אנליזה מתקדמת למורים תרגול 8 - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* מקרה האקספוננט */

2019-01-08T07:44:15Z

מקרה האקספוננט

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:44, 8 בינואר 2019
שורה 46:		שורה 46:
	===מקרה האקספוננט===		===מקרה האקספוננט===

	אם <math>f(x)=ae^{bx}</math> אז ננחש פתרון פרטי מהצורה <math>y=\alpha 3^{bx}</math>, ונפתור מערכת משוואות. גם כאן, אם אין פתרון למערכת (אפשר להבין מראש, אם הפתרון הזה הוא כבר פתרון של ההומוגנית) אז מכפילים את הניחוש ב-<math>x</math>.		אם <math>f(x)=ae^{bx}</math> אז ננחש פתרון פרטי מהצורה <math>y=\alpha e^{bx}</math>, ונפתור מערכת משוואות. גם כאן, אם אין פתרון למערכת (אפשר להבין מראש, אם הפתרון הזה הוא כבר פתרון של ההומוגנית) אז מכפילים את הניחוש ב-<math>x</math>.

	====תרגיל====		====תרגיל====

אריאל: /* תרגילים */

2019-01-08T07:42:55Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:42, 8 בינואר 2019
שורה 19:		שורה 19:
	3. <math>y''-6y'+4y=0</math>		3. <math>y''-6y'+4y=0</math>

	4. <math>y''-6y'+9=0</math>		4. <math>y''-6y'+9y=0</math>

	====פתרון====		====פתרון====

אריאל: /* לא הומוגנית עם מקדמים קבועים */

2019-01-08T07:42:25Z

לא הומוגנית עם מקדמים קבועים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:42, 8 בינואר 2019
שורה 43:		שורה 43:

	2. <math>y''+2y'=3x^2</math>		2. <math>y''+2y'=3x^2</math>

			===מקרה האקספוננט===

			אם <math>f(x)=ae^{bx}</math> אז ננחש פתרון פרטי מהצורה <math>y=\alpha 3^{bx}</math>, ונפתור מערכת משוואות. גם כאן, אם אין פתרון למערכת (אפשר להבין מראש, אם הפתרון הזה הוא כבר פתרון של ההומוגנית) אז מכפילים את הניחוש ב-<math>x</math>.

			====תרגיל====
			פתרו את המד"ר הבאות:

			1. <math>y''-9y=5e^{2x}</math>

			2. <math>y''-9y=5e^{3x}</math>

אריאל: /* מקרה הפולינום */

2019-01-08T06:45:38Z

מקרה הפולינום

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:45, 8 בינואר 2019
שורה 35:		שורה 35:
	===מקרה הפולינום===		===מקרה הפולינום===

	אם <math>f(x)</math> פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי, ואז נפתור שלוש משוואות ~~בשלוש~~ נעלמים.		אם <math>f(x)</math> פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי (כי זה מה שתמר מצפה מכם בקורס), ואז נפתור שלוש משוואות בשלושה נעלמים. אם אין פתרון למערכת, מכפלים את הניחוש ב-<math>x</math>.

			====תרגיל====
			פתרו את המד"ר הבאות:

			1. <math>y''+2y'+2y=x^2+2x+2</math>

			2. <math>y''+2y'=3x^2</math>

אריאל: /* הומוגנית עם מקדמים קבועים */

2019-01-08T06:25:55Z

הומוגנית עם מקדמים קבועים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:25, 8 בינואר 2019
שורה 6:		שורה 6:
	1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>.		1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>.

	2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z=\alpha+\~~betai~~,\overline{z}=\alpha-\beta i</math>, ופתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)</math>.		2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z=\alpha+\beta i,\overline{z}=\alpha-\beta i</math>, ופתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)</math>.

	3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>.		3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>.

