לכסון אורתוגונלי - היסטוריית גרסאות

Tsur326: /* הוכחה */

2021-06-26T09:32:00Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:32, 26 ביוני 2021
שורה 21:		שורה 21:


	בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <math><Au,w>=<u,Aw></math> כי A ~~צל"ע~~ (מעל הממשיים ~~צל"ע~~=סימטרי).		בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <math><Au,w>=<u,Aw></math> כי A צמודה לעצמה (מעל הממשיים צמודה לעצמה=סימטרי).

	לכן, <math>a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w></math> ולכן <math>a<u,w>=b<u,w></math> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר <math>a \neq b</math> ולכן בהכרח <math><u,w>=0</math> כלומר הם מאונכים.		לכן, <math>a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w></math> ולכן <math>a<u,w>=b<u,w></math> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר <math>a \neq b</math> ולכן בהכרח <math><u,w>=0</math> כלומר הם מאונכים.

Noamlifshitz: /* לכסון אורתוגונלי */

2012-01-14T18:29:21Z

לכסון אורתוגונלי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:29, 14 בינואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	=לכסון אורתוגונלי=		=לכסון אורתוגונלי (מעל <math>\mathbb R</math>)=
	==אלגוריתם==		==אלגוריתם==
	* מצא את הע"ע של המטריצה A		* מצא את הע"ע של המטריצה A

Noamlifshitz: /* אלגוריתם */

2012-01-14T18:27:41Z

אלגוריתם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:27, 14 בינואר 2012
שורה 6:		שורה 6:
	** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי		** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
	* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.		* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
	<math>P^AP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית		*<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית

	==הוכחה לאלגוריתם==		==הוכחה לאלגוריתם==

Noamlifshitz: /* אלגוריתם */

2012-01-14T18:22:58Z

אלגוריתם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:22, 14 בינואר 2012
שורה 6:		שורה 6:
	** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי		** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
	* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.		* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
	*<math>P^~~tAP~~=D</math> הינה מטריצה אלכסונית		<math>P^AP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית

	==הוכחה לאלגוריתם==		==הוכחה לאלגוריתם==

ארז שיינר: שוחזר מעריכות של 146.243.4.157 (שיחה) לעריכה האחרונה של ארז שיינר

2011-11-03T14:49:47Z

שוחזר מעריכות של 146.243.4.157 (שיחה) לעריכה האחרונה של ארז שיינר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:49, 3 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=לכסון אורתוגונלי=		=לכסון אורתוגונלי=
	~~7n3UNe <a href~~="~~http://evwvwvpxikqa~~.~~com/"~~>~~evwvwvpxikqa~~</a>		==אלגוריתם==
			* מצא את הע"ע של המטריצה A
			* מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
			** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
			** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
			* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
			*<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית

	==הוכחה לאלגוריתם==		==הוכחה לאלגוריתם==

146.243.4.157: /* ×××××¨××ª× */

2011-09-03T07:35:14Z

×××××¨××ª×

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:35, 3 בספטמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=לכסון אורתוגונלי=		=לכסון אורתוגונלי=
	=~~=אלגוריתם==~~		7n3UNe <a href="http://evwvwvpxikqa.com/">evwvwvpxikqa</a>
	* מצא את הע"~~ע של המטריצה A~~
	* מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
	** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
	** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
	* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
	*<math>~~P^tAP=D~~</~~math~~> ~~הינה מטריצה אלכסונית~~

	==הוכחה לאלגוריתם==		==הוכחה לאלגוריתם==

ארז שיינר: שוחזר מעריכות של 31.196.71.74 (שיחה) לעריכה האחרונה של ארז שיינר

2011-09-02T17:49:30Z

שוחזר מעריכות של 31.196.71.74 (שיחה) לעריכה האחרונה של ארז שיינר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:49, 2 בספטמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=לכסון אורתוגונלי=		=לכסון אורתוגונלי=
	~~Keep it coming~~, ~~witerrs, this is good stuff~~.		==אלגוריתם==
			* מצא את הע"ע של המטריצה A
			* מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
			** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
			** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
			* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
			*<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית

	==הוכחה לאלגוריתם==		==הוכחה לאלגוריתם==

31.196.71.74: /* ×××××¨××ª× */

2011-09-02T17:33:55Z

×××××¨××ª×

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:33, 2 בספטמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=לכסון אורתוגונלי=		=לכסון אורתוגונלי=
	~~==אלגוריתם==~~		Keep it coming, witerrs, this is good stuff.
	* מצא את הע"ע של המטריצה A
	* מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
	** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
	** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
	* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, ~~היא בהכרח תהיה אורתוגונלית~~.
	*<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית

	==הוכחה לאלגוריתם==		==הוכחה לאלגוריתם==

ארז שיינר: /* הוכחה */

2010-10-13T19:06:56Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:06, 13 באוקטובר 2010
שורה 29:		שורה 29:
	* לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה		* לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
	* לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ		* לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
	* מכיוון שA ~~סימטריתידוע~~ שהיא לכסינה		* מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה
	* לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע		* לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
	* לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב		* לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב

ארז שיינר: דף חדש: =לכסון אורתוגונלי= ==אלגוריתם== * מצא את הע"ע של המטריצה A * מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של ה…

2010-01-20T18:16:20Z

דף חדש: =לכסון אורתוגונלי= ==אלגוריתם== * מצא את הע"ע של המטריצה A * מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של ה…

דף חדש

=לכסון אורתוגונלי=
==אלגוריתם==
* מצא את הע"ע של המטריצה A
* מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
* שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
*<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית

==הוכחה לאלגוריתם==
* ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי <math>P^{-1}AP=D</math> אלכסונית
* ידוע שאם P אורתוגונלית אזי <math>P^t=P^{-1}</math>
* נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי <math>D=P^{-1}AP=P^tAP</math> אלכסונית.

===טענה===
A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית

===הוכחה===
בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן <math>A=PDP^t</math> ולכן <math>A^t=PD^tP^t=PDP^t=A</math> (כי D אלכסונית).

בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <math><Au,w>=<u,Aw></math> כי A צל"ע (מעל הממשיים צל"ע=סימטרי).

לכן, <math>a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w></math> ולכן <math>a<u,w>=b<u,w></math> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר <math>a \neq b</math> ולכן בהכרח <math><u,w>=0</math> כלומר הם מאונכים.

* לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
* לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
* מכיוון שA סימטריתידוע שהיא לכסינה
* לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
* לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
* לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
* אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
* בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.

לכסון אורתוגונלי - היסטוריית גרסאות

Tsur326: /* הוכחה */

Noamlifshitz: /* לכסון אורתוגונלי */

Noamlifshitz: /* אלגוריתם */

Noamlifshitz: /* אלגוריתם */

ארז שיינר: שוחזר מעריכות של 146.243.4.157 (שיחה) לעריכה האחרונה של ארז שיינר

146.243.4.157: /* ×××××¨××ª× */

ארז שיינר: שוחזר מעריכות של 31.196.71.74 (שיחה) לעריכה האחרונה של ארז שיינר

31.196.71.74: /* ×××××¨××ª× */

ארז שיינר: /* הוכחה */

ארז שיינר: דף חדש: =לכסון אורתוגונלי= ==אלגוריתם== * מצא את הע"ע של המטריצה A * מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של ה…

146.243.4.157: /* ×××××¨××ª× */

31.196.71.74: /* ×××××¨××ª× */