אלגוריתם ללכסון מטריצה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר ב־09:32, 21 באוקטובר 2012

2012-10-21T09:32:02Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:32, 21 באוקטובר 2012
שורה 36:		שורה 36:

	בעמודה <math>i</math> של המטריצה <math>D</math> יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה <math>i</math> של <math>P</math>.		בעמודה <math>i</math> של המטריצה <math>D</math> יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה <math>i</math> של <math>P</math>.


			==דוגמאות==

Tsaban ב־18:32, 29 בנובמבר 2011

2011-11-29T18:32:37Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:32, 29 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	תהי מטריצה A. נרצה ~~לדעת~~ האם היא לכסינה ~~ומהי המטריצה המלכסנת שלה~~		תהי נתונה מטריצה <math>A</math>. נרצה לבדוק האם היא לכסינה, ואם כן - למצוא מטריצה שמלכסנת אותה.

	===מציאת פולינום אופייני===		===מציאת פולינום אופייני===

Tsaban: /* מציאת בסיסים למרחבים העצמיים */

2011-11-29T18:31:30Z

מציאת בסיסים למרחבים העצמיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:31, 29 בנובמבר 2011
שורה 21:		שורה 21:

	לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי		לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי
	<math>V_\lambda:=\left\{v : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I)</math>,		<math>V_\lambda:=\left\{v\in \mathbb{F}^n : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I)</math>,
	אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה <math>A-\lambda I</math>.		אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה <math>A-\lambda I</math>.

Tsaban ב־18:30, 29 בנובמבר 2011

2011-11-29T18:30:55Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:30, 29 בנובמבר 2011
שורה 18:		שורה 18:
	הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.		הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

	===מציאת ~~המרחבים העצמיים של הערכים~~ העצמיים===		===מציאת בסיסים למרחבים העצמיים===

	לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי		לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי
שורה 27:		שורה 27:
	אז '''המטריצה אינה לכסינה''' ולא צריך להמשיך.		אז '''המטריצה אינה לכסינה''' ולא צריך להמשיך.

	כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים~~. אם הצלחנו עבור כולם, מובטח~~		כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים.
	~~שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו~~.

			*תזכורת למעוניינים: [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7\|מציאת בסיס למרחב האפס]]

	*~~מומלץ להיזכר ב~~[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7\|מציאת בסיס למרחב האפס]]

	~~===מציאת בסיסים למרחבים העצמיים===~~
	~~ידוע מלינארית 1 כי בסיס למרחב האפס מורכב מהפתרונות הפונדומנטליים של המערכת ההומוגנית~~

	===בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת===		===בדיקה האם המטריצה לכסינה, ואם כן מציאת המטריצה המלכסנת===
	אם ~~סכום מימדי המרחבים העצמיים שווה למימד המרחב כולו (ניתן לגלות לפי מספר האיברים בבסיסים)~~, ~~אזי המטריצה~~ לכסינה והמטריצה המלכסנת P היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים ~~מהבסיסים הנ"ל~~.		אם הגענו עד שלב זה, מובטח שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת <math>P</math> היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו.
			כלומר, המטריצה <math>D:=P^{-1}AP</math> היא מטריצה אלכסונית.

	~~אחרת,~~ המטריצה ~~אינה לכסינה~~		בעמודה <math>i</math> של המטריצה <math>D</math> יופיע הערך העצמי המתאים לוקטור העצמי ששמנו בעמודה <math>i</math> של <math>P</math>.

Tsaban: /* מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים */

2011-11-29T18:27:18Z

מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:27, 29 בנובמבר 2011
שורה 18:		שורה 18:
	הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.		הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

	===מציאת ~~מרחבים עצמיים~~ של הערכים העצמיים===		===מציאת המרחבים העצמיים של הערכים העצמיים===

	המרחב העצמי ~~של ע"ע x מוגדר להיות:~~		לכל ערך עצמי <math>\lambda</math> של <math>A</math>, מחשבים את המרחב העצמי
	::<math>~~V_x~~:=\{v\|Av=xv\}</math>		<math>V_\lambda:=\left\{v : Av=\lambda v\right\}=N(A-\lambda I)</math>,
			אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה <math>A-\lambda I</math>.

