Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה

2014-11-25T19:40:16Z

Sapir868: /* חומר עזר */

[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]]

==מטלות קריאה עצמית==

קריאת המטלות הינה חובה ובאחריות הסטונדט. המטלות מסודרות מהאחרונה לראשונה.

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/InfiAddenda3.pdf השלמה להרצאת 20.11.14]. למעשה, זו השלמה להרצאה הקודמת, אבל השתמשנו בזה היום.

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/InfiAddenda2.pdf השלמה להרצאת 17.11.14].

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/InfiAddenda1.pdf השלמה להרצאת 13.11.14].

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/ZPowerExmpl.pdf דוגמא להוכחה של תכונות חזקה]. נכתב בלילה נטול שינה. נא לדווח למרצה במייל על טעויות או סיבוכים מיותרים.

==הודעות==
'''בוחן אמצע סמסטר:'''
שלום לכולם, בוחן באינפי 1 יתקיים לכלל הקבוצות (תיכוניסטים ורגילים) בתאריך 29 לדצמבר בשעה 18:00 בערב (זוהי שעת המחלקה של כולכם). משך הבחינה כשעה.
חובת נוכחות של כולם בבוחן, תכננו זאת מראש כדי לחסוך בעיות מיותרות!.
ציון סופי = ציון תרגיל+בוחן+בחינה מסכמת. מומלץ לקחת בוחן זה ברצינות (הצלחתו בו היא מפתח לציון סופי גבוה).
טיפ:מומלץ להתחיל להתכונן לבוחן כשבועיים לפני התאריך הנקוב,לדעתי השקעה בממוצע של שעתיים ביום היא די והותר.
בהצלחה לכולם!
הצוות:)

'''ציוני תרגיל 1:''' מי שלא הגיש את התרגיל קיבל ציון אפס. [[מדיה:14infi1ex1gradesReg.pdf|קבוצת בוגרים]],
[[מדיה:14infi1ex1gradesYoung.pdf|קבוצת תיכוניסטים]].

'''נוהל קבלת קהל:''' לעזרה בקורס, פעל לפי השלבים הבאים:
1. הפגש עם ד"ר מכורה (פרטים להלן) ככל שיידרש.
2. במידה ונותרות שאלות: אם השאלות הן על '''ההרצאה''', לשאול את מרצה הקורס לאחר ההרצאה (המרצה יישאר בכתה ככל שיידרש). אם השאלות הן על '''התרגיל''', לתאם עם המתרגלים פגישה בשעות הקבלה שלהם (או בשעה אחרת שמתאימה להם).
3. במקרים שכל הנ"ל נוסה ולא עזר, אפשר לתאם פגישה עם המרצה.

'''שיעורי עזר:''' ד"ר מיכאל מכורה, בימים שני 10-12 ורביעי16-18, בניין 409, חדר 202. רצוי לוודא מראש (יום ומיקום), במייל machura@math.biu.ac.il

==קישורים==

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi1ExtOutline.pdf תקצירי הרצאות]. מתעדכן כל הזמן. נא לדווח טעויות (שלא תוקנו בגירסה העדכנית ביותר) למרצה.

'''טיפים וטריקים.''' מערכי התרגול של ליאורה הוך מכילים טיפים וטריקים רבים לפתרון שאלות, כולל ממבחנים, ומומלצים לכל מי שמתקשה למצוא את הטריקים בעצמו:
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Bounds.pdf חסמים],
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/SeqsByDef.pdf סדרות והגדרת התכנסות],
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/LimitsArithmetic.pdf חשבון גבולות],
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/SeqIneqalities.pdf אי-שיויונים בין סדרות],
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/MonotoneSeqs.pdf סדרות מונוטוניות],
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/e.pdf המספר e],
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Subseqs.pdf תת-סדרות],
[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Limsupinf.pdf גבולות עליונים ותחתונים], (המשך יבוא...)

[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/infi.pdf שאלות לתרגול נוסף].

[[שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה|שאלות ותשובות]]

[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]]

===חומר עזר===

[[אינפי 1/הרצאה 0| מבוא לקורס]]

[[אינפי 1/הרצאה 1]]

[[אינפי 1/הרצאה 2]]

[[אינפי 1/הרצאה 3]]

[[אינפי 1/הרצאה 4]]

[[אינפי 1/הרצאה 5]]

===מכינה ורענון===

רענון על אי שוויונים ואינדוקציה: [[מדיה:Infi12015Exe0.pdf|תרגיל רענון]], [[מדיה:Exe1_home_sol.pdf|פתרון]].
נושאים נוספים לרענון אפשר למצוא במכינה למתמטיקה: [[מכינה למחלקה למתמטיקה/מערכי שיעור|מערכי שיעור מכינה]] (שיעורים 1-7), [[מכינה למתמטיקה קיץ תשעג/תרגילים|תרגילים עם פתרונות מהמכינה]].

