנו במעגל הקולט קיים נגד של <math>1 M \Omega</math>, כאשר מודדים עליו את מפל מתח עליו מבאמצעות מילי-וולטמטר בעל רגישות של <math>0.1mV</math>, סך כל הרגישות בזרם הנמדד תהיה <math>10^{-10} A</math>. <br />
<br />
פוטנציאל העירור של אטומי הגז בתיראטרון שווה למתח המאיץ שעבורו מופיע זרם במעגל של הקולט. את פוטנציאל היינון קובעים לפי עלייה חזקה בזרם השריג. עלייה זאת קשורה לנטרול של המטען האלקטרוני המרחבי ליד הקתודה על ידי היונים החיוביים שהופיעו. על מנת להגביל את זרם השריג, הוכנסה התנגדות למעגל.<br />
<br />
==מהלך הניסוי==<br />
<br />
'''ספקטרום הפליטה של מימן'''<br />
<br />
את המערכת יפעיל ויכבה המדריך בלבד!<br />
<br />
סכנה! המנורה פועלת תחת מתח של <math>5000 V</math>! אין לקרב אל המנורה חפצים מתכתיים או ידיים. <br />
<br />
יש להסתכל דרך הספקטרוסקופ ולמצוא את אורכי הגל של 3 הקווים הברורים ביותר. ניתן לראות עוד קווים חלשים יותר – כתוצאה ממולקולות מימן.<br />
<br />
* חשבו את ערכו הממוצע של קבוע רידברג עבור 3 אורכי הגל המתקבלים.<br />
* שרטטו תרשים של רמות האנרגיה לפי המדידות והחישובים שביצעתם.<br />
<br />
'''ניסוי פרנק–הרץ'''<br />
<br />
בנו את המעגל באיור כאשר המתח השלילי על הקולט הוא <math>5 V</math>. <br />
ומצאו את אופייני הזרם בקולט ובשריג כפונקציה של המתח על השריג. התחל ממתח של <math>0.5 V</math> ועלו בחצאי וולטים. דונו בתוצאות המתקבלות וחשבו את אורך הגל של האור הנפלט.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%98%D7%95%D7%9D&diff=62551אטום2015-10-01T17:54:43Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>[[קובץ:אטום.jpg|שמאל|250px]]<br />
<br />
בשנת 1913 הציג נילס בוהר את מודל האטום שלו, לפיו בתוך האטום אלקטרונים נעים במספר בדיד של מסלולים, שבהם התנע הזוויתי של האלקטרונים הוא בכפולות שלמות של קבוע פלאנק <math>h</math>, חלקי <math>2\pi</math>. המודל הזה הסביר באופן יפה את ספקטרום הפליטה של אטום המימן, וההסבר האינטואיטיבי שעומד מאחוריו הוא שהאלקטרון מתנהג כמו גל, והמסלולים בהם הוא יכול לנוע דומים למצבים עצמיים של גלים. <br />
<br />
בניסוי זה תוכלו לקבוע את רמות האנרגיה של אטום המימן לפי קווי ספקטרום הפליטה שלו ולמצוא את קבוע רידברג (Rydberg). חלקו שני של הניסוי הוא ביצוע גירסא של ניסוי פרנק-הרץ למציאת פוטנציאל עירור ופוטנציאל יינון של אטומי גז אציל. <br />
<br />
==רקע תיאורטי==<br />
=== העשרה - קצת היסטוריה ===<br />
בסוף המאה ה-19, אחרי שג'וזף תומסון הגיע בעקבנות ניסוי למסקנה שהאטום מורכב בתוכו ממטענים חיוביים ושליליים, התפרסם "מודל עוגת הצימוקים" שלו. לפי המודל, האטום מורכב ממטען חיובי שמפוזר בצורה אחידה ובתוכו תקועים אלקטרונים, נושאי מטען שלילי, כפי שצימוקים נמצאים בעוגה.<br />
<br />
בתחילת המאה ה-20, הנס גייגר וארנסט מרסדן, תחת הדרכתו של ארנסט רתרפורד, ביצעו ניסוי בו מפגיזים מספר עלי מתכות שונות בחלקיקי אלפא, והצורה בה חלקיקי האלפא התפזרו מההפגזרות הייתה שונה מהמצופה לפי עוגת הצימוקים, ולפיכך יצאו במודל חדש לאטום: המודל הפלנטרי (מהמילה planet, כוכב לכת). לפי המודל הפלנטרי של רתרפורד, האטום מורכב מגרעין חיובי והאלקטרונים מקיפים אותו כמו שכוכבי הלכת מקיפים את השמש. המודל התאים לתוצאות הניסוי, אך היו בו מספר בעיות, הגדולה שבהן היא העובדה שאם האלקטרונים מסתובבים סביב הגרעין, הם בתאוצה, וידוע מחשמל שמטען בתאוצה פולט קרינה אלקטרומגנטית ומאבד אנרגיה (תראו את זה בקורס תורת שדות אלקטרומגנטיים בשנה ג'), ומכאן שאמור לקרוס אל גרעין האטום. חישובים מדויקים הראו שזמן הקריסה הוא פחות משנייה, וכפי שידוע לנו אטומים הם דברים יציבים, כך שהמודל הפלנטרי נפל גם הוא. <br />
<br />
===מודל האטום של בוהר===<br />
<br />
עקב נפילתו של המודל הפלנטרי של רתרפורד, בשנת 1913 הציע<br />
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%99%D7%9C%D7%A1_%D7%91%D7%95%D7%94%D7%A8 נילס בוהר] (N.Bohr), פיזיקאי דני צעיר שעבד במעבדתו של רתרפורד מודל מתוקן. הנחות בוהר הן עבור אטום המימן שהוא האטום הפשוט ביותר – בו יש אלקטרון אחד המסתובב מסביב לגרעין המכיל פרוטון בודד.<br />
<br />
* אלקטרון יכול לנוע מסביב לגרעין רק במסלולים מעגליים מסויימים. כאשר האלקטרון נע באחד מהמסלולים הללו, אין הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית למרות תנועתו המואצת. הנחה זו מנוגדת לחוקי הפיזיקה הקלאסית ובוהר קיבל אותה כאקסיומה.<br />
<br />
כפי שכתוב בהקדמה, בוהר קבע שהתנאי למסלולים המותרים (נקראים גם סטציונריים) הוא שהתנע הזוויתי <math>L= r \times p = rmv</math> הוא כפולה שלמה של <math>\frac{h}{2\pi} </math>:<br />
<br />
<math>mvr=n {h \over 2 \pi}</math> <br />
כאשר: <math>m</math>- מסת האלקטרון, <math>h</math>-קבוע פלנק ו- <math>n</math> מספר טבעי המאפיין את אינדקס המסלול.<br />
<br />
* אלקטרון יכול לעבור ממסלול סטציונרי מסויים – בעל אינדקס <math>n</math> (בו האנרגיה גבוהה) למסלול סטציונרי אחר - בעל אינדקס <math>m</math> (בו האנרגיה נמוכה) ולהיפך ע"י פליטה או בליעה (בהתאמה) של פוטון בעל אנרגיה מתאימה:<br />
<math>hf=|E_n-E_m| </math> <br />
בהתבססו על הנחות יסוד אלה, חישב בוהר את רדיוסי המסלולים המותרים של אטום המימן, את אנרגיות המצבים היציבים ואורכי הגל של קווי ספקטרום הפליטה או ספקטרום הבליעה המתאימים למעבר של האטום ממצב יציב אחד לאחר.<br />
<br />
לפי החוק השני של ניוטון, לחלקיק בתנועה מעגלית יש תאוצה צנטריפטלית שכיוונה כלפי מרכז המעגל. לכן על החלקיק פועל כח צנטריפטלי שכיוונו למרכז וגדלו <math>F={mv^2 \over r}</math> , הכח המאלץ את האלקטרון לנוע במעגל סביב הגרעין הוא הכח החשמלי המושך אותו אל הגרעין. מהשוואת שני כוחות אלו נקבל את רדיוס המסלול:<br />
<br />
<math>r={e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 m v^2}}</math> <br />
<br />
כאשר <math>\epsilon_0=8.85*10^{-12} Fm^{-1}</math> הוא הקבוע הדיאלקטרי של החלל החופשי. <br />
<br />
הצבת ערכה של <math>v</math> ממשוואת התנאי למסלולים סטציונריים נותנת ערך בדיד לרדיוסים:<br />
<br />
<math>r_n=({{\epsilon_0 h^2} \over {\pi me^2}})n^2</math> <br />
<br />
האנרגיה של האלקטרון בכל אחד מהמצבים הסטציונריים מורכבת מהאנרגיה הקינטית ומהאנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון והגרעין כלומר:<br />
<br />
<math>E_T=E_p+E_k=-{e^2 \over {4 \pi \epsilon_0 r}}+{{mv^2} \over 2}</math> <br />
נקבל לאחר הצבת הרדיוס ואלגברה פשוטה כי מסלולי האנרגיה מקוונטטים ושווים:<br />
<br />
<math>E_n=-{{e^4m} \over {8 \pi \epsilon_0 r}}=-{{hcR} \over n^2}</math> <br />
