88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4

2017-07-24T20:23:14Z

Shir978: /* סכום תתי מרחבים וסכום ישר */

=מרחבים וקטורים=

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ<math>V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\}</math>

עם '''חיבור'''
<math>(x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})</math>

ו'''כפל בסקלאר''' <math>\alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z)</math> הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

'''הגדרה''': מרחב וקטורי הוא רביעיה <math>(V,\mathbb{F},+,\cdot)</math>, כאשר
* <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math>
* <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר.
* '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>. פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math>

אקסיומות מרחב וקטורי:

#'''אקסיומות של החיבור ב <math>V</math>:''' לכל <math>v,w,u\in V</math> מתקיים
## מוגדרות: <math>v+w\in V</math> .
##קיבוץ: <math>v+(u+w)=(v+u)+w</math> .
##חילוף: <math>v+u=u+v</math> .
##איבר נטרלי: <math>\exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v</math> .
##איבר נגדי: <math>\forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0</math> .
#'''אקסיומות של כפל וחיבור של שדה:''' בהגדרת שדה
#'''אקסיומות כפל בסקלאר:''' לכל <math>v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F}</math> מתקיים
##מוגדרות <math>\alpha v\in V</math>
##קיבוץ: <math>\alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v</math>
##כפל ביחידה (של השדה): <math>1_{\mathbb{F}}\cdot v=v</math>
## פילוג:
###<math>\alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u</math>
### <math>(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v</math>

טרמינולוגיה: אומרים ש <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>.

איברי <math>V</math> נקראים '''וקטורים'''. איברי <math>\mathbb{F}</math> נקראים '''סקלארים'''.

תכונות בסיסיות:

.1 <math>(-1_{F})v=(-v)</math>

.2 <math>0_{F}v=0_{V}</math>

==דוגמאות ==
1.
<math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>

עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math>

וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math>

2.
מרחב המטריצות <math>\mathbb{F}^{m\times n}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3.
מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית
<math>\mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4.
מרחב הפולינומים <math>\mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\}</math> עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5.
<math>V=\mathbb{R}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{Q}</math> עם חיבור וכפל "רגילים".

6. <math>V=\mathbb{C}^{3}</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math>.

7. <math>V=\mathbb{R}^{3}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי <math>i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3</math> והכפל בניהם צריך להיות שייך ל <math>V</math> אבל <math>i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3</math>

8. <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> הוא '''אינו''' מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> עם חיבור סטנדרטי וכפל בסקלאר <math>\alpha \cdot (x,y)=(\alpha \cdot x,y)</math> כי למשל <math>(1+1)\cdot 2\cdot(0,1)= (0,1)\neq (0,2)=1\cdot(0,1)+1\cdot(0,1)</math>.

==תתי מרחבים ==

הגדרה יהיה <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>. תת קבוצה <math>W\subseteq V</math>
יקרא '''תת מרחב''' אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות '''V'''. סימון <math>W\leq V</math>

''קריטריון מקוצר'': כדי לבדוק אם <math>W\subseteq V</math> הוא תת מרחב מספיק לבדוק:
#איבר נטרלי: <math>0</math> של <math>V</math> נמצא ב-<math>W</math>;
#סגירות לחיבור: לכל <math>w,u\in W</math> מתקיים <math>u+w\in W</math>;
#סגירות לכפל בסקלאר: לכל <math>w\in W,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים <math>\alpha w\in W</math>.

את שאר האקסיומות <math>W</math> יורש מ <math>V</math> כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
#<math>W\not=\emptyset</math>
#שלכל <math>w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים <math>\alpha u+w\in W</math>.

אבחנה: <math>\{0\},V\subseteq V</math> תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

===דוגמאות ודוגמאות נגדיות ===

1. עבור המישור האוקלידי <math>V=\mathbb{R}^{2}</math> מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> :

א. <math> W=\{(x,0)\,|\, x\in \mathbb{R} \}</math> (ציר ה<math>x</math>) הוא תת מרחב (קל לראות).

ב. <math> W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\}</math> (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
<math>-1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W</math>

ג. <math>W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}</math>
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי <math>\underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W</math>

ד. <math>W=\{(x,y)|\, y=3x\}</math> קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב (לפי הסעיף הבא).

2. תהא <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית <math>Ax=0</math>.
פורמאלית <math>W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n </math>.
הוכחתם בהרצאה כי <math>W\leq \mathbb{F}^n</math> הוא תת מרחב

3. מרחב המטריצות <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math>:

א. המטריצות מסוג
<math>W=\{\left(\begin{array}{cccc}
a & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & & 0\\
\vdots & & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\}</math> הן תת מרחב.

נוכיח :
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> כולה אפסים פרט (אולי) למקום <math>1,1</math> וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של <math>A_1,A_2</math>

ב. המטריצות הסימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\}</math>
והמטריצות האנטי-סימטריות <math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\}</math> שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שהמטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> סימטרית. נתון כי <math>A_1^t=A_1,A_2^t=A_2</math>. כעת מחוקי שיחלוף
נקבל כי <math>(\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2</math>.

