Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב

2012-09-20T10:34:57Z

Tomer Yogev: /* הודעות */

[[מכינה למחלקת מתמטיקה]]

==קישורים==
*[[שיחה:מכינה למתמטיקה קיץ תשעב|שאלות ותשובות בדף השיחה]]

*[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים|תרגילי בית]]

*[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|מערכי השיעור]]

*[[מכינה למחלקת מתמטיקה/סילבוס|סילבוס המכינה]]

==הודעות==
*[[מדיה:Grades00001.xls|ציוני הבחנים]]

*[[מדיה:12MehinaFinalGrades.pdf|ציוני המבחן המסכם מועד א']]

*[[מדיה:12MehinaFinal.pdf|מבחן מסכם למכינה מועד א']]

*מומלץ לפתור את ה[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/מבחן דמה|מבחן לדוגמא]] לקראת המבחן האמיתי (שיהיה בסגנון דומה) ביום חמישי.

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8

2012-09-05T08:05:15Z

Tomer Yogev: /* 1 */

==1==
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף
** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האב של הג'ירפה רזה מהקרנף

*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, שתי ג'ירפות. האב של הג'ירפה הראשונה רזה מהקרנף. לג'ירפה השנייה יש אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף
** לא שלילה. קוף אחד, שני קרנפים, ג'ירפה אחת. האמא של הג'ירפה יפה מהקוף. אביה של הג'ירפה שמן כמו הקרנף הראשון, ורזה מהקרנף השני.

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף
** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, והאמא שלה יפה מהקוף.

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף
** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף.

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף
** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, האמא שלה מכוערת כמו הקוף.

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

==2==
'''הגדרה''':

קבוצת וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> נקראת '''תלוייה לינארית''' אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים ש'''אינה''' תלוייה לינארית:

*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>
** לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס

*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>
** לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)

*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>
** כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.

*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
** לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>

==3==
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון <math>C \subseteq A\cup B</math>.

'''הוכח/הפרך''' כל אחת מן הטענות הבאות:

*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>
** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{1,2\}</math>

*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>
** הוכחה: יהי <math>x \in C</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. נתון <math>C\cap A = \phi</math> לכן <math>x \not\in A</math> לכן <math>x \in B</math>

*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>
** הפרכה: <math>A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=B</math>

*<math>C\backslash A \subseteq B</math>
** הוכחה: יהי <math>x \in C\backslash A</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.

*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>
** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\empty,C=A</math>

*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>
** הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):
1. אם <math>A \subseteq X</math> וגם <math>B \subseteq X</math> אז <math>A\cup B \subseteq X</math>

2. <math>(A \backslash X) \cup X \supseteq A</math>

*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>
** הוכחה:
אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב<math>A\cup B</math> לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין
יהי <math>x \in A\cup B</math>. אם <math>x \in C</math> אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, <math>x \not\in C</math>. לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב<math>A\backslash C</math> ואם הוא בB אז הוא ב<math>B\backslash C</math>. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8

2012-09-05T07:44:59Z

Tomer Yogev: /* 3 */

==1==
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

==2==
'''הגדרה''':

קבוצת וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> נקראת '''תלוייה לינארית''' אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים ש'''אינה''' תלוייה לינארית:

*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>
** לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס

*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>
** לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)

*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>
** כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.

*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
** לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>

==3==
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון <math>C \subseteq A\cup B</math>.

'''הוכח/הפרך''' כל אחת מן הטענות הבאות:

*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>
** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{1,2\}</math>

*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>
** הוכחה: יהי <math>x \in C</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. נתון <math>C\cap A = \phi</math> לכן <math>x \not\in A</math> לכן <math>x \in B</math>

*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>
** הפרכה: <math>A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=B</math>

*<math>C\backslash A \subseteq B</math>
** הוכחה: יהי <math>x \in C\backslash A</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.