			מוצאים בסיס עבור מרחב זה. אם בבסיס יש פחות איברים מהריבוי האלגברי של <math>\lambda</math>,
			אז '''המטריצה אינה לכסינה''' ולא צריך להמשיך.

			כל עוד יש מספיק וקטורים כמו בריבוי האלגברי, ממשיכים הלאה לערכים העצמיים הבאים. אם הצלחנו עבור כולם, מובטח
			שהמטריצה לכסינה, והמטריצה המלכסנת היא המטריצה שעמודותיה הם הוקטורים העצמיים בבסיסים שמצאנו.

	קל להוכיח כי <math>V_x=N(A-xI)</math>. במילים, המרחב העצמי של ע"ע הוא אוסף הפתרונות של המערכת ההומוגנית המתאימה למטריצה A-xI.

Tsaban: /* מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי */

2011-11-29T18:22:36Z

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:22, 29 בנובמבר 2011
שורה 11:		שורה 11:
	<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.		<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.

	'''אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה.'''		'''אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה''' ואפשר לעצור כאן.

	<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,		<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,

Tsaban: /* מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי */

2011-11-29T18:22:00Z

מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:22, 29 בנובמבר 2011
שורה 10:		שורה 10:
	עד שנגיע למצב		עד שנגיע למצב
	<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.		<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.

			'''אם נותר בפולינום גורם שאינו מתפרק לגורמים לינאריים כאלה, אז המטריצה אינה לכסינה.'''

	<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,		<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,

Tsaban: /* מציאות הערכים העצמיים של המטריצה */

2011-11-29T18:20:50Z

מציאות הערכים העצמיים של המטריצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:20, 29 בנובמבר 2011
שורה 4:		שורה 4:
	<math>p_A(x):=\left\|xI-A\right\|</math>.		<math>p_A(x):=\left\|xI-A\right\|</math>.

	===~~מציאות~~ הערכים העצמיים של המטריצה===		===מציאת הערכים העצמיים של המטריצה וריבויים האלגברי===
	<math>\lambda</math> ערך עצמי של <math>A</math> אם ורק אם <math>p_A(\lambda)=0</math>.		<math>\lambda</math> ערך עצמי של <math>A</math> אם ורק אם <math>p_A(\lambda)=0</math>.

			לכל שורש <math>\lambda</math> של <math>p_A(x)</math>, נוציא מהפולינום גורם <math>(x-\lambda)</math>,
			עד שנגיע למצב
			<math>p_A(x)=(x-\lambda_1)^{r_1}\cdots(x-\lambda_k)^{r_k}</math>.

			<math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math> הם הערכים העצמיים השונים של <math>A</math>,
			ו
			<math>r_1,\dots,r_k</math>
			הם הריבויים האלגבריים שלהם, בהתאמה.

	===מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים===		===מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים===

Tsaban: /* מציאות ערכים עצמיים של המטריצה */

2011-11-29T18:16:59Z

מציאות ערכים עצמיים של המטריצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:16, 29 בנובמבר 2011
שורה 4:		שורה 4:
	<math>p_A(x):=\left\|xI-A\right\|</math>.		<math>p_A(x):=\left\|xI-A\right\|</math>.

	===מציאות ~~ערכים עצמיים~~ של המטריצה===		===מציאות הערכים העצמיים של המטריצה===
	~~x הינו ע"ע~~ של A אם ורק אם ~~x הינו שורש של הפולינום האופייני של A~~		<math>\lambda</math> ערך עצמי של <math>A</math> אם ורק אם <math>p_A(\lambda)=0</math>.

	===מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים===		===מציאת מרחבים עצמיים של הערכים העצמיים===

Tsaban: /* מציאת פולינום אופייני */

2011-11-29T18:15:00Z

מציאת פולינום אופייני

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:15, 29 בנובמבר 2011
שורה 2:		שורה 2:

	===מציאת פולינום אופייני===		===מציאת פולינום אופייני===
	<math>p_A(x):=\|xI-A\|</math>.		<math>p_A(x):=\left\|xI-A\right\|</math>.

	===מציאות ערכים עצמיים של המטריצה===		===מציאות ערכים עצמיים של המטריצה===