הצגת המקור של הדף "אנליזת פורייה - ארז שיינר"

=מבחנים לדוגמא=

=תקציר ההרצאות=
*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [http://www2.math.technion.ac.il/~yoramy/heb-ps.html 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס].
==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה==
===הקדמה - גלים===

*מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
*לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
**תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
**אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
**פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
*אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.


*מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
*למדנו במד"ר על המשוואה <math>y''=-k^2y</math> המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
*זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
*הפתרון הכללי למד"ר הוא <math>y=a\sin(kt)+b\cos(kt)</math>.
*הקבוע <math>k</math> קובע את התדר של כל גל.
*הקבועים <math>a,b</math> קובעים את האמפליטודה של כל גל.
*מה לגבי הפאזה?
**בפונקציה <math>a\sin(kt+t_0)</math>, הקבוע <math>t_0</math> קובע את הפאזה.
**ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה: 
***<math>a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)</math>


*האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)</math> ניתן להציג כגל יחיד?
*תשובה: כן.
*הוכחה:
**נסמן <math>z=a+bi=rcis(\theta)</math>
**כלומר <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)</math>
*שימו לב:
**סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
**הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
**לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
**האפליטודה של הגל החדש היא <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>.


*האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
*בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
*האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
*למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
*במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.


===טורי פורייה ומקדמי פוריה===
*טור פורייה הוא טור מהצורה <math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]</math>


*אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים <math>a_n,b_n</math>?


====חישובים להקדמה====
*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
**<math>\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]</math>
**<math>\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]</math>
*כעת, לכל <math>0\neq n\in\mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx =  \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math>
*עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
**שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>.
*באופן דומה, לכל <math>0\neq n\in\mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx =  \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math>
*עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
**שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>.
*עבור <math>n,k\in \mathbb{N}</math> נקבל:
**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0</math> כיוון שמדובר ב'''אינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית'''.
*ולבסוף, עבור <math>n=0</math> נקבל
**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math>
*שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.


*הערה חשובה:
**למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math>


====מקדמי הטור====

*כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=</math>
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=</math>
*כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]</math>
*לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
*<math>a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx</math>
*שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור <math>k=0</math>.
*באופן דומה נקבל כי <math>b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx</math>


*הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
*השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
*באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור <math>2\pi</math>. 
*לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
**תהי פונקציה <math>f</math>, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה <math>g</math> על ידי:
**לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math> ולכל <math>x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)</math> נגדיר <math>g(x)=f(x-2\pi k)</math>.
**ברור ש <math>g(x+2\pi) = g(x)</math>, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
**ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת <math>g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)</math>


*לדוגמא, ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>:
:[[קובץ:x^2_fourier.png|1000px]]


=====דוגמא=====
*נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>
*שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.


:<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0</math>.
*שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.


:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}</math>


:<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=</math>
:<math>=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx=
\left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=</math>
:<math>- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi  + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}</math>


*שימו לב כי לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>cos(n\pi)=(-1)^n</math>


*סה"כ אם ההמשך המחזורי של <math>x^2</math> שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>


*נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב <math>\pi</math>.
*<math>\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}</math>
*ונקבל את הסכום המפורסם 
::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>


==הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה==
===מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים===
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
**1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
**2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
*למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
*פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.



*E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין <math>f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}</math> מעל השדה <math>\mathbb{C}</math>, המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
**לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
*<math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math> היא מכפלה פנימית מעל E.
**<math>\langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}</math>
**<math>\langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle </math>
**<math>\langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx</math>
***בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס. 
***כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
*נביט בנורמה המושרית <math>||f||^2=\langle f,f\rangle</math>


*כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית. 
*יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
*ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.


*תהי קבוצה אורתונורמלית סופית <math>\{e_1,...,e_n\}</math>, ונקרא למרחב שהיא פורשת W. 
*לכל וקטור <math>v\in V</math> נגדיר את ההיטל של <math>v</math> על W על ידי <math>\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i</math>
*נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:


*מתקיים כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**הוכחה:
**<math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**<math>\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2</math>
**המעבר האחרון נכון כיוון ש <math>\{e_1,...,e_n\}</math> אורתונורמלית.


*מתקיים כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
**הוכחה:
**<math>\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>
**נזכור כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>.
**לכן קיבלנו כי <math>||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2</math>


*מסקנה מיידית: <math>||\widetilde{v}||\leq ||v||</math>


====אי שיוויון בסל====
*כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית <math>\{e_1,e_2,...\}</math>.
*לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>
**הוכחה:
**ראינו שלכל n מתקיים כי <math>\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>.
**כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי <math>||v||^2</math> ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.