כאשר <math>R={{e^4m} \over {8 \epsilon_0 ^2 h^3c}}</math> קבוע רידברג (Rydberg) <br />
<br />
מתוך ביטוי זה ניתן לשרטט את רמות האנרגיה של אטום המימן (ראו איור 1).<br />
<br />
[[קובץ:ספקטרום פליטה אטום מימן.png|300px|מרכז|ממוזער|איור 1 - ספקטרום פליטה של אטום מימן]]<br />
<br />
הקווים הספקטרליים של אטומי המימן יוצרים מספר סדרות המתאימות למעברים של האטום מרמת אנרגיה גבוהה (n) לנמוכות יותר (m). סדרות אלו קיבלו שמות של המדענים: Lyman, Balmer, , Paschen, Brackett, Pfund.<br />
<br />
בעבודה זו נשתמש בסדרת Balmer כי בסדרה זו קוי הספקטרום המתקבלים הם בתחום הנראה. מודל בוהר נותן במדוייק את הקווים הספקטרליים של אטום המימן או דמוי מימן – שבקליפתו החיצונית אלקטרון אחד בלבד, אך נכשל במקרים אחרים. לתיאור אטומים בעלי מספר אלקטרונים, יש להשתמש בתיאור הקוונטי המלא של האטום – לפי משוואת שרדינגר.<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ (Franck–Hertz)===<br />
<br />
במעבדה זו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ (James Franck – Gustav Hertz), אשר הפכו לאחת ההוכחות הניסיוניות הראשונות למודל בוהר המהווה יסוד לפיסיקה הקוונטית. פרס נובל לפיסיקה הוענק ל[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%95%D7%A1%D7%98%D7%91_%D7%94%D7%A8%D7%A5 גוסטב הרץ] ו[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92'%D7%99%D7%99%D7%9E%D7%A1_%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A7 ג'יימס פרנק] עבור ניסויים אלה ב-1925.<br />
<br />
'''פוטנציאלים של עירור (excitation) ויינון (ionization)'''<br />
<br />
בליעת אנרגיה ע"י אטום ומעבר האטום למצב סטציונרי בעל אנרגיה גדולה יותר נקרא עירור. אנרגית העירור מבוטאת בדרך כלל ביחידות אלקטרון-וולט (eV). על מנת לקבוע את המצבים הסטציונריים ניתן להשתמש בהפצצת אטומים באלקטרונים. כאשר האנרגיה של אלקטרונים נמוכה, ההתנגשויות עם האטומים הן אלסטיות. כתוצאה מהבדל גדול במסות של האלקטרונים והאטומים, האלקטרונים מעבירים לאטומים רק חלק קטן מהאנרגיה שלהם. אולם כשהאנרגיה מגיעה לערך מסוים ההתנגשויות כבר אינן אלסטיות: אלקטרונים מוסרים לאטומים את כל האנרגיה שלהם, והאטומים עוברים למצב בעל אנרגיה גדולה יותר. ניסוים אלה מוכיחים את קיומם של מצבים סטציונריים באטום ומאפשרים למדוד את האנרגיות שלהם. אם אנרגית האלקטרונים מספיק גדולה, מתרחש יינון האטום - בריחת אלקטרון אחד מאטום והפיכת האטום ליון. <br />
<br />
==מערכת הניסוי==<br />
<br />
===ספקטרום הפליטה של מימן===<br />
<br />
המערכת מורכבת ממנורת מימן הפועלת תחת מתח של <math>5000V</math>. אטומי המימן מעוררים ופולטים קרינת אור נראה. כדי למצוא את אורכי הגל של האור הנפלט נשתמש בספקטרוסקופ, ראו איור 2. בספקטרומטר, האור הנפלט מהמימן החם עובר דרך שריג עקיפה ויוצר תמונת התאבכות. בתמונה זו מופרדים הגלים לפי אורך הגל שלהם, ועל ידי כיול ניתן לראות את סדרת אורכי הגל של הקרינה הנפלטת. <br />
<br />
[[קובץ:מנורת מימן.png|450px|מרכז|ממוזער|איור 3 - ספקטרומטר (מימין) ומנורת מימן (משמאל)]]<br />
<br />
<br />
===ניסוי פרנק-הרץ===<br />
<br />
בניסוי שלנו נחזור על אחת הגרסאות של ניסוי פרנק-הרץ. נשתמש בשפופרת תיראטרון (thyratron)- טריאודה ממולאת גז עם קתודה מחוממת הפולטת אלקטרונים. בין האנודה לקטודה ישנו שריג (grid) שצורתו המחוררת מאפשרת מעבר אלקטרונים דרכו. מתח מאיץ מופעל בין השריג לבין הקתודה של התיראטרון ושולט על תנועת האלקטרונים (ראו איור 2). <br />
<br />
[[קובץ:תיראטרון.png|150px|שמאל|ממוזער|איור 3 - מבנה התיראטרון. העיגול השחור מיצג המצאות גז בשפופרת]]<br />
<br />
מעגל המדידה מסורטט באיור 4. במערכת זו מפעילים מתח שלילי על האנודה (אלקטרודה המשמשת כקולט), כך שאלקטרונים אינם יכולים להגיע אליו. בישומים רגילים של תיראטרון האנודה מוחזקת בפוטנציאל חיובי על מנת לקלוט את האלקטרונים. <br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נוצר כאשר מתבצע עירור באטומי הגז שבשפופרת באופן הבא:<br />
האלקטרונים אשר נפלטים מהקתודה המחוממת ומואצים לעבר השריג (בשל הפוטנציאל החיובי) מתנגשים עם אטומי הגז שבשפופרת. בשלב הראשוני ההתנגשויות הינם אלסטיות כך שהאלקטרונים כמעט ולא מאבדים מהאנרגיה שלהם וממשיכים לעבר השריג. גם האלקטרונים המצליחים לעבור את השריג חוזרים בחזרה אליו בשל הפוטנציאל השלילי של הקולט. כאשר האנרגיה הקינטית של האלקטרונים (בשל הגדלת הפוטנציאל), שווה לרמת האנרגיה של אטומי הגז מתבצע עירור של האטומים. האלקטרונים מוסרים את האנרגיה שלהם לאטומים ובככך גורמים לאלקטרוני אטומי-הגז לעבור למסלול סטציונרי בעל אנרגיה גבוהה יותר. לאחר פרק זמן קצר מאוד, האלקטרונים חוזרים למצב בעל אנרגיה יותר נמוכה, ופולטים פוטונים. פוטונים אלו פוגעים בקולט וגורמים לאפקט הפוטו-אלקטרי. פוטונים משחררים אלקטרונים מהקולט (אנרגית הפוטונים גדולה פונקציית העבודה של הקולט). אלקטרונים אלה נעים מהקולט לעבר השריג וכך נוצר הזרם במעגל הקולט.<br />
<br />
[[קובץ: מעגל הניסוי אטום.png|650px|מרכז|ממוזער|איור 4 - מעגל המדידה]]<br />
<br />
הזרם במעגל הקולט נמדד בעזרת מכשיר בעל רגישות בסדר גודל של <math>10^{-10} A</math>. במערכת שלנו במעגל הקולט קיים נגד של <math>1 M \Omega</math>, כאשר מודדים עליו את מפל מתח עליו מבאמצעות מילי-וולטמטר בעל רגישות של <math>0.1mV</math>, סך כל הרגישות בזרם הנמדד תהיה <math>10^{-10} A</math>. <br />
<br />
פוטנציאל העירור של אטומי הגז בתיראטרון שווה למתח המאיץ שעבורו מופיע זרם במעגל של הקולט. את פוטנציאל היינון קובעים לפי עלייה חזקה בזרם השריג. עלייה זאת קשורה לנטרול של המטען האלקטרוני המרחבי ליד הקתודה על ידי היונים החיוביים שהופיעו. על מנת להגביל את זרם השריג, הוכנסה התנגדות למעגל.<br />
<br />
==מהלך הניסוי==<br />
<br />
'''ספקטרום הפליטה של מימן'''<br />
<br />
את המערכת יפעיל ויכבה המדריך בלבד!<br />
<br />
סכנה! המנורה פועלת תחת מתח של <math>5000 V</math>! אין לקרב אל המנורה חפצים מתכתיים או ידיים. <br />
<br />
יש להסתכל דרך הספקטרוסקופ ולמצוא את אורכי הגל של 3 הקווים הברורים ביותר. ניתן לראות עוד קווים חלשים יותר – כתוצאה ממולקולות מימן.<br />
<br />
* חשבו את ערכו הממוצע של קבוע רידברג עבור 3 אורכי הגל המתקבלים.<br />
* שרטטו תרשים של רמות האנרגיה לפי המדידות והחישובים שביצעתם.<br />
<br />
'''ניסוי פרנק–הרץ'''<br />
<br />
בנו את המעגל באיור כאשר המתח השלילי על הקולט הוא <math>5 V</math>. <br />