*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>
** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\empty,C=A</math>

*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>
** הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):
1. אם <math>A \subseteq X</math> וגם <math>B \subseteq X</math> אז <math>A\cup B \subseteq X</math>

2. <math>(A \backslash X) \cup X \supseteq A</math>

*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>
** הוכחה:
אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב<math>A\cup B</math> לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין
יהי <math>x \in A\cup B</math>. אם <math>x \in C</math> אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, <math>x \not\in C</math>. לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב<math>A\backslash C</math> ואם הוא בB אז הוא ב<math>B\backslash C</math>. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8

2012-09-05T07:24:57Z

Tomer Yogev: /* 2 */

==1==
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

==2==
'''הגדרה''':

קבוצת וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> נקראת '''תלוייה לינארית''' אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים ש'''אינה''' תלוייה לינארית:

*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>
** לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס

*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>
** לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)

*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>
** כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.

*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
** לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>

==3==
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון <math>C \subseteq A\cup B</math>.

'''הוכח/הפרך''' כל אחת מן הטענות הבאות:

*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>

*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>

*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>

*<math>C\backslash A \subseteq B</math>

*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>

*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>

*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8

2012-09-05T07:21:00Z

Tomer Yogev: יצירת דף עם התוכן "==1== קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה ..."

==1==
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

==2==
'''הגדרה''':

קבוצת וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> נקראת '''תלוייה לינארית''' אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים ש'''אינה''' תלוייה לינארית:

*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>

*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>

*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>

*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

==3==
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון <math>C \subseteq A\cup B</math>.

'''הוכח/הפרך''' כל אחת מן הטענות הבאות:

*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>

*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>

*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>

*<math>C\backslash A \subseteq B</math>

*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>

*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>

*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים

2012-09-03T05:56:04Z

Tomer Yogev: /* תרגיל 7 */

==תרגיל 1==

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1| תרגיל 1 - אי שיוויונים]]
[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1| פתרון 1]]

==תרגיל 2==

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2| תרגיל 2 - אי שיוויונים טריגונומטריים, מרוכבים]]
[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2| פתרון 2]]

==תרגיל 3==

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3| תרגיל 3 - מרוכבים, גאומטריה אנליטית]]
[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3| פתרון 3]]

==תרגיל 4==

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4| תרגיל 4 - אינדוקציה]]
[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4| פתרון 4]]

==תרגיל 5==

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5| תרגיל 5 - נגזרות]]
[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5/פתרון 5| פתרון 5]]

==תרגיל 6==

תרגיל בנושא אינטגרלים, יעלה בימים הקרובים

==תרגיל 7==

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/7| תרגיל 7 - לוגיקה]]
[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/7/פתרון 7| פתרון 7]]

==תרגיל 8==

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8| תרגיל 8 - עוד לוגיקה]]
[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8| פתרון 8]]

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים

2012-09-03T05:55:55Z

Tomer Yogev: /* תרגיל 5 */

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים

2012-09-02T22:30:35Z

Tomer Yogev: /* תרגיל 8 */

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים

2012-09-02T22:30:25Z

Tomer Yogev: /* תרגיל 8 */

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/7/פתרון 7

2012-09-02T22:29:45Z

Tomer Yogev: /* 2 */

==1==

נגדיר את האטומים הבאים:

p - ערן שמח

q - ערן ישן

r - השמש זורחת

הצרן את המשפטים הבאים (כלומר, כתוב אותם בעזרת הפסוקים והקשרים הלוגיים שלמדנו- 'או', 'וגם', 'גרירה', 'שלילה')

* כאשר השמש זורחת, ערן מתעורר
** <math>r \rightarrow \neg q</math>

* ערן שמח רק כאשר השמש זורחת
** <math>p \rightarrow r</math>

* אם ערן שמח וער, סימן שהשמש זורחת
** <math>(p \and \neg q) \rightarrow r</math>

* במפתיע, ערן תמיד עצוב כשהוא ער
** <math>\neg q \rightarrow \neg p</math>
** שקול: <math>p \rightarrow q</math>

* אם השמש זורחת, כאשר ערן אינו ישן הוא שמח
** <math>r \rightarrow (\neg q \rightarrow p)</math>

* לא ייתכן שערן ישן והשמש אינה זורחת
** <math>q \rightarrow r</math>

==2==

נגדיר את ההגדרות הבאות:

*מספר נקרא '''טרינרי''' אם הוא מתחלק ב-3

*זוג מספרים נקרא '''זוג הודי''' אם סכומם הוא טרינרי

*זוג מספרים נקרא '''צמוד היטב''' אם הוא הודי וגם אחד מבין המספרים אינו טרינרי

נסמן את ה'''פרדיקט''':