*בפרט נובע כי 
:<math>\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0</math>

===למת רימן לבג===

*ראינו כי <math>\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}</math> היא קבוצה אורתונורמלית ב<math>E</math> (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
*כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
*לכל <math>1\leq n\in \mathbb{N}</math> הגדרנו <math>a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle</math>, ו<math>b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle</math>


*נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
*כלומר:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0</math>


*למת רימן-לבג: תהי <math>g</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>, אזי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0</math>
*הוכחה:
**<math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt
</math>
**נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math>
**קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>.
**ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0</math>

===גרעין דיריכלה===

*גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(x)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>


*טענה: <math>D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math>
**הוכחה:
**נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל:
**<math>\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)</math>
**נבחין בזהות הטריגונומטרית <math>2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)</math>
**ובפרט <math>2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})</math>
**ביחד נקבל <math>\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)</math>


*נשים לב כי הפונקציה <math>2\sin(\frac{t}{2})</math> מתאפסת בנקודות <math>t=2\pi k</math>, בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
*זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
*כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי <math>2\pi</math> כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות <math>2\pi</math>.


*נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
*ראשית, לכל <math>1\leq k \in \mathbb{N}</math> מתקיים:
:<math>\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0</math>
*לכן נקבל:
:<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}</math>




====הסכומים החלקיים של טור פוריה====
*תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה <math>f</math> שהיא מחזורית <math>2\pi</math>:
:<math>S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)</math>
*נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=</math>
:<math>= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=</math>
:<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt</math>
*זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt</math>
*שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.



*טענה: תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>. אזי לכל <math>a\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי:
:<math>\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx</math>
*כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך <math>2\pi</math>.
**הוכחה:
::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx</math>
::נבצע הצבה <math>t=x-2\pi</math> באינטגרל השני ונקבל:
::<math>\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx</math>
::ביחד נקבל כי:
::<math>\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx</math>



*נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math>
:כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל:
:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math>

==הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה==

===סימונים והגדרות===
*נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב<math>f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x)</math>.
*נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב<math>f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x)</math>.
*שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.


*נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י <math>f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}</math>.
*נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י <math>f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}</math>.
*שימו לב: ייתכן ש<math>f'(d^+)=f'(d^-)</math> אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.


דוגמא:
*נביט בפונקציה <math>f(x)=\frac{x}{|x|}</math>
*מתקיים כי <math>f(0^+)=1</math>, ו<math>f(0^-)=-1</math>.
*כמו כן מתקיים כי <math>f'(0^+)=f'(0^-)=0</math>. 
כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.


===משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה===
*תהי <math>f</math> פונקציה מחזורית <math>2\pi</math>, רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
*אזי לכל <math>x\in\mathbb{R}</math> הטור עם מקדמי הפוריה של <math>f</math> מתכנס:
:<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)</math>
*בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.


====הוכחה====
*תהי נקודה <math>x\in\mathbb{R}</math>.
*נביט בפונקציה <math>g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>
*<math>\lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1</math>
*כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש<math>g(t)</math> רציפה למקוטעין בקטע <math>[0,\pi]</math>.
*לפי למת רימן-לבג נובע כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0</math>
*כלומר:
:<math>0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= 
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt</math>
*כיוון ש
:<math>\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
*נובע כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt =  \frac{f(x^+)}{2}</math>


*באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt =  \frac{f(x^-)}{2}</math>
*ולכן סה"כ נקבל כי:
:<math>\lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}</math>



====דוגמאות====
=====דוגמא 1=====
*תהי <math>f</math> ההמשך המחזורי של <math>x</math>.
:[[קובץ:x_fourier.png|1000px]]
*כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
*כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל <math>n</math> מתקיים כי <math>a_n=0</math>.


*כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
:<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = 
-\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math>
*לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי:
:<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) </math>.
*בפרט, לכל נקודה <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי:
:<math>x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>
*עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
*קל לראות שאכן לכל <math>x=\pi+2\pi k</math> נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).


*נציב לדוגמא <math>x=\frac{\pi}{2}</math> ונקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2}) </math>
*לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:
:<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math>
*שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>.


=====דוגמא 2=====
*כעת, תהי <math>g</math> ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>.
*הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
*הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות <math>x=\pi+2\pi k</math>.
*בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל<math>\pm 2\pi</math> (כיוון שהנגזרת של <math>x^2</math> היא <math>2x</math>).
*סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).


*כלומר קיבלנו שלכל <math>x\in [-\pi,\pi]</math> מתקיים כי:
::<math>x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>


*שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של <math>x^2</math>, נקבל את טור הפורייה של <math>2x</math>. 
*האם זה מפתיע?


=====דוגמא 3=====
*תהי <math>h</math> ההמשך המחזורי של הפונקציה <math>\begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases}</math>
:[[קובץ:x_and_0_fourier.png|1000px]]
*שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.

*נחשב את מקדמי הפורייה:


:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2}</math>


:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi=
\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}</math>


:<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}</math>


*סה"כ שלכל <math>x\in (-\pi,\pi)</math> מתקיים כי:
:<math>h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right]</math>



*שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל<math>x</math> בקטע <math>(0,\pi)</math>.
*באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.


===טור הנגזרת===
*תהי <math>f</math> רציפה ב<math>[-\pi,\pi]</math>, כך שגם הנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה בקטע.
*נחשב את מקדמי פורייה של הנגזרת:

:<math>a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= f(\pi)-f(-\pi)</math>
*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ בהנחה שהנגזרת רציפה. אם הנגזרתרציפה למקוטעין זה קצת יותר מורכב.


:<math>a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{-n}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi</math>