ומצאו את אופייני הזרם בקולט ובשריג כפונקציה של המתח על השריג. התחל ממתח של <math>0.5 V</math> ועלו בחצאי וולטים. דונו בתוצאות המתקבלות וחשבו את אורך הגל של האור הנפלט.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%A8%D7%9B%D7%91%D7%AA_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA_(%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%A4%D7%95%D7%96%D7%99%D7%A6%D7%99%D7%94)&diff=62461אינפי 1/גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)2015-08-31T07:24:57Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%A8%D7%9B%D7%91%D7%AA_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA_(%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%A4%D7%95%D7%96%D7%99%D7%A6%D7%99%D7%94)&diff=62460אינפי 1/גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)2015-08-31T07:23:52Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)</tex> </tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)</tex><br />
<br />
</tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%A8%D7%9B%D7%91%D7%AA_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA_(%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%A4%D7%95%D7%96%D7%99%D7%A6%D7%99%D7%94)&diff=62459קוד:גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)2015-08-31T07:21:46Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>\begin{thm}<br />
תהיינה $f:A\to B , g:B\to \mathbb{R} , A,B\subseteq \mathbb{R} $ ונניח כי <br />
<br />
1.$\lim_{x\to p} f(x)=q $<br />
<br />
2.$\lim_{x\to q} g(x)=l $<br />
<br />
3. קיימת סביבה של $p$ שבה $f(x)\neq q $<br />
<br />
אזי אם נגדיר $h=g\circ f $ יהיה קיים הגבול $\lim_{x\to p} h(x) $ והוא יהיה שווה ל- $l$<br />
\end{theorem}<br />
<br />
\begin{example}[למה תנאי 3 הוא הכרחי]<br />
<br />
נניח $f(x)\equiv 0 $ ו- $g(x)=\begin{cases} 0\ \text{if}\ x\neq 0 \\ 1\ \text{if}\ x=0\end{cases} $ .<br />
<br />
נראה כי $h(x)\equiv 1 $ ולכן $\lim_{x\to 0} h(x)=1 $ למרות ש-<br />
<br />
$\lim_{x\to 0} f(x) = 0 $ ו- $\lim_{x\to 0} g(x) = 0 $<br />
<br />
\end{example}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
נשתמש בעקרון היינה: תהי $x_n\to p , x_n \neq p $ . נגדיר $y_n=f(x_n) $ ואז $y_n\to q$ ומהנתון השלישי $y_n\neq q $, מכאן ש- $h(x_n)=g(f(x_n))=g(y_n)\to l $ , כדרוש<br />
\end{proof}<br />
<br />
\begin{example}[דוגמאות חישוב גבולות]<br />
<br />
1. $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin ax} {x} = \{y=ax\} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{\frac{y}{a}} = a\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = a $$<br />
<br />
2. $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin \sin x} {\sin x} = \{y=\sin x\} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 $$<br />
<br />
\end{example}</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%A9%D7%9C_%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA&diff=62458אינפי 1/אריתמטיקה של גבולות של פונקציות2015-08-31T07:10:42Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%A9%D7%9C_%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA&diff=62457קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות2015-08-31T07:08:56Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>תהיינה $ f,g $ פונקציות.<br />
<br />
<br />
\begin{thm} אם<br />
$$ \lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $$<br />
אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו היא פונקציה ששואפת ל-0)<br />
<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof} <br />
נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ <br />
\end{proof}<br />
<br />
<br />
\begin{thm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:<br />
<br />
1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $<br />
<br />
2. $ \lim_{x\to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2 $<br />
<br />
3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot f(x) \to cl_1 $<br />
<br />
4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $<br />
<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות:<br />
$$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$<br />
השאר מוכחים באופן דומה.<br />
\end{proof}</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%97%D7%A1_%D7%91%D7%99%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1_%D7%9C%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%91-0&diff=62456קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-02015-08-30T21:02:19Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $. <br />
<br />
\begin{thm}<br />
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים:<br />
$$\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $$<br />
ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $<br />
\end{proof}<br />
<br />
האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%97%D7%A1_%D7%91%D7%99%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1_%D7%9C%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%91-0&diff=62455גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-02015-08-30T21:00:31Z<p>Ofekgillon10: Ofekgillon10 העביר את הדף גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0 ל־אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0: אחידות בכותרת</p>
<hr />
<div>#הפניה [[אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%97%D7%A1_%D7%91%D7%99%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1_%D7%9C%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%91-0&diff=62454אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-02015-08-30T21:00:29Z<p>Ofekgillon10: Ofekgillon10 העביר את הדף גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0 ל־אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0: אחידות בכותרת</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%97%D7%A1_%D7%91%D7%99%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1_%D7%9C%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%91-0&diff=62453אינפי 1/גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-02015-08-30T20:58:47Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </late..."</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%97%D7%A1_%D7%91%D7%99%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%A1_%D7%9C%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%91-0&diff=62452קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-02015-08-30T20:57:36Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $. <br />
