https://math-wiki.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Tsur326Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]2026-05-12T23:21:11Zתרומות המשתמשMediaWiki 1.39.4https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99&diff=87729לכסון אורתוגונלי2021-06-26T09:32:00Z<p>Tsur326: /* הוכחה */</p>
<hr />
<div>=לכסון אורתוגונלי (מעל <math>\mathbb R</math>)=<br />
==אלגוריתם==<br />
* מצא את הע"ע של המטריצה A<br />
* מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A<br />
** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A<br />
** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי<br />
* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.<br />
*<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית<br />
<br />
==הוכחה לאלגוריתם==<br />
* ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי <math>P^{-1}AP=D</math> אלכסונית<br />
* ידוע שאם P אורתוגונלית אזי <math>P^t=P^{-1}</math><br />
* נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי <math>D=P^{-1}AP=P^tAP</math> אלכסונית.<br />
<br />
===טענה===<br />
A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית<br />
<br />
===הוכחה===<br />
בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן <math>A=PDP^t</math> ולכן <math>A^t=PD^tP^t=PDP^t=A</math> (כי D אלכסונית).<br />
<br />
<br />
<br />
בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <math><Au,w>=<u,Aw></math> כי A צמודה לעצמה (מעל הממשיים צמודה לעצמה=סימטרי).<br />
<br />
לכן, <math>a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w></math> ולכן <math>a<u,w>=b<u,w></math> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר <math>a \neq b</math> ולכן בהכרח <math><u,w>=0</math> כלומר הם מאונכים.<br />
<br />
<br />
<br />
* לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה<br />
* לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ <br />
* מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה <br />
* לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע <br />
* לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב<br />
* לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב<br />
* אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע<br />
* בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.</div>Tsur326