[[מדיה:ציוני_מכינה_2014.pdf|ציוני המבחן המסכם של המכינה מהקיץ]].

אינפי 1/גבול עליון ותחתון

2014-11-15T21:49:40Z

Sapir868: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:גבול עליון ותחתון</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

<tex>קוד:גבול עליון ותחתון</tex>

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>

אינפי 1/גבול עליון וגבול תחתון

2014-11-15T21:47:50Z

Sapir868: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:גבול עליון ותחתון</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

<tex>קוד:גבול עליון ותחתון</tex>

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>

אינפי1/סדרות מונוטוניות ומעבר גבול

2014-11-15T21:44:59Z

Sapir868: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> <tex>קוד:גבול עליון ותחתון</tex> <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>"

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

<tex>קוד:גבול עליון ותחתון</tex>

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>

אינפי1/גבול עליון ותחתון

2014-11-15T21:41:18Z

Sapir868: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\geq n\} , l_n = \inf \{x_..."

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\geq n\} , l_n = \inf \{x_k : k \geq n\} $ . ברור ש- $l_n\leq L_n $.

תזכורת: $ A\subseteq B\subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \inf B\leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B $

מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\geq n\} \subseteq \{x_k : k\geq n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $

\begin{definition}
הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\lim}_{n\to\infty} x_n $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא $\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n =\lim_{n\to \infty} l_n $.
\end{definition}

\begin{thm}
תהי סדרה חסומה $x_n $ אזי

הגבול העליון והתחתון זהים אם ורק אם הסדרה $x_n $ מתכנסת (ואז תתכנס לגבול העליון/תחתון)
\end{thm}

\begin{proof}
\boxed{\Leftarrow}
נראה ש- $l_n\leq x_n \leq L_n $ אבל הקצוות מתכנסים לאותו מספר $L$ ולכן, ממשפט הסנדוויץ', $x_n\to L $

\boxed{\Rightarrow}
יהי $\varepsilon>0 $ . אנו יודעים ש- $\exists N \forall n>N : x_n\in (L-\varepsilon,L+\varepsilon) $ ואז לפי ההגדרה $\forall n>N : L-\varepsilon<x_n<L+\varepsilon $ . לכן גם

$$\forall n>N : L-\varepsilon\leq l_n\leq L_n \leq L+\varepsilon $$

ובעצם קיבלנו ש- $\exists N \forall n>N : |L_n -L|,|l_n -L|<\varepsilon $
\end{proof}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>

אינפי 1/סדרות מונוטוניות ומעבר גבול

2014-11-15T21:32:44Z

Sapir868:

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\section{סדרות מונוטוניות}
\begin{definition}
אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\
באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $
\end{definition}

\begin{thm}
תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$.
\end{thm}

\begin{proof}
נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום,
$\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$
וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה,
$$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$
ואז $x_n\to M$.\\
אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.

\end{proof}

\section{מעבר גבול}
תהי הסדרה $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ שאיבריה נראים ככה: $x_1,x_2,x_3,\cdots $ ונניח ש- $\lim_{n\to \infty} x_n =L $ . נסתכל על הסדרה $x_{n+1} $ שאיבריה הם $x_2,x_3,x_4,\cdots $ , ונראה ש- $\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=L$ גם כן. זאת משום שעבור $\epsilon>0$ ידוע ש- $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} : |x_n-L|<\epsilon $ וכיוון שזה לכל $n>n_0 $ אז במצב כזה גם $n+1 $ (שהוא גדול מ- $n$ שגדול מ- $n_0 $ ) מקיים את הטענה ש- $ |x_{n+1}-L|<\epsilon $ .
$\\$
העקרון הזה הוא ליבו של טריק נחמד שעוזר לחשב במקרים רבים גבולות של סדרות הנתונות בצורה רקורסיבית. השיטה היא כזאת: אם נתון ש- $x_{n+1}=f(x_n)$ אז גם $\lim_{n\to \infty} x_{n+1} = \lim_{n\to \infty} f(x_n) $ אבל $\lim_{n\to\infty} x_{n+1} = L $ ובאגף ימין אפשר גם להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי להציב $L$ במקומות המתאימים, וכך מגיעים למשוואה. צריך לשים לב שכל זה בא בהנחה שהסדרה $x_n$
מתכנסת, ואת זה יש להוכיח!
\begin{example}
מהו הגבול של הסדרה $x_1=\sqrt{2},x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\cdots,x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} $ ?