<math>p(x)</math> - המספר x מתחלק בשלוש

לדוגמא, <math>p(6)=T,p(7)=F</math>

הצרן את הפסוקים הבאים תוך שימוש בפרדיקט p:

דוגמא: המספרים a,b הם טרינריים - <math>p(a)\and p(b)</math>

*זוג המספרים a,b הוא הודי.
** <math>p(a+b)</math>

*זוג המספרים a,b צמוד היטב.
** <math>p(a+b) \and (\neg p(a) \or \neg p(b))</math>

*אם זוג המספרים a,b צמוד היטב, אזי a אינו טרינרי וגם b אינו טרינרי
** <math>(p(a+b) \and (\neg p(a) \or \neg p(b))) \rightarrow (\neg p(a) \and \neg p(b))</math>

*אם זוג המספרים a,b צמוד היטב והמספר c הוא טרינרי אזי זוג המספרים a,c אינו הודי
** <math>(p(a+b) \and (\neg p(a) \or \neg p(b)) \and p(c)) \rightarrow \neg p(a+c)</math>

*לכל מספר a, '''לפחות''' אחד מבין המספרים <math>a+1,a+2,a+3</math> הוא טרינרי
** <math>p(a+1) \or p(a+2) \or p(a+3)</math>

*לכל מספר a, '''בדיוק''' אחד מבין המספרים <math>a+1,a+2,a+3</math> הוא טרינרי
** <math>[p(a+1) \and \neg p(a+2) \and \neg p(a+3)] \or [\neg p(a+1) \and p(a+2) \and \neg p(a+3)] \or [\neg p(a+1) \and \neg p(a+2) \and p(a+3)]</math>

*המספר a אינו טרינרי
** <math>\neg p(a)</math>

*זוג המספרים a,b אינו הודי
** <math>\neg p(a+b)</math>

*זוג המספרים a,b אינו צמוד היטב
** <math>\neg p(a+b) \or (p(a) \and p(b))</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/7/פתרון 7

2012-09-02T22:23:15Z

Tomer Yogev: /* 2 */

==1==

נגדיר את האטומים הבאים:

p - ערן שמח

q - ערן ישן

r - השמש זורחת

הצרן את המשפטים הבאים (כלומר, כתוב אותם בעזרת הפסוקים והקשרים הלוגיים שלמדנו- 'או', 'וגם', 'גרירה', 'שלילה')

* כאשר השמש זורחת, ערן מתעורר
** <math>r \rightarrow \neg q</math>

* ערן שמח רק כאשר השמש זורחת
** <math>p \rightarrow r</math>

* אם ערן שמח וער, סימן שהשמש זורחת
** <math>(p \and \neg q) \rightarrow r</math>

* במפתיע, ערן תמיד עצוב כשהוא ער
** <math>\neg q \rightarrow \neg p</math>
** שקול: <math>p \rightarrow q</math>

* אם השמש זורחת, כאשר ערן אינו ישן הוא שמח
** <math>r \rightarrow (\neg q \rightarrow p)</math>

* לא ייתכן שערן ישן והשמש אינה זורחת
** <math>q \rightarrow r</math>

==2==

נגדיר את ההגדרות הבאות:

*מספר נקרא '''טרינרי''' אם הוא מתחלק ב-3

*זוג מספרים נקרא '''זוג הודי''' אם סכומם הוא טרינרי

*זוג מספרים נקרא '''צמוד היטב''' אם הוא הודי וגם אחד מבין המספרים אינו טרינרי

נסמן את ה'''פרדיקט''':

<math>p(x)</math> - המספר x מתחלק בשלוש

לדוגמא, <math>p(6)=T,p(7)=F</math>

הצרן את הפסוקים הבאים תוך שימוש בפרדיקט p:

דוגמא: המספרים a,b הם טרינריים - <math>p(a)\and p(b)</math>

*זוג המספרים a,b הוא הודי.
** <math>p(a+b)</math>

*זוג המספרים a,b צמוד היטב.
** <math>p(a+b) \and (\neg p(a) \or \neg p(b))</math>