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות
<math>W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\}</math> '''אינו''' תת מרחב כי
המטריצות
<math>
A_1 = \left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & & 0\cdots & 0\\
1 & 0 & & 0 & 0\\
\vdots & & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{array} \right)
A_2=
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & -1 & & 0\cdots & 0\\
1 & 0 & & 0 & 0\\
\vdots & & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{array} \right)
</math>
שייכות ל <math>W</math> אבל החיבור שלהם לא.

ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.

ה. המטריצות <math>W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\}</math> הן תת מרחב

הוכחה
# ברור כי <math>W</math> אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל <math>W</math>
# לכל <math>A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F}</math> רוצים להראות ש <math>\alpha A_1 +A_2 \in W</math> כלומר להראות שעקבה של המטריצה <math>\alpha A_1 +A_2</math> שווה 0. נתון כי <math>tr(A_1)=tr(A_2)=0</math>. כעת מחוקי עקבה
נקבל כי <math>tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0</math>.

4. <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל <math>\mathbb{R}</math> .

א. <math>W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\}</math> הינו תת מרחב כי באופן כללי <math>\mathbb{R}_{n}[x]</math> הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).

ב. <math>W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\}</math> הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב <math>V</math> לא נמצא ב<math>W</math> .

=== חיתוך תתי מרחבים ===

משפט: יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
אזי חיתוך תתי המרחבים <math>W_1\cap W_1:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\}</math> הינו תת מרחב.

הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב <math>W_1,W_2</math>. כלומר, כל תת מרחב <math>U</math> המקיים כי <math>U\subseteq W_1,W_2</math> יקיים כי <math>U\subseteq W_1\cap W_2</math> .

====דוגמא 1====
1. יהי <math>V = \mathbb{R}^4 </math>. נגדיר שתי תת מרחבים
<math>W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} </math>

<math>W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \}</math>

נמצא את <math>W_1\cap W_2</math>

נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:

<math>W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\} </math>

<math>W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \}</math>

כאשר
<math>A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix},
A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}
</math>

כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת
<math>W_1\cap W_2= \{ v \; | \; \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2\end{pmatrix} v =0 \}</math>

ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת הומוגנית. נעשה זאת
<math>
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
1 &1 &1 &2 \\
-1 &1 &1 &1
\end{pmatrix}
\to \\
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
0 &0 &0 &1 \\
0 &2 &2 &2
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &1 \\
0 &1 &1 &1\\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &1 &1 &0 \\
0 &1 &1 &0\\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 \\
0 &1 &1 &0\\
0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}
</math>

התשובה הסופית

<math>W_1\cap W_2 =
\{\left( \begin{array}{c}
0 \\
-t\\
t\\
0
\end{array}\right)
: \, t\in \mathbb{R} \}
</math>

====דוגמא 2====
יהי <math>V = \mathbb{R}^3 </math>. נגדיר שתי תת מרחבים

<math>W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
+\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>

<math>W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}
+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} </math>

נמצא את החיתוך בניהם

צריך למצוא סקלארים <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R}</math> המקיימים

<math>\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix}
+\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} =
\alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
+\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
</math>

שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה בחיתוך. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את <math>\alpha_1,\alpha_2</math> או את <math>\alpha_3,\alpha_4</math> כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם <math>\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4</math>. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1\\
-1 &1 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\alpha_2\\
\alpha_3\\
\alpha_4
\end{pmatrix}
= 0
</math>

נדרג ונמשיך

<math>
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
1 &1 &-1 &1\\
-1 &1 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &2 & 0 & 2\\
0 &0 &-2 & -2
\end{pmatrix}
\to \\
\begin{pmatrix}
1 &-1 &-1 & -1\\
0 &1 & 0 & 1\\
0 &0 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &-1 &0 &0\\
0 &1 & 0 & 1\\
0 &0 &-1 & -1
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &1\\
0 &1 & 0 & 1\\
0 &0 &-1 & -1
\end{pmatrix}

</math>
קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין <math>\alpha_3,\alpha_4</math> הוא <math>\alpha_3= -\alpha_4</math>. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.

לכן התשובה הסופית

<math>W_1\cap W_2 =
\{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
-\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha \in \mathbb{R} \}
</math>

====דוגמא 3====
<math>V=\mathbb{C}^{n\times n}</math> מעל <math>\mathbb{C}</math> . יהיו <math>W_1</math> תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו <math>W_2</math> תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי:
<math>W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\}</math>

הוכחה:
ישירות- אם <math>A</math> גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים <math>-A=A^t=A</math>. נעביר אגף ונקבל <math>2A=0</math>. נחלק ב 2 ונקבל כי <math>A=0</math>

=== סכום תתי מרחבים===

יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
נרצה למצוא את התת מרחב <math>W</math> הכי "קטן" שמכיל את <math>W_1,W_2</math>. "קטן" הכוונה כי כל תת מרחב <math>U</math> המקיים <math> W_1,W_2\subseteq U</math> בהכרח יקיים גם <math>W\subseteq U</math>.

יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את <math>W_1,W_2</math> הוא האיחוד את <math>W_1,\cup W_2</math>.
אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.

'''תרגיל:'''
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים. אזי

<math>W_1,\cup W_2\leq V</math> אמ"מ (<math>W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1</math>) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.

'''הוכחה:'''
כיוון ראשון (<math>\Leftarrow</math>): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.

כיוון שני (<math>\Rightarrow</math>): נניח בשלילה כי (<math>W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1</math>) אזי קיימים <math>w_1\in W_1\setminus W_2 \</math>
וגם <math>w_2\in W_2\setminus W_1 \</math>. שני הוקטורים <math>w_1,w_2</math> נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם <math>w_1+w_2</math> נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד <math>w_1+w_2</math> נמצא ב <math>W_i</math> (כאשר <math>i</math> שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח <math>w_1+w_2\in W_1</math>. כיוון ש <math>w_1\in W_1</math> אזי חיסור שני הוקטורים <math>(w_1+w_2)-w_1 \in W_1</math> נמצא גם כן ב <math>W_1</math> אבל החיסור שווה ל <math>w_2</math>. סתירה לכך ש <math>w_2 \not\in W_1</math>

====סכום תתי מרחבים וסכום ישר ====
'''הגדרה:''' <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math> . יהיו <math>W_1,W_2\leq V</math> תתי מרחבים.
אזי '''סכום תתי המרחבים''' <math>W_1 + W_2:=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\}</math> הינו תת מרחב.

תכונה: לכל תת מרחב <math>U</math> עבורו <math> W_1,W_2\subseteq U</math> מתקיים כי <math> W_1+ W_2 \subseteq U</math>.

'''הגדרה:''' הסכום <math>W_1+W_2</math> יקרא '''סכום ישר''' אם <math>W_1\cap W_2 = \{0\}</math>.
סימון <math>W_1 \oplus W_2</math>.

'''דוגמאות:'''

1. ב <math>V=\mathbb{R}^3</math> נגדיר שני תת מרחב
<math>W_1=\{\alpha\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>

<math>W_2=\{\alpha\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha \in \mathbb{R} \} </math>

אזי

<math>W_1+W_2=\{w_1+w_2:\, w_1\in W_1, w_2\in W_2\} = \\
\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
+ \alpha_2\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} =
\{\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_1+\alpha_2\\ \alpha_2 \end{pmatrix}
:\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R}\}
</math>

2. באופן כללי <math>V</math> מרחבים וקטורי, <math>v_1, v_2, \dots v_m, v_{m+1}, \dots v_{m+k}</math> וקטורים.

אם

<math>
W_1 =\{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}\\
W_2 =\{\sum_{i=1}^k \alpha_i v_{m+i} \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \}
</math>

אז

<math>W_1+W_2 = \{\sum_{i=1}^{m+k} \alpha_i v_i \, : \, \forall i \; \alpha_i \in \mathbb{F} \} </math>

3. עבור
<math>
W_1= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1= a_2 = \dots =a_n\} \\
W_2= \{(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n : a_1+ a_2 + \dots +a_n = 0 \}
</math>

מתקיים כי
<math>W_1 \oplus W_2 = \mathbb{F}^n</math>

הוכחה:

קודם נראה שזהו סכום ואח"כ נראה שהוא ישר.

'''סכום:'''

יהא <math>v=(a_1,a_2,\dots a_n)\in \mathbb{F}^n</math>.
נגדיר <math>b=\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}</math> את ממוצע הקורדינאטות.

ברור כי <math>w_1=(b,b,\dots ,b)\in W_1</math>. גם ברור כי <math>v=w_1 + (v-w_1)</math>.

נראה כי <math>v-w_1 = (a_1-b,\dots ,a_n-b)\in W_2</math> וסיימנו (כי נגדיר <math>w_2=v-w_1</math>)

אכן כדי שוקטור יהיה ב <math>W_2</math> סכום הקורטינאטות שלו צריך להיות שווה 0.
נחשב <math>(a_1-b)+(a_2-b)+\dots +(a_n-b)= \sum_{i=1}^n a_i -n\cdot b=\sum_{i=1}^n a_i-\sum_{i=1}^n a_i=0</math>. כנדרש.

'''סכום ישר:'''

יהא <math>(a_1,\dots ,a_n)=v\in W_1\cap W_2</math> צ"ל שזהו וקטור האפס. בגלל ש <math>v\in W_1</math> ניתן להציג אותו כ <math>v=(a,a,\dots ,a)</math>, כיוון ש <math>v\in W_2</math> צריך להתקיים <math>a+a+\dots +a =na=0</math> ולכן <math>a=0</math> ולכן <math>v=0</math>

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4