<br />
\begin{thm}<br />
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $<br />
\end{thm}<br />
<br />
\begin{proof}<br />
זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים:<br />
$$\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $$<br />
ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $<br />
\end{proof}<br />
<br />
האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.<br />
<br />
\begin{cor}<br />
$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $<br />
\end{cor}<br />
\begin{proof}<br />
$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac12 \left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \left ( \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} \right )^2=\frac{1}{2} $$<br />
בהוכחה השתמשנו בזהות $ \cos(\alpha)=1-2\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) $ ובהצבה $t=\frac{x}{2}$ עם אריתמטיקה של גבולות.<br />
\end{proof}<br />
<br />
שני הגבולות האלו הם גבולות חשובים שיהיו שימושיים מאוד בהמשך הקורס.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9B%D7%AA%D7%99%D7%91%D7%94_%D7%91-XI&diff=61324כתיבה ב-XI2015-06-15T16:46:26Z<p>Ofekgillon10: /* קישורים שימושיים */</p>
<hr />
<div>[[קובץ:Minion.jpg|center]]<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><br />
'''עמוד זה מיועד למיניונים בלבד'''<br />
</div><br />
<br />
בעמוד זה יפורטו טיפים לכתיבה במערכת ה-XI בעריכת השאלות.<br />
<br />
==קישורים שימושיים==<br />
<br />
* [http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/maxima_toc.html#SEC_Contents קישור ל-Tutorial של Maxima]. יש שם את כל הפונקציות של Maxima, בצירוף הסברים ודוגמאות.<br />
<br />
* [[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
==אלגברה לינארית==<br />
<br />
[http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/maxima_23.html#SEC114 הקישור המתאים ב-Tutorial]<br />
<br />
===הגרלת מטריצה הפיכה שלמה===<br />
<br />
יש שתי דרכים (שקולות) להגריל מטריצות הפיכות ב-<math>M_n\left(\mathbb{Z}\right)</math>, כך שההופכית גם ב-<math>M_n\left(\mathbb{Z}\right)</math>:<br />
* אפשר לקחת את <math>I</math>, ולהפעיל עליה פעולות שורה ועמודה רק מהצורה <math>R_i\leftarrow R_i+R_j</math> (והחלפת שורות).<br />
* אפשר לכפול את מטריצות השורה האלמנטריות המתאימות לפעולה <math>R_i\leftarrow R_i+R_j</math> זו בזו.<br />
<br />
====דוגמה לשימוש בדרך השנייה====<br />
<br />
למטריצות <math>2\times 2</math>:<br />
<br />
<div style="text-align: left;" dir="left-to-right"><br />
S:[matrix([1, 1], [0, 1]), matrix([1, 0], [1, 1])]<br />
P:S[rand(2) + 1].S[rand(2) + 1].S[rand(2) + 1].S[rand(2) + 1].S[rand(2) + 1]<br />
</div><br />
<br />
למטריצות <math>3\times 3</math> (תמחקו את ה-Enter-ים בהגדרה של S; הוספתי את זה כדי שזה לא ייצא מהדף):<br />
<br />
<div style="text-align: left;" dir="left-to-right"><br />
S:[matrix([1, 1, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]), matrix([1, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]),<br />
matrix([1, 0, 0], [1, 1, 0], [0, 0, 1]), matrix([1, 0, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]),<br />
matrix([1, 0, 0], [0, 1, 0], [1, 0, 1]), matrix([1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 1, 1])]<br />
P:S[rand(6) + 1].S[2].S[rand(6) + 1].S[rand(6) + 1].S[rand(6) + 1]<br />
</div><br />
<br />
===הגרלת מטריצות נחמדות===<br />
<br />
אפשר לבחור צורה מדורגת קנונית, ואז לכפול אותה במטריצות כנ"ל, ובכך אנחנו גם שולטים על הצורה המדורגת הקנונית וגם על פעולות השורה.<br />
<br />
(אפשר גם להיעזר בפעולות אחרות; ראו בקישור למעלה)<br />
<br />
===צירוף וקטורי עמודה מרשימה למטריצה===<br />
<br />
נניח שיש לנו רשימה l, המכילה וקטורי עמודה, ואנו רוצים לצרף אותם למטריצה שהווקטורים ב-l יהיו העמודות שלה. המטריצה המתאימה היא<br />
<br />
<div style="text-align: left;" dir="left-to-right"><br />
transpose(apply('matrix, maplist('first, maplist('args, maplist('transpose, l)))))<br />
</div></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=61224משתמש:Ofekgillon102015-06-05T19:54:18Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>סטודנט שנה ג' למתמטיקה-פיזיקה (שנה ב' פיזיקה)<br />
<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר אריאל גיל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|מד"ר]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! [[88-201 תשעד סמסטר ב|גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית]]<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! [[88-341 תשעה סמסטר א|אנליזה מודרנית 1]]<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! [[88-520 טופולוגיה אלגברית 1 תשעה סמסטר א|טופולוגיה אלגברית 1]]<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| ד"ר ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גברת שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:Ofekgillon10&diff=61223משתמש:Ofekgillon102015-06-05T19:23:34Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>סטודנט שנה ג' למתמטיקה-פיזיקה (שנה ב' פיזיקה)<br />
<br />
{| class="userCourses" cellpadding="3"<br />
|-<br />
! סמסטר<br />
! שם הקורס<br />
! מספר ההרצאה<br />
! שם המרצה<br />
! מספר התרגול<br />
! שם המתרגל/ת<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ב<br />
! [[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשעב|מתמטיקה בדידה]]<br />
| 88-195-11<br />
| ד״ר שי סרוסי<br />
| 88-195-12<br />
| גב׳ יפית נתני<br />
|-<br />
! [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב|אלגברה לינארית 1]]<br />
| 88-112-08<br />
| ד״ר מיטל רובינסון<br />
| 88-112-09<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר א' תשע"ג<br />
! [[88-113 תשעג סמסטר א|אלגברה לינארית 2]]<br />
| 88-113-05<br />