*אם זוג המספרים a,b צמוד היטב, אזי a אינו טרינרי וגם b אינו טרינרי

*אם זוג המספרים a,b צמוד היטב והמספר c הוא טרינרי אזי זוג המספרים a,c אינו הודי

*לכל מספר a, '''לפחות''' אחד מבין המספרים <math>a+1,a+2,a+3</math> הוא טרינרי

*לכל מספר a, '''בדיוק''' אחד מבין המספרים <math>a+1,a+2,a+3</math> הוא טרינרי

*המספר a אינו טרינרי

*זוג המספרים a,b אינו הודי

*זוג המספרים a,b אינו צמוד היטב

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/7/פתרון 7

2012-09-02T22:16:59Z

Tomer Yogev:

==1==

נגדיר את האטומים הבאים:

p - ערן שמח

q - ערן ישן

r - השמש זורחת

הצרן את המשפטים הבאים (כלומר, כתוב אותם בעזרת הפסוקים והקשרים הלוגיים שלמדנו- 'או', 'וגם', 'גרירה', 'שלילה')

* כאשר השמש זורחת, ערן מתעורר
** <math>r \rightarrow \neg q</math>

* ערן שמח רק כאשר השמש זורחת
** <math>p \rightarrow r</math>

* אם ערן שמח וער, סימן שהשמש זורחת
** <math>(p \and \neg q) \rightarrow r</math>

* במפתיע, ערן תמיד עצוב כשהוא ער
** <math>\neg q \rightarrow \neg p</math>
** שקול: <math>p \rightarrow q</math>

* אם השמש זורחת, כאשר ערן אינו ישן הוא שמח
** <math>r \rightarrow (\neg q \rightarrow p)</math>

* לא ייתכן שערן ישן והשמש אינה זורחת
** <math>q \rightarrow r</math>

==2==

נגדיר את ההגדרות הבאות:

*מספר נקרא '''טרינרי''' אם הוא מתחלק ב-3

*זוג מספרים נקרא '''זוג הודי''' אם סכומם הוא טרינרי

*זוג מספרים נקרא '''צמוד היטב''' אם הוא הודי וגם אחד מבין המספרים אינו טרינרי

נסמן את ה'''פרדיקט''':

<math>p(x)</math> - המספר x מתחלק בשלוש

לדוגמא, <math>p(6)=T,p(7)=F</math>

הצרן את הפסוקים הבאים תוך שימוש בפרדיקט p:

דוגמא: המספרים a,b הם טרינריים - <math>p(a)\and p(b)</math>

*זוג המספרים a,b הוא הודי.

*זוג המספרים a,b צמוד היטב.

*אם זוג המספרים a,b צמוד היטב, אזי a אינו טרינרי וגם b אינו טרינרי

*אם זוג המספרים a,b צמוד היטב והמספר c הוא טרינרי אזי זוג המספרים a,c אינו הודי

*לכל מספר a, '''לפחות''' אחד מבין המספרים <math>a+1,a+2,a+3</math> הוא טרינרי

*לכל מספר a, '''בדיוק''' אחד מבין המספרים <math>a+1,a+2,a+3</math> הוא טרינרי

*המספר a אינו טרינרי

*זוג המספרים a,b אינו הודי

*זוג המספרים a,b אינו צמוד היטב

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/7/פתרון 7

2012-09-02T22:16:37Z

Tomer Yogev: יצירת דף עם התוכן "==1== נגדיר את האטומים הבאים: p - ערן שמח q - ערן ישן r - השמש זורחת הצרן את המשפטים הבאים (כלומ..."

שיחה:מכינה למתמטיקה קיץ תשעב

2012-08-30T05:52:24Z

Tomer Yogev: /* קורס חשיבה מתמטית */

{{הוראות דף שיחה}}
=שאלות=

== תשובות לתרגילים - אי שוויונים ==

תוכל לרשום את התשובות הסופיות לתרגילים?

תודה.

:אני אבדוק בדיוק באיזה פורמט אוכל להוסיף פתרונות לתרגילים, אטפל בזה במהלך השבוע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הגשת התרגיל ==

איך צריך להגיש את התרגיל בית?
:לא חייבים להגיש, יהיה בוחן המכיל שאלות בסגנון תרגילי הבית, כל יום חמישי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל הדוגמא ==

לא הבנתי למה בתרגיל הדוגמא בחלק השלישי X >= לשורש, הוא צריך לקיים אי-שוויון בלי שווה (איפוס)?
:אתה צודק, זו טעות שלי. אני אתקן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== נושא 2 ==

ארז הייתי שמחה שתיתן דוגמא ופתרון לתרגילים מהנושא ה2 בשיעורי הבית וכן את התוצאות הסופיות של יתר התרגילים