פתרון: נניח שהסדרה מתכנסת, ולכן $\lim_{n\to \infty} x_{n+1}=\lim_{n\to \infty} \sqrt{2+x} $ . מכאן

$$\lim_{n\to \infty} x_{n+1}^2 = \lim_{n\to \infty} 2+x_n $$
נציב $\lim_{n\to \infty} x_n=L $ ואז
$$L^2=2+L$$
$$L^2-L-2=(L-2)(L+1)=0 $$
$$L=-1,2 $$
מצאנו שבמקרה שהסדרה מתכנסת, יש רק מועמד אחד שיכול להיות הגבול ( $-1$ נפסל משום שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן לא יכולים להתכנס למספר שלילי). אם נצליח להוכיח שהסדרה מתכנסת, הגבול שלה הוא 2. נוכיח שהיא מונוטונית עולה וחסומה ע"י 2:

מונוטונית עולה -
$$ x_n\leq x_{n+1} \Leftrightarrow x_n\leq \sqrt{x_n+2}\Leftrightarrow x_n^2\leq x_n+2\Leftrightarrow -1\leq x_n\leq 2 $$
כלומר הסדרה לא תרד כל עוד האיברים בין $-1$ ל-2. כל איברי הסדרה חיוביים ועכשיו נוכיח שכל איברי הסדרה לא גדולים מ-2 באמצעות אינדוקציה:
$$ x_1=\sqrt{2}<2 , x_n\leq 2\Rightarrow x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}\leq\sqrt{2+2}=2 $$
אז כל איברי הסדרה קטנים מ-2 ולכן הסדרה מונוטונית עולה וחסומה ומכאן שמתכנסת ל-2. (את הגבול חישבנו באמצעות מעבר הגבול)
\end{example}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>

אינפי 1/סדרות מונוטוניות ומעבר גבול

2014-11-15T21:29:53Z

Sapir868: יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \section{סדרות מונוטוניות} \begin{definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מו..."

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\section{סדרות מונוטוניות}
\begin{definition}
אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\
באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $
\end{definition}

\begin{thm}
תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$.
\end{thm}

\begin{proof}
נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום,
$\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$
וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה,
$$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$
ואז $x_n\to M$.\\
אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.

\end{proof}

\section{מעבר גבול}
תהי הסדרה $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ שאיבריה נראים ככה: $x_1,x_2,x_3,\cdots $ ונניח ש- $\lim_{n\to \infty} x_n =L $ . נסתכל על הסדרה $x_{n+1} $ שאיבריה הם $x_2,x_3,x_4,\cdots $ , ונראה ש- $\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=L$ גם כן. זאת משום שעבור $\epsilon>0$ ידוע ש- $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} : |x_n-L|<\epsilon $ וכיוון שזה לכל $n>n_0 $ אז במצב כזה גם $n+1 $ (שהוא גדול מ- $n$ שגדול מ- $n_0 $ ) מקיים את הטענה ש- $ |x_{n+1}-L|<\epsilon $ .
$\\$
העקרון הזה הוא ליבו של טריק נחמד שעוזר לחשב במקרים רבים גבולות של סדרות הנתונות בצורה רקורסיבית. השיטה היא כזאת: אם נתון ש- $x_{n+1}=f(x_n)$ אז גם $\lim_{n\to \infty} x_{n+1} = \lim_{n\to \infty} f(x_n) $ אבל $\lim_{n\to\infty} x_{n+1} = L $ ובאגף ימין אפשר גם להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי להציב $L$ במקומות המתאימים, וכך מגיעים למשוואה. צריך לשים לב שכל זה בא בהנחה שהסדרה $x_n$
מתכנסת, ואת זה יש להוכיח!
\begin{example}
מהו הגבול של הסדרה $x_1=\sqrt{2},x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}},\cdots,x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} $ ?

פתרון: נניח שהסדרה מתכנסת, ולכן $\lim_{n\to \infty} x_{n+1}=\lim_{n\to \infty} \sqrt{2+x} $ . מכאן

$$\lim_{n\to \infty} x_{n+1}^2 = \lim_{n\to \infty} 2+x_n $$
נציב $\lim_{n\to \infty} x_n=L $ ואז
$$L^2=2+L$$
$$L^2-L-2=(L-2)(L+1)=0 $$
$$L=-1,2 $$
מצאנו שבמקרה שהסדרה מתכנסת, יש רק מועמד אחד שיכול להיות הגבול ( $-1$ נפסל משום שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן לא יכולים להתכנס למספר שלילי). אם נצליח להוכיח שהסדרה מתכנסת, הגבול שלה הוא 2. נוכיח שהיא מונוטונית עולה וחסומה ע"י 2:

\end{example}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>