| פרופ' בוריס קוניאבסקי<br />
| 88-113-07<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
! [[88-132 תשעג סמסטר א|חשבון אינפיניטסימלי 1]]<br />
| 88-132-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-132-06<br />
| מר [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר ב' תשע"ג<br />
! [[88-133 תשעג סמסטר ב|חשבון אינפיניטסימלי 2]]<br />
| 88-133-05<br />
| ד"ר מיכאל שיין<br />
| 88-133-06<br />
| מר שי גול<br />
|-<br />
! [[88-151 שימושי מחשב במתמטיקה תשעב סמסטר ב' תשע"ג|שימושי מחשב במתמטיקה]]<br />
| 88-151-06<br />
| ד"ר אריאל גיל<br />
| 88-132-07<br />
| מר שימי ריאני<br />
|-<br />
| rowspan="2" | סמסטר קיץ תשע"ג<br />
! <span style="color: red;">הסתברות לפיזיקאים</span><br />
| 86-156-06<br />
| יובל גרעיני<br />
| 86-156-07<br />
| מר אלדד קפטן<br />
|-<br />
! [[88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג|אלגברה מופשטת 1]]<br />
| 88-211-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-211-07<br />
| מר תומר ב.<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר א' תשע"ד<br />
! <span style="color: red;">מכניקה</span><br />
| 86-115-02<br />
| ד"ר אליהו סלוצקין<br />
| 88-115-06<br />
| מר יעקב שקד<br />
|-<br />
! [[88-240 תשעד סמסטר א|מד"ר]]<br />
| 88-240-04<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-240-07<br />
| מר גיא לנדסמן<br />
|-<br />
! [[88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד|חשבון אינפינטסימלי 3]]<br />
| 88-230-05<br />
| פרופ' מרק אגרנובסקי<br />
| 88-230-09<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">רעיונות מודרניים בפיזיקה</span><br />
| 86-112-01<br />
| ד"ר יוסי בן ציון<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר ב' תשע"ד<br />
! [[88-236 אינפי 4 תשעד סמסטר ב|חשבון אינפינטסימלי 4]]<br />
| 88-236-05<br />
| פרופ' אנדרי לרנר<br />
| 88-236-07<br />
| מר מיכאל קונטרוביץ<br />
|-<br />
! [[88-231 תשעד סמסטר ב|פונקציות מרוכבות 1]]<br />
| 88-231-05<br />
| ד"ר שמחה הורוביץ<br />
| 88-231-09<br />
| מר יהונתן סלמן<br />
|-<br />
! [[88-222 תשעד סמסטר ב מגרל|טופולוגיה]]<br />
| 88-222-05<br />
| פרופ' מיכאל מגרל<br />
| 88-222-07<br />
| מר מנחם שלוסברג<br />
|-<br />
! [http://algebra.assafrinot.com/ אלגברה מופשטת 2]<br />
| 88-212-01<br />
| ד"ר אסף רינות<br />
| 88-212-02<br />
| גב' שירה גילת<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">חשמל ומגנטיות</span><br />
| 86-120-02<br />
| פרופ' יצחק רבין<br />
| 86-120-06<br />
| גב' יעל פריד<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מבוא לפיזיקה מודרנית</span><br />
| 86-170-01<br />
| פרופ' אפרת שימשוני<br />
| 86-170-02<br />
| גב' ליהי מוסבט<br />
|-<br />
| rowspan="1" | סמסטר קיץ תשע"ד<br />
! גיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית<br />
| 88-201-05<br />
| פרופ' ראובן כהן<br />
| 88-201-06<br />
| מר עידן אלתר<br />
|-<br />
| rowspan="6" | סמסטר א' תשע"ה<br />
! אנליזה מודרנית 1<br />
| 88-341-01<br />
| ד"ר ניר לב<br />
| 88-341-02<br />
| מר עופר בוסאני<br />
|-<br />
! טופולוגיה אלגברית 1<br />
| 88-520-01<br />
| ד"ר טל נוביק<br />
| ----<br />
| ----<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מתמטיקה לפיזיקאים 3</span><br />
| 86-207-01<br />
| ד"ר אברהם פאר<br />
| 86-207-02<br />
| מר נתנאל חזוט<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מכניקה אנליטית</span><br />
| 86-210-01<br />
| פרופ' יבגני קוגן<br />
| 86-210-02<br />
| מר פאשה טיחונוב<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">גלים</span><br />
| 86-209-01<br />
| ד"ר עמנואל דלה טורה<br />
| 86-209-04<br />
| מר נריה אושרי<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה ממוחשבת</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-232-05<br />
| ד"ר נועה קורצוייל<br />
|-<br />
| rowspan="4" | סמסטר ב' תשע"ה<br />
! <span style="color: red;">תורת הקוונטים 1</span><br />
| 86-311-01<br />
| ד"ר ריצ'רד ברקוביץ'<br />
| 86-311-03<br />
| מר ישי שרייבר<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">תרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית 1</span><br />
| 86-215-01<br />
| ד"ר בינה קליסקי<br />
| 86-215-02<br />
| גברת שירה גלבוע<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">אופטיקה</span><br />
| 86-246-01<br />
| ד"ר שרון שוורץ<br />
| 86-246-02<br />
| מר אריאל נווה<br />
|-<br />
! <span style="color: red;">מעבדה באופטיקה</span><br />
| ----<br />
| ----<br />
| 86-248-02<br />
| מר צחי גלר<br />
|-}<br />
<br />
== סיכומי קורסים וחומרי למידה ==<br />
[[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]<br />
<br />
===אינפי 1===<br />
[[דפי קוד באינפי 1]]<br />
<br />
=== אינפי 2 ===<br />
<br />
[[מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים]]</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%98%D7%95%D7%AA_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%94&diff=60525שיטות אינטגרציה2015-03-27T23:10:46Z<p>Ofekgillon10: /* ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית */</p>
<hr />
<div>בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.<br />
<br />
== אינטגרציה "רגילה" ==<br />
<br />
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR><br />
<math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+\ln\left | x \right |+c</math>.<br />
<br />
=== דף אינטגרלים ===<br />
<br />
[[מדיה:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]<br />
<br />
=== השלמה לריבוע ===<br />
<br />
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>\arctan</math>.<br />
<br />
==== דוגמה ====<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math><br />
<br />
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=\arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math><br />
<br />
== אינטגרציה בחלקים ==<br />
<br />
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR><br />
<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).<br />
<br />
=== דוגמה ===<br />
<br />
נחפש את <math>\int \ln\ x \ dx</math>.<br />