== תרגיל לדוגמא בשיעור ==

השאלה אולי מוזרה אבל באמת שלא הבנתי איך ידעת ש arctan של שורש שלוש זה פאי חלקי שלוש??
:אנחנו הגדרנו ש <math>arctan(x)=y</math> אם"ם <math>x=tan(y)</math>. בנוסף '''הנחנו שאנחנו יודעים''' כי <math>tan(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}</math>. אין לנו כרגע כלים לחשב את הפונקציות ההופכיות מבלי לדעת את הפונקציות הרגילות... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שורש חיובי ==

אם נתון לי בתרגיל שורש ריבועי של משהו, אני יכול להניח שמדובר בשורש חיובי (נגיד כדי להעלות אי-שוויון בריבוע)?
ואם הוא לא נתון לי אלא אני הוצאתי אותו מהלך התרגיל?
:כאשר נתון שורש (כלומר מצויירת פונקצית השורש) הכוונה היא לשורש חיובי. אם לך יש משוואה ואתה מוציא שורש, ייתכן שגם השורש השלילי וגם החיובי מקיימים את המשוואה המקורית --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== קומבינטוריקה ==

אפשר בבקשה להסביר את התשובה לתרגיל האחרון שעשינו עם הפול האוס?
לא הבנתי את הדרך שעשינו בשיעור.

== קורס חשיבה מתמטית ==

(ציטוט מהקורס:) הפסוק "אם יש עננים אז יורד גשם" אינו אמיתי, משום שיתכן שיהיו עננים בלי שירד גשם. לעומת זאת הפסוק "אם יורד גשם אז יש עננים" הוא אמיתי.

מה ההבדל ביניהם? ואיך מבינים מהפסוק השני שמדובר באם"ם?

:לא מדובר באם"ם אלא קשר גרירה. ההבדל הוא מה גורר את מה. כמו הביטוי אין עשן בלי אש, הוא בעצם שקול לפסוק "אם יש עשן אז יש אש". בדוגמא הספציפית, ייתכן שיש עננים שאינם מורידים גשם (כלומר המצאות ענן אינה גוררת בהכרח גשם), אבל לא ייתכן שיורד גשם ובשמים אין עננים (כלומר ירידת גשם גוררת בהכרח המצאות עננים בשמים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

=== תשובה לקורס חשיבה מתמטית ===

ההבדל הוא שאם יש עננים אז לא בהכרח שיהיה גשם, אך אם יש גשם זה אומר שבהכרח הוא הגיע מהעננים ולא מדבר אחר.
ולכן יש גשם אם ורק אם יש עננים. (רק אם יש עננים יכול להיות גשם).
מקוה שעזרתי.

::"יש גשם אם ורק אם יש עננים" לא נכון, כי עננים לא גוררים גשם. הפסוק הנכון הוא "יש גשם רק אם יש עננים"

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5/פתרון 5

2012-08-23T03:19:40Z

Tomer Yogev: יצירת דף עם התוכן "מצא את נגזרות הפונקציות הבאות: *<math>x^2+cos(x)</math> לפי נגזרות של פונקציות אלמנטריות: <math>f'(x)=2x-sin(..."

מצא את נגזרות הפונקציות הבאות:

*<math>x^2+cos(x)</math>

לפי נגזרות של פונקציות אלמנטריות: <math>f'(x)=2x-sin(x)</math>

*<math>e^{cos(x)}</math>

<math>f'(x)=e^{cos(x)}\cdot\Big(cos(x)\Big)'=-e^{cos(x)}sin(x)</math>

*<math>(x^2+1)^2</math>

<math>f'(x)=2(x^2+1)\cdot(2x)=4x^3+4x</math>

*<math>(x^2+1)^{10}</math>

<math>f'(x)=10(x^2+1)^9\cdot(2x)=20x(x^2+1)^9</math>

*<math>\Big(sin(x)+cos(x)\Big)^{11}</math>

<math>f'(x)=11\Big(sin(x)+cos(x)\Big)^{10}\cdot\Big(cos(x)-sin(x)\Big)</math>

*<math>arctan\Big(\frac{sin(e^x)\cdot ln(cos(x))}{e^x\cdot x^e}\Big)</math>

לאט ובזהירות: פיתרון [http://bit.ly/R2b0F8 כאן]

