אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5 - היסטוריית גרסאות

Relweiz: /* פתרון */

2019-12-17T09:39:32Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:39, 17 בדצמבר 2019
שורה 83:		שורה 83:
	<math>U_y=-V_x</math> תמיד.		<math>U_y=-V_x</math> תמיד.

	לכן רק בנקודות <math>(x,\pm\frac{1}{\sqrt{3}})</math> הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: <math>U_x+V_xi=1</math>.		לכן רק בנקודות <math>z=x\pm\frac{1}{\sqrt{3}}i</math> הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: <math>U_x+V_xi=1</math>.

	===משפט===		===משפט===

Relweiz: /* פתרון */

2019-12-17T09:34:18Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:34, 17 בדצמבר 2019
שורה 69:		שורה 69:
	3. נרשום: <math>f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi</math>. נמצא נגזרות חלקיות: <math>U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2</math>. נבדוק מתי התנאי מתקיים:		3. נרשום: <math>f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi</math>. נמצא נגזרות חלקיות: <math>U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2</math>. נבדוק מתי התנאי מתקיים:

	<math>U_x=~~v_y~~\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2</math>.		<math>U_x=V_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2</math>.

	<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>.		<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>.

Relweiz: /* פתרון */

2019-12-17T09:33:44Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:33, 17 בדצמבר 2019
שורה 73:		שורה 73:
	<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>.		<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>.

	שני התנאים מתקיים כאשר: <math>(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)</math>. כלומר גזירה ~~בצירה~~ המדומה, ובנקודה <math>(2,0)</math>.		שני התנאים מתקיים כאשר: <math>(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)</math>. כלומר גזירה בציר המדומה, ובנקודה <math>(2,0)</math>.

	הנגזרת שם היא: <math>U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi</math>. נשים לב שעל הציר המדומה <math>x=0</math> ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה <math>(2,0)</math> נקבל <math>f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8</math>.		הנגזרת שם היא: <math>U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi</math>. נשים לב שעל הציר המדומה <math>x=0</math> ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה <math>(2,0)</math> נקבל <math>f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8</math>.

Relweiz: /* תנאי קושי רימן */

2019-12-17T09:32:35Z

תנאי קושי רימן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:32, 17 בדצמבר 2019
שורה 46:		שורה 46:

	===תנאי קושי רימן===		===תנאי קושי רימן===
	תהי <math>f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i</math> פונקציה מרוכבת. <math>f</math> גזירה בנקודה <math>z_0=~~(x_o,~~y_0)</math> '''אם ורק אם''' הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:		תהי <math>f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i</math> פונקציה מרוכבת. <math>f</math> גזירה בנקודה <math>z_0=x_0+y_0</math> '''אם ורק אם''' הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:

	<math>\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}</math>.		<math>\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}</math>.

Relweiz: /* הגדרה */

2019-12-17T09:21:29Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:21, 17 בדצמבר 2019
שורה 2:		שורה 2:

	==הגדרה==		==הגדרה==
	נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>~~\triangle z~~\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{~~\triangle z~~\to 0}{\lim}\frac{f(~~\triangle z~~+z_0)-f(z_0)}{~~\triangle z~~}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.		נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{z_n\to 0}{\lim}\frac{f(z_n+z_0)-f(z_0)}{z_n}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

	פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.		פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

Relweiz: /* הגדרה */

2019-12-17T09:19:25Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:19, 17 בדצמבר 2019
שורה 2:		שורה 2:

	==הגדרה==		==הגדרה==
	נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>\triangle z\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset~~{\lim}~~{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.		נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>\triangle z\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{\triangle z\to 0}{\lim}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

	פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.		פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

אריאל: /* תרגיל */

2018-11-27T11:43:00Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:43, 27 בנובמבר 2018
שורה 53:		שורה 53:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות:		בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו:

	1. <math>f(x+yi)=x+y~~^3i~~</math>		1. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}y</math>

	2. <math>f(z)=z+Re(z)</math>		2. <math>f(z)=z+Re(z)</math>
שורה 61:		שורה 61:
	3. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math>		3. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math>

	4. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}y</math>		4. <math>f(x+yi)=x+y^3i</math>
			=====פתרון=====
			1. נקבל: <math>U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y</math>. ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: <math>U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y</math>. שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!!

			2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל <math>Re(z)=f(z)-z</math>, ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה.

			3. נרשום: <math>f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi</math>. נמצא נגזרות חלקיות: <math>U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2</math>. נבדוק מתי התנאי מתקיים:

			<math>U_x=v_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2</math>.

	=====~~פתרון~~=====		<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>.

			שני התנאים מתקיים כאשר: <math>(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)</math>. כלומר גזירה בצירה המדומה, ובנקודה <math>(2,0)</math>.

			הנגזרת שם היא: <math>U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi</math>. נשים לב שעל הציר המדומה <math>x=0</math> ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה <math>(2,0)</math> נקבל <math>f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8</math>.

			4. נקבל את הנגזרות החלקיות: <math>U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2</math>. נבדוק את התנאי:

			<math>U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}</math>.

			<math>U_y=-V_x</math> תמיד.

			לכן רק בנקודות <math>(x,\pm\frac{1}{\sqrt{3}})</math> הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: <math>U_x+V_xi=1</math>.

	===משפט===		===משפט===

אריאל: /* תרגיל */

2018-11-27T11:18:41Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:18, 27 בנובמבר 2018
שורה 26:		שורה 26:
	א. תהי <math>f(z)=z^n</math> הוכיחו: <math>f'(z)=nz^{n-1}</math>.		א. תהי <math>f(z)=z^n</math> הוכיחו: <math>f'(z)=nz^{n-1}</math>.

	ב. יהי <math>P(z)=~~\stackrelthree~~{\sum}{k=0}{n} \alpha_kz^k</math> פולינום.		ב. יהי <math>P(z)={\sum}_{k=0}^{n} \alpha_kz^k</math> פולינום.
	הוכיחו ש- <math>P'(z)=~~\stackrelthree~~{\sum}{k=1}{n} k\alpha_kz^{k-1}</math>.		הוכיחו ש- <math>P'(z)={\sum}_{k=1}^{n} k\alpha_kz^{k-1}</math>.

	=====פתרון=====		=====פתרון=====

אריאל: /* משפטים */

2018-11-27T11:16:30Z

משפטים

@@ שורה 22: / שורה 22: @@
 ===משפטים===
 סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
 ==תנאי קושי-רימן==

אריאל: /* תרגיל */

2018-11-27T11:08:10Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:08, 27 בנובמבר 2018
שורה 15:		שורה 15:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה ~~באפס~~?		האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה?

	=====פתרון=====		=====פתרון=====