<br />
לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=\ln\ x</math>.<br />
<br />
לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.<br />
<br />
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:<br />
<br />
<math>\int \ln\ x \ dx=x\cdot \ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot \ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot \ln\ x-x+c</math>.<br />
<br />
=== הרחבה ===<br />
<br />
[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]<br />
<br />
== אינטגרציה בהצבה ==<br />
<br />
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR><br />
<math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).<br />
<br />
=== דוגמה ===<br />
<br />
נחפש את <math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.<br />
<br />
נבצע הצבה: <math>du=2\cdot \sin\ x\cdot \cos\ x\ dx=\sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=\sin^2 x</math>. מקבלים:<br />
<br />
<math>\int \frac{\sin\left(2x \right )}{a+\sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=\ln\left ( a+u \right )+c=\ln(a+\sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).<br />
<br />
=== הרחבה ===<br />
<br />
[[שיטת ההצבה|הרחבה]]<br />
<br />
== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==<br />
<br />
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.<br />
<br />
נזכור כי <math>1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>\cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+\tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>.<br />
<br />
נקבל בנוסף <math>\cos\ x=2\cdot \cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.<br />
<br />
לכן:<br />
<br />
<math>\sin\ x=\sqrt{ 1-\cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math><br />
<br />
<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math><br />
<br />
כמו כן, <math>x=2\cdot \arctan\ u</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.<br />
<br />
=== דוגמה ===<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx</math><br />
<br />
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{2+2\cdot \sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=</math><br />
<br />
<math>\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+\tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math><br />
<br />
=== הרחבה ===<br />
<br />
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]<br />
<br />
== פירוק לשברים חלקיים ==<br />
<br />
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייה.<br />
<br />
[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמה]]<br />
<br />
== הצבות אוילר ==<br />
<br />
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.<br />
<br />
=== אוילר 1 - הפולינום פריק ===<br />
<br />
נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )</math>.<br />
<br />
הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.<br />
<br />
==== דוגמה ====<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math><br />
<br />
ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1 \right )-2u\left (u^2-6 \right )}{\left (u^2-1 \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2 \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math><br />
<br />
מקבלים:<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.<br />
<br />
=== אוילר 2 - פולינום יותר כללי ===<br />
<br />
ישנן שתי אפשרויות:<br />
# בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>.<br />
# בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>.<br />
<br />
נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.<br />
<br />
==== דוגמה ====<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math><br />
<br />
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7 \right )-2\left (6-u^2 \right )}{\left (2u+7 \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math>.<br />
<br />
מקבלים:<br />
<br />
<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c</math><br />
<br />
=== הרחבה ===<br />
<br />
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]<br />
<br />
== פונקציה רציונאלית ==<br />
<br />
קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות <math>f\left (x\right )=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). להלן חמישה:<br />
<br />
=== מצב ראשון <math>\deg\ p=\deg\ q-1</math> ===<br />
<br />
במצב כזה, <math>\deg\ q'=\deg\ p</math>, לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg\ h<\ \deg\ q-1</math>. נקבל:<br />
<br />
<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\ \frac{h+q'}{c}\ }{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{1}{c}\cdot \ln|q|</math>. עוברים למצב הבא.<br />
<br />
=== מצב שני <math>\deg\ p<\deg\ q-1</math> ===<br />
<br />
מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הזה]].<br />
<br />
=== מצב שלישי <math>\deg\ p\ge \deg\ q</math> ===<br />
<br />
מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.<br />
<br />
=== הרחבה ===<br />
<br />
[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|הרחבה]]<br />
<br />
== סיכום ==<br />
<br />
'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_2,_%D7%90%D7%95%D7%A0%27_%D7%A2%D7%91%D7%A8%D7%99%D7%AA,_%D7%AA%D7%A9%D7%A1%22%D7%94,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%90,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_9&diff=59767פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 92015-01-31T17:38:48Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div><u>'''למה:'''</u> יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:<br />
<br />
יהי <math>T:v\to v</math> אופרטור לינארי כך ש- <math>p_T (x) = (x-\lambda)^m </math> (עבור <math>m</math> טבעי כלשהוא), אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.<br />
<br />
<br />
<br />
<u>'''הוכחה-'''</u> נניח בשלילה של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.<br />
<br />