*<math>|x|</math> (זכרו כי באפס הפונקציה אינה גזירה, וחלקו למקרים)

לכל x>0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה <math>f(x)=x</math>. לכן <math>f'(x)=1</math>

לכל x<0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה <math>f(x)=-x</math>. לכן <math>f'(x)=-1</math>

סה"כ: <math>f'(x)=\begin{cases}1 & x>0 \\ -1 & x<0\end{cases}</math> (והנגזרת לא מוגדרת בx=0)

*<math>ln(ln\Big(e^{e^x}\Big))</math>

<math>e^x</math> ו<math>ln(x)</math> הן פונקציות הופכיות. לכן: <math>ln(e^{f(x)})=f(x)</math>.

לכן: <math>ln(ln\Big(e^{e^x}\Big))=ln(e^x)=x</math>. לכן הנגזרת היא 1.

*<math>x^x</math> (רמז: הוכיחו קודם כי <math>f^g=e^{g\cdot ln(f)}</math>)

<math>f^g=(e^{ln(f)})^g=e^{g\cdot ln(f)}</math>. לכן:

<math>x^x=e^{x\cdot ln(x)}</math>. לכן הנגזרת היא:

<math>f'(x)=e^{x\cdot ln(x)} \cdot (x\cdot ln(x))'=e^{x\cdot ln(x)} \cdot(ln(x)+1)=x^x\cdot \Big(ln(x)+1\Big)</math>

משתמש:Tomer Yogev

2012-08-20T05:36:17Z

Tomer Yogev:

בוגר תואר ראשון במתמטיקה שימושית, מחזור 2012 (תיכוניסטים)

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4

2012-08-18T19:01:30Z

Tomer Yogev: /* תרגילים - אי שיוויונים */

בכל התרגילים צריך לבדוק גם את המקרה ההתחלתי עבור n=1 אבל דילגתי על זה כי זה פשוט. בכולם אני מניח שהטענה נכונה עבור n ומוכיח שמכך נובע שהיא נכונה גם עבור n+1.

==תרגילים - שיוויונים==

*<math>1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2</math>

<math>(1+2+...+n+(n+1))^2=(1+2+...+n)^2+2 \cdot (1+2+...+n)\cdot (n+1) + (n+1)^2</math>

<math>=(1+2+...+n)^2+n\cdot(n+1)\cdot(n+1)+(n+1)^2=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנוסחה <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>. השוויון השני נכון לפי סכום סדרה חשבונית. השוויון השלישי הוא כינוס איברים והשוויון האחרון נכון לפי הנחת האינדוקציה.

*<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}</math>

<math>(n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2 = (n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2+(n+1)^2-(n+1)^2</math>

<math>=(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2+\Big((2n+1)^2+(2n+2)^2-(n+1)^2\Big)</math>

<math>=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}+(7n^2+10n+4)=\frac{(n+1)(2n+3)(7n+8)}{6}</math>

השוויון הראשון הוא הוספה והחסרה של אותו איבר. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי נכון לפי הנחת האינדוקציה ופתיחת סוגריים. השוויון האחרון הוא לפי פתיחת סוגריים ופירוק לגורמים.

*<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math>

<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}</math>

<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\Big(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}\Big)</math>

<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי הוא פישוט שני המחוברים האחרונים

*<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}</math>

<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}+\frac{(n+1)^2+(n+1)-1}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}+\frac{n^2+3n+1}{(n+3)!}</math>

<math>=\frac{1}{2}-\frac{(n+1)(n+3)-(n^2+3n+1)}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+2}{(n+3)!}</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האידוקציה ופתיחת סוגריים. השני הוא מכנה משותף והשלישי הוא שוב פתיחת סוגריים במונה.

*<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)</math>

<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)-(-1)^{n+1}(3n+1)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-(-1)^{n+1}(3n+1)</math>

<math>=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(12n+4)\Big)</math>

<math>\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1-12n-4)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(-6n-5)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+2}(6n+5)-1\Big)</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה, השני לפי כפל וחילוק ב4, השלישי זה כינוס איברים וגם שאר השוויונים ברורים.

