מטריצה אוניטרית - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* 1 */

2012-12-25T12:27:06Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:27, 25 בדצמבר 2012
שורה 16:		שורה 16:

	הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.		הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.


			'''הוכחה'''

			ראשית, C אורתונורמלי אם"ם <math>G_C=I</math>.

			כעת, לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם מתקיים

			::<math>G_C=\Big([I]^B_C\Big)^tG_B\overline{[I]^B_C}</math>

			אבל B אורתונורמלי ולכן <math>G_B=I</math>

			וסה"כ קיבלנו <math>(G_C)^t=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C</math>

			והרי <math>[I]^B_C</math> אורתונורמלית אם"ם <math>I=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C=(G_C)^t</math>

			אם"ם <math>G_C=I</math> אם"ם C אורתונורמלי

	===2===		===2===

2012-12-24T12:57:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:57, 24 בדצמבר 2012
שורה 18:		שורה 18:

	===2===		===2===
			תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.


			'''פתרון:'''
			יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור <math>v\neq 0</math> כך ש <math>Av=zv</math>.

			לכן

			::<math>z\overline{z}<v,v>=<zv,zv>=<Av,Av>=(Av)^t\overline{Av}=v^tA^t\overline{Av}=v^t\overline{\overline{A^t}A}\overline{v}=v^t\overline{A^*A}\overline{v}</math>

			כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים <math>A^*A=I</math> ולכן ביחד אנו מקבלים:

			::<math>z\overline{z}<v,v>=v^t\overline{v}=<v,v></math>

			כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב<math><v,v></math> על מנת לקבל

			::<math>\|z\|^2=z\overline{z}=1</math>

2012-12-24T12:49:39Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:49, 24 בדצמבר 2012
שורה 13:		שורה 13:

	===1===		===1===
			יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים, יהי B בסיס אורתונורמלי ל V ויהי C בסיס נוסף ל-V.

			הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.

			===2===