אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2 - היסטוריית גרסאות

Relweiz: /* תרגיל */

2019-11-26T12:28:08Z

תרגיל

@@ שורה 107: / שורה 107: @@
 =====פתרון=====
 מסדר 4 יש רק זוג אחד כזה: <math>i,-i</math>. מסדר 11, ניתן למצוא כמה. נשים לב שבעצם צריך למצוא שני טבעיים בין 0 ל-10 שסכומם 11. למשל ניקח את 4,7 ונקבל: <math>\text{cis}\frac{4\cdot 360}{11}\cdot \text{cis}\frac{7\cdot 360}{11}=\text{cis}\frac{(4+7)\cdot 360}{11}=\text{cis}360=1</math>.
 ==שורשים של פולינם==

Relweiz: /* מעדל היחידה ושורשי היחידה */

2019-11-26T11:36:22Z

מעדל היחידה ושורשי היחידה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:36, 26 בנובמבר 2019
שורה 75:		שורה 75:
	נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.		נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.

	==~~מעדל~~ היחידה ושורשי היחידה==		==מעגל היחידה ושורשי היחידה==

	מעגל היחידה הוא אוסף המספרים עם הרדיוס 1, כלומר, <math>\{z=\text{cis}\theta\|0\leq \theta < 360\}</math>. שורשי היחידה הם המספרים על מעגל היחידה שיש חזקה טבעית המביאה אותם ל-1. שורשי היחידה מסדר נתון <math>n</math> הם המספרים: <math>\{z:z^n=1\}</math>. ניתן גם לרשום אותם באופן הבאה: <math>\{z=\text{cis}\frac{k\cdot 360}{n}\| k\in \{0,1,\dots,n-1\}\}</math>.		מעגל היחידה הוא אוסף המספרים עם הרדיוס 1, כלומר, <math>\{z=\text{cis}\theta\|0\leq \theta < 360\}</math>. שורשי היחידה הם המספרים על מעגל היחידה שיש חזקה טבעית המביאה אותם ל-1. שורשי היחידה מסדר נתון <math>n</math> הם המספרים: <math>\{z:z^n=1\}</math>. ניתן גם לרשום אותם באופן הבאה: <math>\{z=\text{cis}\frac{k\cdot 360}{n}\| k\in \{0,1,\dots,n-1\}\}</math>.

Relweiz: /* תרגיל */

2019-11-26T11:35:24Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:35, 26 בנובמבר 2019
שורה 75:		שורה 75:
	נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.		נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.

			==מעדל היחידה ושורשי היחידה==

			מעגל היחידה הוא אוסף המספרים עם הרדיוס 1, כלומר, <math>\{z=\text{cis}\theta\|0\leq \theta < 360\}</math>. שורשי היחידה הם המספרים על מעגל היחידה שיש חזקה טבעית המביאה אותם ל-1. שורשי היחידה מסדר נתון <math>n</math> הם המספרים: <math>\{z:z^n=1\}</math>. ניתן גם לרשום אותם באופן הבאה: <math>\{z=\text{cis}\frac{k\cdot 360}{n}\| k\in \{0,1,\dots,n-1\}\}</math>.
	====תרגיל====		====תרגיל====

שורה 98:		שורה 101:

	ד. <math>z\cdot\overline{z}=\|z\|^2=r^2>1</math>, ולכן מחוץ למעגל היחידה.		ד. <math>z\cdot\overline{z}=\|z\|^2=r^2>1</math>, ולכן מחוץ למעגל היחידה.

			====תרגיל====
			מצאו שני שורשי יחידה שונים מסדר 4 שמכפלתם 1. כנ"ל מסדר 11.

			=====פתרון=====
			מסדר 4 יש רק זוג אחד כזה: <math>i,-i</math>. מסדר 11, ניתן למצוא כמה. נשים לב שבעצם צריך למצוא שני טבעיים בין 0 ל-10 שסכומם 11. למשל ניקח את 4,7 ונקבל: <math>\text{cis}\frac{4\cdot 360}{11}\cdot \text{cis}\frac{7\cdot 360}{11}=\text{cis}\frac{(4+7)\cdot 360}{11}=\text{cis}360=1</math>.