*<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}</math>

<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}</math>

<math>=\frac{n(n+1)(2n+3)+2(n+1)^2}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(2n^2+3n+2n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3}</math>

הראשון לפי הנחת האינדוקציה, השני מכנה משותף, והאחרים פישוט וצמצום

*<math>\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}</math>

<math>\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{\frac{2n+1}{2n+2}}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{(n+1)^2}{n^2+2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\frac{4n^2+4n}{(2n+1)^2}\cdot\frac{4n^2+8n+3}{(2n+2)^2}=\frac{2n+3}{2n+4}</math>

השוויון הראשון הוא כפל וחלוקה באותו גורם, השני הוא לפי הנחת האינדוקציה, וההמשך זה פישוט וצמצום

==תרגילים - אי שיוויונים==

*<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}</math>

<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}<\frac{2n}{5n+1}+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}</math>

<math>=\frac{(2n)(5n+6)+1}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{10n^2+12n+1}{(5n+1)(5n+6)}<\frac{10n^2+12n+2}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{2n+2}{5n+6}</math>

*<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>

<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{n-1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^3+n^2-1}{n(n+1)^2}<\frac{n^3+n^2}{n(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}</math>

*<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math>

<math>1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2<\frac{(n+1)^3}{3}+(n+1)^2=\frac{n^3+6n^2+9n+4}{3}<\frac{n^3+6n^2+12n+8}{3}=\frac{(n+2)^3}{3}</math>

*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>

<math>\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}>\frac{13}{24}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}</math>

<math>=\frac{13}{24}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>\frac{13}{24}</math>

*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>

<math>\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}-\frac{1}{n+1}</math>

<math>>1+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{2}{3(n+1)(3n+2)(3n+4)}>1</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4

2012-08-18T18:48:35Z

Tomer Yogev: /* תרגילים - אי שיוויונים */

בכל התרגילים צריך לבדוק גם את המקרה ההתחלתי עבור n=1 אבל דילגתי על זה כי זה פשוט. בכולם אני מניח שהטענה נכונה עבור n ומוכיח שמכך נובע שהיא נכונה גם עבור n+1.

==תרגילים - שיוויונים==

*<math>1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2</math>

<math>(1+2+...+n+(n+1))^2=(1+2+...+n)^2+2 \cdot (1+2+...+n)\cdot (n+1) + (n+1)^2</math>

<math>=(1+2+...+n)^2+n\cdot(n+1)\cdot(n+1)+(n+1)^2=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנוסחה <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>. השוויון השני נכון לפי סכום סדרה חשבונית. השוויון השלישי הוא כינוס איברים והשוויון האחרון נכון לפי הנחת האינדוקציה.

*<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}</math>

<math>(n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2 = (n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2+(n+1)^2-(n+1)^2</math>

<math>=(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2+\Big((2n+1)^2+(2n+2)^2-(n+1)^2\Big)</math>

<math>=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}+(7n^2+10n+4)=\frac{(n+1)(2n+3)(7n+8)}{6}</math>

השוויון הראשון הוא הוספה והחסרה של אותו איבר. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי נכון לפי הנחת האינדוקציה ופתיחת סוגריים. השוויון האחרון הוא לפי פתיחת סוגריים ופירוק לגורמים.

*<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math>

<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}</math>

<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\Big(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}\Big)</math>

<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי הוא פישוט שני המחוברים האחרונים

*<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}</math>

<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}+\frac{(n+1)^2+(n+1)-1}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}+\frac{n^2+3n+1}{(n+3)!}</math>

<math>=\frac{1}{2}-\frac{(n+1)(n+3)-(n^2+3n+1)}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+2}{(n+3)!}</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האידוקציה ופתיחת סוגריים. השני הוא מכנה משותף והשלישי הוא שוב פתיחת סוגריים במונה.

*<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)</math>

<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)-(-1)^{n+1}(3n+1)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-(-1)^{n+1}(3n+1)</math>

<math>=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(12n+4)\Big)</math>

<math>\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1-12n-4)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(-6n-5)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+2}(6n+5)-1\Big)</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה, השני לפי כפל וחילוק ב4, השלישי זה כינוס איברים וגם שאר השוויונים ברורים.