כעת, תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית <math>F</math> (אני מוכיח טענה מעט חלשה מדי, אבל זה בסדר כי בשאלה נתון שדה המרוכבים, שסגור אלגברית ).<br />
<br />
יהי <math>B= \left \{ {v_1,...,v_n} \right \}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. ידוע מלינארית 1 שהמטריצה <math>A</math> היא מטריצה מייצגת של הט"ל <math>A</math>. צורת ז'ורדן של הע"ל T מוגדרת כצורת ז'ורדן של מטריצה מייצגת כלשהי של T, ולכן מספיק להוכיח יחידות של צורת ז'ורדן עבור ההע"ל A, ונקבל יחידות עבור המטריצה A.<br />
<br />
יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום.<br />
אזי <math>[T]_b=\begin{pmatrix}<br />
A_\lambda & \\ <br />
& A'<br />
\end{pmatrix}=A_\lambda\oplus A'</math>, כאשר <math>A_\lambda</math> היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, ואילו <math>A'</math> היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה <math>J_m(\mu), \mu \neq \lambda</math>.<br />
<br />
יהי k הר"א של <math>\lambda</math>, אזי <math>A_\lambda</math> היא מסדר <math>k \times k</math>, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)<br />
<br />
ידוע שמתקיים <math>A_\lambda=[T]_{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}</math>, כאשר <math>span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}</math> אינווריאנטי תחת <math>T</math>.<br />
<br />
לכן, <math>A_\lambda</math> היא צורת ז'ורדן של האופרטור <math>T|_{span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}}</math>, והפ"א שלו הוא חזקה של <math>x-\lambda</math>. לפי הלמה, מספר הבלוקים <math>J_m(\lambda)</math> מכל גודל <math>m</math> נקבע באופן יחיד ע"י <math>T</math>.<br />
<br />
לכן צורת ז'ורדן של הע"ל <math>T</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים, ולכן בפרט צורת ז'ורדן של ההע"ל <math>A</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.<br />
<math>\blacksquare </math></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11&diff=59762תשסד,סמסטר ב, מועד ב, שאלה 112015-01-31T16:04:50Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>השאלה:<br />
<br />
תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}<br />
0 & 0 & ... & 0 & 1\\ <br />
1 & 0 & ... & 0 & 0\\ <br />
0 & 1 & ... & 0 & 0\\ <br />
... & ... & ... & ... & ...\\ <br />
0 & 0 & ... & 1 & 0<br />
\end{pmatrix}</math><br />
. מצא את צורת הז'ורדן שלה.<br />
<br />
מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]<br />
<br />
'''פתרון:'''<br />
דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני<br />
<br />
<br />
<math>P_A(x) = | xI-A | = \begin{vmatrix}<br />
x & 0 & ... & 0 & -1\\ <br />
-1 & x & ... & 0 & 0\\ <br />
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ <br />
... & ... & ... & ... & ...\\ <br />
0 & 0 & ... & -1 & x<br />
\end{vmatrix}<br />
</math><br />
<br />
<br />
נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה:<br />
<br />
<br />
<math>x\begin{vmatrix}<br />
x & 0 & ... & 0 & 0\\ <br />
-1 & x & ... & 0 & 0\\ <br />
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ <br />
... & ... & ... & ... & ...\\ <br />
0 & 0 & ... & -1 & x<br />
\end{vmatrix} + (-1)^{3} \cdot (-1) \begin{vmatrix}<br />
0 & 0 & ... & 0 & -1\\ <br />
-1 & x & ... & 0 & 0\\ <br />
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ <br />
... & ... & ... & ... & ...\\ <br />
0 & 0 & ... & -1 & x<br />
\end{vmatrix}</math><br />
<br />
כאשר שתי הדטרמיננטות הנ"ל הן של מטריצות מגודל <math>(n-1) \times (n-1)</math> ... הדטר' הראשונה היא של מטר' משולשית ושווה בדיוק <math>x^{n-1}</math> לדטר' השנייה נעשה פיתוח לפי השורה הראשונה:<br />
<br />
<math>\begin{vmatrix}<br />
0 & 0 & ... & 0 & -1\\ <br />
-1 & x & ... & 0 & 0\\ <br />
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ <br />
... & ... & ... & ... & ...\\ <br />
0 & 0 & ... & -1 & x<br />
\end{vmatrix} = (-1)^{(n-1)+1} \cdot (-1) \begin{vmatrix}<br />
-1 & x & ... & 0 & 0\\ <br />
0 & -1 & ... & 0 & 0\\ <br />
... & ... & ... & ... & ...\\ <br />
0 & 0 & ... & -1 & x \\<br />
0 & 0 & ... & 0 & -1<br />
\end{vmatrix}</math><br />
<br />
ולמזלנו קיבלנו מטר' משולשית שבאלכסונה 1-, ולכן (מכיוון שהגודל שלה הוא n-2) הדטר' שלה הוא: <math>(-1)^{n-2}</math> עכשיו נציב את כל מה שחישבנו בחישוב של הדטר' המקורית:<br />
<br />
<math>| xI-A | = x \cdot x^{n-1} + (-1)^{4} \cdot (-1)^{n} \cdot (-1) \cdot (-1)^{n-2} = x^{n} + (-1)^{2n + 3} = x^{n} - 1</math><br />
<br />
וקיבלנו שהפולינום האופייני של A הוא <math>P_A(x) = x^{n}-1</math> לפולינום זה אנחנו יודעים שיש n שורשים מרוכבים(ז"א n ע"ע של A), ומכיוון ש <math>deg P_A = n</math> הריבוי האלגברי של כל אחד מהע"ע הללו [שורשי היחידה] הוא 1, ומכיוון שכל הגורמים הלינאריים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי עם דרגה שקטנה מהדרגה בפולינום האופייני, הפולינום המינימלי של A זהה לפולינום האופייני שלה. כמו כן הריבוי הגיאומטרי של ע"ע, קטן מהריבוי האלגברי ולכן במקרה שלנו שווה ל 1.<br />
<br />
בצורת ז'ורדן של מטר' הבלוק הגדול ביותר של ע"ע <math>\lambda</math> הוא החזקה של <math>x-\lambda</math> בפולינום המינימלי, ומספר הבלוקים שבאלכסונם <math>\lambda</math> שווה לריבוי הגיאמורי של <math>\lambda</math>.<br />
<br />
שני הערכים הנ"ל במקרה שלנו שווים ל 1, ולכן צורת ז'ורדן של A היא מטר' בלוקים-אלכסונית עם בלוקים מגודל 1 (כל בלוק פעם אחת בלבד), ז"א שעל האלכסון שלה מופיעים כל הע"ע של A בדיוק פעם אחת. [ז"א ש A לכסינה]<br />
<br />
אם נהיה יותר ספיציפים: יהיו <math>\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n</math> שורשי היחידה מסדר n, אז צורת ז'ורדן של A היא: <math>\begin{pmatrix}<br />
\alpha_1 & 0 & ... & 0\\ <br />
0 & \alpha_2 & ... & 0\\ <br />
... & ... & ... & ...\\ <br />
0 & 0 & ... & \alpha_n<br />
\end{pmatrix}</math><br />
(כפי שלמדנו, סדר הבלוקים לא משנה)<br />
<br />