	==שורשים של פולינם==		==שורשים של פולינם==

Relweiz: /* הצגה פולרית של מספרים מרוכבים */

2019-11-26T11:11:41Z

הצגה פולרית של מספרים מרוכבים

@@ שורה 32: / שורה 32: @@
 . <math>5\text{cis}\frac{\pi}{8}</math>.
 ====תרגיל====
 חשבו:
@@ שורה 40: / שורה 55: @@
 =====פתרון=====
-. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: <math>35\text{cis}105</math>
+. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: <math>35\text{cis}105</math>.
-. עוברים לקרטזית ושם מחברים: <math>(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i)+(4\cdot -\frac{sqrt{2}}{2} +4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+(1+2\sqrt{2})i</math>
+. עוברים לקרטזית ושם מחברים: <math>(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i)+(4\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) +4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+(1+2\sqrt{2})i</math>.
 מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: <math>(r\text{cis} \theta )^n=r^n\text{cis} (n\theta)</math>.
@@ שורה 58: / שורה 74: @@
 נקבל <math>r=2,\theta=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}=\frac{\pi}{12}\lor \frac{9\pi}{12}\lor \frac{17\pi}{12}</math>. נשים לב שאם ניקח <math>k=3</math> נקבל <math>\theta=\frac{25\pi}{12}=\frac{\pi}{12}+2\pi</math>, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור <math>k=0</math>.
 ====תרגיל====

Relweiz: /* מעבר בין הצגות */

2019-11-19T13:35:52Z

מעבר בין הצגות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:35, 19 בנובמבר 2019
שורה 11:		שורה 11:

	מפולרית לקרטזית: אם <math>z=r\text{cis} \theta</math> אז <math>a=r\cos \theta,b=r\sin \theta</math>.		מפולרית לקרטזית: אם <math>z=r\text{cis} \theta</math> אז <math>a=r\cos \theta,b=r\sin \theta</math>.

			====תרגיל====
			הציגו את המספרים הבאים בצורה פולרית:

			1. <math>\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}</math>

			2. <math>-1-i</math>

			=====פתרון=====

			1. <math>\|z\|=\sqrt{0.75+0.25}=1,\tan \theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \theta =...</math>

			2.

			====תרגיל====
			הציגו את המספרים הבאים בצורה קרטזית:

			1. <math>\text{cis}0</math>.

			2. <math>5\text{cis}\frac{\pi}{8}</math>.

	====תרגיל====		====תרגיל====

אריאל: /* פתרון */

2018-11-06T11:41:56Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:41, 6 בנובמבר 2018
שורה 70:		שורה 70:
	א. הנורמה של הצמוד זהה לשל המקורי, ולכן כמו <math>z</math> גם הוא נמצא מחוץ למעגל היחידה.		א. הנורמה של הצמוד זהה לשל המקורי, ולכן כמו <math>z</math> גם הוא נמצא מחוץ למעגל היחידה.

	ב. הנורמה של ההופכי היא ההופכי של הנורמה. ולכן, <math>r>1\Rightarrow \frac{}{r}<1</math>. ולכן ההופכי נמצא בתוך מעגל היחידה.		ב. הנורמה של ההופכי היא ההופכי של הנורמה. ולכן, <math>r>1\Rightarrow \frac{1}{r}<1</math>. ולכן ההופכי נמצא בתוך מעגל היחידה.

	ג. כיון שהנורמות שוות נקבל שהנורמה של המנה היא 1, ולכן זה נמצא על מעגל היחידה.		ג. כיון שהנורמות שוות נקבל שהנורמה של המנה היא 1, ולכן זה נמצא על מעגל היחידה.

אריאל: /* תרגיל */

2018-11-06T11:41:22Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:41, 6 בנובמבר 2018
שורה 53:		שורה 53:

	====תרגיל====		====תרגיל====

			נתון מספר מרוכב <math>z</math> הנמצא מחוץ למעגל היחידה. כתבו האם המספרים הבאים נמצאים בתוך מעגל היחידה, על מעגל היחידה או מחוץ למעגל היחידה.