*<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}</math>

<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}</math>

<math>=\frac{n(n+1)(2n+3)+2(n+1)^2}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(2n^2+3n+2n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3}</math>

הראשון לפי הנחת האינדוקציה, השני מכנה משותף, והאחרים פישוט וצמצום

*<math>\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}</math>

<math>\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{\frac{2n+1}{2n+2}}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{(n+1)^2}{n^2+2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\frac{4n^2+4n}{(2n+1)^2}\cdot\frac{4n^2+8n+3}{(2n+2)^2}=\frac{2n+3}{2n+4}</math>

השוויון הראשון הוא כפל וחלוקה באותו גורם, השני הוא לפי הנחת האינדוקציה, וההמשך זה פישוט וצמצום

==תרגילים - אי שיוויונים==

*<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}</math>

<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}<\frac{2n}{5n+1}+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}</math>

<math>=\frac{(2n)(5n+6)+1}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{10n^2+12n+1}{(5n+1)(5n+6)}<\frac{10n^2+12n+2}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{2n+2}{5n+6}</math>

*<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>

<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{n-1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^3+n^2-1}{n(n+1)^2}<\frac{n^3+n^2}{n(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}</math>

*<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math>

<math>1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2<\frac{(n+1)^3}{3}+(n+1)^2=\frac{n^3+6n^2+9n+4}{3}<\frac{n^3+6n^2+12n+8}{3}=\frac{(n+2)^3}{3}</math>

*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>

*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4

2012-08-18T18:25:45Z

Tomer Yogev:

בכל התרגילים צריך לבדוק גם את המקרה ההתחלתי עבור n=1 אבל דילגתי על זה כי זה פשוט. בכולם אני מניח שהטענה נכונה עבור n ומוכיח שמכך נובע שהיא נכונה גם עבור n+1.

==תרגילים - שיוויונים==

*<math>1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2</math>

<math>(1+2+...+n+(n+1))^2=(1+2+...+n)^2+2 \cdot (1+2+...+n)\cdot (n+1) + (n+1)^2</math>

<math>=(1+2+...+n)^2+n\cdot(n+1)\cdot(n+1)+(n+1)^2=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנוסחה <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>. השוויון השני נכון לפי סכום סדרה חשבונית. השוויון השלישי הוא כינוס איברים והשוויון האחרון נכון לפי הנחת האינדוקציה.

*<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}</math>

<math>(n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2 = (n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2+(n+1)^2-(n+1)^2</math>

<math>=(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2+\Big((2n+1)^2+(2n+2)^2-(n+1)^2\Big)</math>

<math>=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}+(7n^2+10n+4)=\frac{(n+1)(2n+3)(7n+8)}{6}</math>

השוויון הראשון הוא הוספה והחסרה של אותו איבר. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי נכון לפי הנחת האינדוקציה ופתיחת סוגריים. השוויון האחרון הוא לפי פתיחת סוגריים ופירוק לגורמים.

*<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math>

<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}</math>

<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\Big(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}\Big)</math>

<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי הוא פישוט שני המחוברים האחרונים

*<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}</math>

<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}+\frac{(n+1)^2+(n+1)-1}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}+\frac{n^2+3n+1}{(n+3)!}</math>

<math>=\frac{1}{2}-\frac{(n+1)(n+3)-(n^2+3n+1)}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+2}{(n+3)!}</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האידוקציה ופתיחת סוגריים. השני הוא מכנה משותף והשלישי הוא שוב פתיחת סוגריים במונה.

*<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)</math>

<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)-(-1)^{n+1}(3n+1)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-(-1)^{n+1}(3n+1)</math>

<math>=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(12n+4)\Big)</math>

<math>\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1-12n-4)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(-6n-5)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+2}(6n+5)-1\Big)</math>

השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה, השני לפי כפל וחילוק ב4, השלישי זה כינוס איברים וגם שאר השוויונים ברורים.

*<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}</math>

<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}</math>

<math>=\frac{n(n+1)(2n+3)+2(n+1)^2}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(2n^2+3n+2n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3}</math>

הראשון לפי הנחת האינדוקציה, השני מכנה משותף, והאחרים פישוט וצמצום

*<math>\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}</math>

<math>\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{\frac{2n+1}{2n+2}}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

<math>=\frac{(n+1)^2}{n^2+2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\frac{4n^2+4n}{(2n+1)^2}\cdot\frac{4n^2+8n+3}{(2n+2)^2}=\frac{2n+3}{2n+4}</math>

השוויון הראשון הוא כפל וחלוקה באותו גורם, השני הוא לפי הנחת האינדוקציה, וההמשך זה פישוט וצמצום

==תרגילים - אי שיוויונים==

*<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}</math>

*<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>

*<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math>

*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>

*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4

2012-08-18T18:24:37Z