אריאל: /* הומוגנית עם מקדמים קבועים */

2019-01-08T06:25:29Z

הומוגנית עם מקדמים קבועים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:25, 8 בינואר 2019
שורה 2:		שורה 2:

	==הומוגנית עם מקדמים קבועים==		==הומוגנית עם מקדמים קבועים==
	המד"ר היא מהצורה <math>y''+ay'+by=0</math>, ויש לה משוואה אופיינית: <math>t^2+at+b=0</math>. פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:		המד"ר היא מהצורה <math>y''+by'+cy=0</math>, ויש לה משוואה אופיינית: <math>t^2+bt+c=0</math>. פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:

	1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>.		1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>.

	2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z=a+bi,\overline{z}=a-bi</math>, ופתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{ax}\cos(bx)+c_2e^{ax}\sin(bx)</math>.		2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z=\alpha+\betai,\overline{z}=\alpha-\beta i</math>, ופתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)</math>.

	3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>.		3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>.

אריאל: יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. ==הומוגנית עם מקדמים קבועים== המ..."

2019-01-07T15:22:17Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. ==הומוגנית עם מקדמים קבועים== המ..."

דף חדש

חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].

==הומוגנית עם מקדמים קבועים==
המד"ר היא מהצורה <math>y''+ay'+by=0</math>, ויש לה משוואה אופיינית: <math>t^2+at+b=0</math>. פותרים משוואה זו, ואז יש 3 אפשרויות:

1. '''דסקרמיננטה חיובית:''' במקרה זה יש שני פתרונות למשוואה האופיינית <math>t_1,t_2</math>, ופיתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{t_1x}+c_2e^{t_2x}</math>.

2. '''דסקרמיננטה שלילית:''' במקרה זה יש שני פתרונות מרוכבים למשוואה האופיינית <math>z=a+bi,\overline{z}=a-bi</math>, ופתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{ax}\cos(bx)+c_2e^{ax}\sin(bx)</math>.

3. '''דסקרמיננטה = <math>0</math>:''' במקרה זה יש פתרון אחד למשוואה האופיינית <math>t</math>, ופתרון המד"ר הוא <math>y=c_1e^{tx}+c_2xe^{tx}</math>.

===תרגילים===
נפתור את המד"ר הבאות:

1. <math>y''-3y'-4y=0</math>

2. <math>y''+2y'+4y=0</math>

3. <math>y''-6y'+4y=0</math>

4. <math>y''-6y'+9=0</math>

====פתרון====
1. המשוואה האופיינית היא <math>t^2-3t-4=0</math> שזה בעצם <math>(t-4)(t+1)=0</math>, ונקבל <math>t_1=4,t_2=-1</math> ולכן פתרון המד"ר הוא: <math>y=c_1e^{4x}+c_2e^{-x}</math>.

2. המשוואה האופיינית היא <math>t^2+2t+4=0</math>, נוסחת השורשים: <math>t_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 4}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}i}{2}=-1\pm \sqrt{3}i</math>. ונקבל שהפתרון הוא: <math>y=c_1e^{-x}\cos \sqrt{3}x+c_2e^{-x}\sin \sqrt{3}x</math>.

3. המשוואה האופיינית היא <math>t^2-6t+4=0</math>. נוסחת השורשים: <math>t_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{36-4\cdot 4}}{2}</math> וכו'.

4. המשוואה האופיינית היא <math>(t-3)^2=0</math>, ולכן הפתרון הוא: <math>y=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}</math>.

==לא הומוגנית עם מקדמים קבועים==
מד"ר מהצורה <math>y''+ay'+by=f(x)</math> פותרים בצורה הבאה: ראשית פותרים את המד"ר כהומוגנית. שנית, מנחשים פתרון פרטי כפי שנלמד במקרים מסויימים, ואז הסכום שלהם הוא פתרון כללי למד"ר. להלן המקרים המסויימים:

===מקרה הפולינום===

אם <math>f(x)</math> פולינום. ננחש שהפתרון הוא פולינום ריבועי, ואז נפתור שלוש משוואות בשלוש נעלמים.