'''הערה:''' החישוב שביצענו על מנת למצוא את הפולינום האופייני של A לא תקף עבור n=1,2 ולכן במקרים אלו צריך חישוב מיוחד שאכן נותן את הפולינומים <math>x-1,x^{2}-1</math> בהתאמה, מה שמתאים להמשך הפתרון.</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%94%D7%92%D7%93%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%9C%D7%A4%D7%99_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99&diff=59320אינפי 1/הגדרת הגבול לפי קושי2015-01-08T09:27:33Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<tex>קוד:הגדרת הגבול לפי קושי</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%95%D7%93:%D7%94%D7%92%D7%93%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%9C%D7%A4%D7%99_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99&diff=59319קוד:הגדרת הגבול לפי קושי2015-01-08T09:25:47Z<p>Ofekgillon10: </p>
<hr />
<div>כעת מעולם הסדרות אנחנו הולכים לעבור לעולם הפונקציות, בו נעסוק מעכשיו ועד סוף אינפי. כמו שבסדרות התחלנו מההגדרה של מה הוא גבול סדרה, גם פה אנו צריכים לדבר על גבול של פונקציה.\\<br />
אם בסדרות אפשר היה לדבר על גבול "באינסוף" בלבד, כלומר לאן הסדרה הולכת ושואפת כשמתקדמים באיברי הסדרה, הרי שבפונקציה אפשר לדבר על לאן הפונקציה מתקרבת בסביבה של נקודה.\\<br />
להגדרת גבול של פונקציה בנקודה יש 2 גרסאות, לפי קושי ולפי היינה. פה נראה את ההגדרה של קושי לגבול:<br />
\begin{definition}<br />
אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f(x)$ בנקודה $a$ ומסמנים: $ \displaystyle{\lim_{x\to a}} f(x)=L $ אם מתקיים<br />
$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x : \left (0<|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \right ) $$<br />
\end{definition}<br />
שוב אנו נתקלים בהגדרת גבול שנראית מסובכת במבט ראשון, אבל העקרון העומד מאחוריה הגיוני. אנו רוצים שעבור כל מרחק מהגבול $L$, לא חשוב כמה קטן (זה ה- $\varepsilon>0 $), תהיה לנו סביבה של $a$ (ה"רדיוס" שלה הוא $\delta$) שכל הערכים בסביבה זו מלבד $a$ (משום שהרעיון בגבול זה שלא אכפת לנו מה קורה בנקודה עצמה) מועברים ע"י $f$ למספרים שהמרחק שלהם מ-$L$ קטן מהמרחק ההתחלתי שניתן לנו.<br />
<br />
\begin{example}<br />
<br />
$f(x)=\begin{cases} 1 & \text{if} \ x\neq0 \\ 0& \text{if}\ x=0\end{cases} $ אז $\lim_{x\to 0} f(x)=1 $ <br />
\end{example}<br />
\begin{proof} יהי אפסילון גדול מ-$0$, במקרה הזה אפשר לבחור כל $\delta $, ניקח לדוגמה $\delta = 1 $ ואז לכל $x$ שמקיים $|x-0|<1 $ מתקיים ש- $|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon $ . <br />
\end{proof}</div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%90%D7%A4%D7%99%D7%95%D7%9F_%D7%A0%D7%A7%27_%D7%A7%D7%99%D7%A6%D7%95%D7%9F_%D7%A2%D7%A4%22%D7%99_%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%A1%D7%93%D7%A8_%D7%92%D7%91%D7%95%D7%94&diff=59318אינפי 1/אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה2015-01-07T22:56:02Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%97%D7%A7%D7%99%D7%A8%D7%94_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA&diff=59317אינפי 1/חקירה של פונקציות מונוטוניות2015-01-07T22:55:14Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:חקירה של פונקציות מונוטוניות</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:חקירה של פונקציות מונוטוניות</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8&diff=59316אינפי 1/טור טיילור2015-01-07T22:53:21Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:טור טיילור</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:טור טיילור</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%97%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%91_%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%A2%D7%9D_%D7%A9%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%A4%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%95&diff=59315אינפי 1/חישוב גבולות עם שארית פיאנו2015-01-07T22:52:54Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:חישוב גבולות עם שארית פיאנו</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:חישוב גבולות עם שארית פיאנו</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%99%D7%97%D7%99%D7%93%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8&diff=59314אינפי 1/יחידות של פולינום טיילור2015-01-07T22:51:51Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:יחידות של פולינום טיילור</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:יחידות של פולינום טיילור</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%A9%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%9C%D7%92%D7%A8%D7%A0%D7%96%27_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8&diff=59313אינפי 1/שארית לגרנז' של פולינום טיילור2015-01-07T22:51:05Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:שארית לגרנז' של פולינום טיילור</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:שארית לגרנז' של פולינום טיילור</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%A9%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_%D7%A4%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%95_%D7%A9%D7%9C_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8&diff=59312אינפי 1/שארית פיאנו של פולינום טיילור2015-01-07T22:50:03Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:שארית פיאנו של פולינום טיילור</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:שארית פיאנו של פולינום טיילור</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%94%D7%92%D7%93%D7%A8%D7%AA_%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%A8&diff=59311אינפי 1/הגדרת פולינום טיילור2015-01-07T22:48:40Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:הגדרת פולינום טיילור</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:הגדרת פולינום טיילור</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1/%D7%9B%D7%9C%D7%9C_%D7%9C%D7%99%D7%99%D7%91%D7%A0%D7%99%D7%A5_%D7%9C%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%AA_%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%9E%D7%A1%D7%93%D7%A8_%D7%92%D7%91%D7%95%D7%94&diff=59307אינפי 1/כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה2015-01-07T19:02:42Z<p>Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"</p>
<hr />
<div><latex2pdf><br />
<tex>קוד:ראש</tex><br />
<br />
<tex>קוד:כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה</tex><br />
<br />
<tex>קוד:זנב</tex><br />
</latex2pdf></div>Ofekgillon10