			א. <math>\overline{z}</math>

			ב. <math>-\frac{1}{z}</math>

			ג. <math>\frac{z}{\overline{z}}</math>

			ד. <math>z\cdot \overline{z}</math>

			=====פתרון=====

			נשים לב שבשאלה זו מעניין אותנו רק מה ההנורמה של המספר, כי הזוית לא משנה בהקשר של בתוך/על/מחוץ מעגל היחידה. נרשום <math>z=r\text{cis}\theta</math>, נקבל <math>r>1</math> ונבדוק את הנורמה של המספרים המבוקשים.

			א. הנורמה של הצמוד זהה לשל המקורי, ולכן כמו <math>z</math> גם הוא נמצא מחוץ למעגל היחידה.

			ב. הנורמה של ההופכי היא ההופכי של הנורמה. ולכן, <math>r>1\Rightarrow \frac{}{r}<1</math>. ולכן ההופכי נמצא בתוך מעגל היחידה.

			ג. כיון שהנורמות שוות נקבל שהנורמה של המנה היא 1, ולכן זה נמצא על מעגל היחידה.

			ד. <math>z\cdot\overline{z}=\|z\|^2=r^2>1</math>, ולכן מחוץ למעגל היחידה.

	==שורשים של פולינם==		==שורשים של פולינם==

אריאל: /* פתרון */

2018-11-06T10:54:42Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:54, 6 בנובמבר 2018
שורה 45:		שורה 45:
	=====פתרון=====		=====פתרון=====

	נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>\, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!		נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!

	בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:		בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:

אריאל: /* פתרון */

2018-11-06T10:54:08Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:54, 6 בנובמבר 2018
שורה 47:		שורה 47:
	נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>\, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!		נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>\, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!

	בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:		בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:
	<math>\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha</math>\ (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה <math>\varphi=180+\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!		<math>\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha</math> (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה <math>\varphi=180+\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!

	בסה"כ: <math>\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta</math>.		בסה"כ: <math>\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta</math>.

אריאל: /* פתרון */

2018-11-06T10:53:18Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:53, 6 בנובמבר 2018
שורה 45:		שורה 45:
	=====פתרון=====		=====פתרון=====

	נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\~~phi~~</math> שתקיים לנו: <math>\cos \~~phi~~=\cos \theta, sin \~~phi~~=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>\, ולכן הבחירה <math>\~~phi~~=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!		נתחיל עם הצמוד. מה אנחנו רוצים שיתקיים? נעבור רגע להצגה הקרטזית <math>z=r\cos \theta+r\sin \theta i</math>, ולכן <math>\overline{z}=r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. הערך המוחלט לא משתנה, אנחנו רק צריכם למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=\cos \theta, \sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות: <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>\, ולכן הבחירה <math>\varphi=-\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!

	בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\~~phi~~</math> שתקיים לנו: <math>\cos \~~phi~~=-\cos \theta, sin \~~phi~~=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:		בדומה לזה נעשה עם <math>-z=-r\cos \theta-r\sin \theta i</math>. כאן אנחנו צריכים למצוא זוית <math>\varphi</math> שתקיים לנו: <math>\cos \varphi=-\cos \theta, sin \varphi=-\sin \theta</math>. לצורך זה ניעזר בזהויות הבאות:
	<math>\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha</math>\ (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה <math>\~~phi~~=180+\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!		<math>\sin(180+\alpha)=-\sin \alpha,\cos(180+\alpha)=-\cos \alpha</math>\ (הן נובעות מהזהויות של זוית משלימה ל180 והזהויות הקודמות), ולכן הבחירה <math>\varphi=180+\theta</math> היא הבחירה המוצלחת!

	בסה"כ: <math>\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta</math>.		בסה"כ: <math>\overline{z}=r\text{cis}-\theta,-z=r\text{cis}180+\theta</math>.