מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/1 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* חוקי חזקות */

2017-08-08T10:45:09Z

חוקי חזקות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:45, 8 באוגוסט 2017
שורה 84:		שורה 84:


	*לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>x^a\cdot x^b = x^{a~~+b}~~</math>		*לכל x כך ששני הצדדים מוגדרים מתקיים <math>x^a\cdot x^b = x^{a+b}</math>


			*לכל <math>x,y>0</math> מתקיים <math>x^a\cdot y^a=(xy)^a</math>

2017-08-08T10:42:40Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:42, 8 באוגוסט 2017
שורה 81:		שורה 81:


	*לכל <math>x~~\neq~~ 0</math> מתקיים <math>0^x=0</math>		*לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>0^x=0</math>


	*<math>x^a\cdot x^b = x^{a+b}</math>		*לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>x^a\cdot x^b = x^{a+b}</math>


	*<math>\big(x^a\big)^b = x^{ab}</math>		*לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>\big(x^a\big)^b = x^{ab}</math>

2015-06-29T10:18:17Z

חוקי לוגריתמים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:18, 29 ביוני 2015
שורה 200:		שורה 200:
	==חוקי לוגריתמים==		==חוקי לוגריתמים==
	*<math>\log_a(x)</math> מוגדר רק עבור <math>1\neq a>0</math> (כי הגדרנו חזקות כאשר הבסיס חיובי ואם a=1 אז a בחזקת <math>\log_a b</math> הוא מצד אחד b לפי הגדרת הלוגריתם ומצד שני 1 כי 1 בחזקת כל דבר זה 1) וכמו כן מוגדר רק עבור <math>x>0</math> (כיוון שחזקה תמיד נותנת תוצאה חיובית).		*<math>\log_a(x)</math> מוגדר רק עבור <math>1\neq a>0</math> (כי הגדרנו חזקות כאשר הבסיס חיובי ואם a=1 אז a בחזקת <math>\log_a b</math> הוא מצד אחד b לפי הגדרת הלוגריתם ומצד שני 1 כי 1 בחזקת כל דבר זה 1) וכמו כן מוגדר רק עבור <math>x>0</math> (כיוון שחזקה תמיד נותנת תוצאה חיובית).


			*<math>a^{\log_a(x)}=x</math>

2014-08-10T13:38:04Z

חוקי לוגריתמים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:38, 10 באוגוסט 2014
שורה 199:		שורה 199:

	==חוקי לוגריתמים==		==חוקי לוגריתמים==
	*<math>\log_a(x)</math> מוגדר רק עבור <math>a>0</math> (כי הגדרנו חזקות כאשר הבסיס חיובי) וכמו כן מוגדר רק עבור <math>x>0</math> (כיוון שחזקה תמיד נותנת תוצאה חיובית).		*<math>\log_a(x)</math> מוגדר רק עבור <math>1\neq a>0</math> (כי הגדרנו חזקות כאשר הבסיס חיובי ואם a=1 אז a בחזקת <math>\log_a b</math> הוא מצד אחד b לפי הגדרת הלוגריתם ומצד שני 1 כי 1 בחזקת כל דבר זה 1) וכמו כן מוגדר רק עבור <math>x>0</math> (כיוון שחזקה תמיד נותנת תוצאה חיובית).

2014-08-10T11:55:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:55, 10 באוגוסט 2014
שורה 13:		שורה 13:
	באופן דומה, אנו רוצים לכפול במספר הופכי (חצי, שליש, וכדומה) על מנת לבצע פעולת חילוק. אנו מגדירים את המספרים ה'''ראציונאליים''' בתור כל השברים של שני מספרים שלמים ומסמנים:		באופן דומה, אנו רוצים לכפול במספר הופכי (חצי, שליש, וכדומה) על מנת לבצע פעולת חילוק. אנו מגדירים את המספרים ה'''ראציונאליים''' בתור כל השברים של שני מספרים שלמים ומסמנים:

	::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}\|p,q\in \mathbb{Z}\}</math> (שימו לב לסימון <math>\in</math> האומר '''שייך לקבוצה'''. כמובן שבכיתה ובהמשך נבהיר את הרישום המתמטי)		::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}\|p\in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\}</math> (שימו לב לסימון <math>\in</math> האומר '''שייך לקבוצה'''. כמובן שבכיתה ובהמשך נבהיר את הרישום המתמטי)

2013-07-25T07:02:40Z

תרגילים

@@ שורה 127: / שורה 127: @@
 לכן נותר לנו לפתור את שתי המשוואות <math>2^x=2</math>, <math>2^x=\frac{1}{2}</math>
-ולכן '''הפתרונות הסופיים''' הם <math>x=1,-1</math>
+ולכן '''הפתרונות הסופיים''' הם <math>x=\pm 1</math>
@@ שורה 148: / שורה 148: @@
 נציב <math>t=\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>t^2-4x+1=0</math> עם הפתרונות <math>t_{1,2}=2\pm \sqrt{3}</math>.
 ==לוגריתמים==

2013-07-25T06:58:04Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:58, 25 ביולי 2013
שורה 128:		שורה 128:

	ולכן '''הפתרונות הסופיים''' הם <math>x=1,-1</math>		ולכן '''הפתרונות הסופיים''' הם <math>x=1,-1</math>





	'''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x + \Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\Big)^x=4</math>		'''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x + \Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\Big)^x=4</math>


			'''פתרון''' נכפול את שני אגפי המשוואה בביטוי <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> ונקבל

			:<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} + \Big(\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\Big)^x=4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math>


			שימו לב, לפי הנוסחא <math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2</math> לכפל מקוצר, מתקיים כי <math>(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1</math> והרי <math>\sqrt{1}^x=1</math>. לכן קיבלנו


			:<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} -4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x+ 1=0</math>


			נציב <math>t=\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>t^2-4x+1=0</math> עם הפתרונות <math>t_{1,2}=2\pm \sqrt{3}</math>.

	==לוגריתמים==		==לוגריתמים==

2013-07-25T06:53:23Z

תרגילים

@@ שורה 98: / שורה 98: @@
 '''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>2\Big(\frac{4^x+1}{2^x}\Big)^2 -7\Big(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\Big)+5=0</math>
 '''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x + \Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\Big)^x=4</math>
 ==לוגריתמים==

2012-08-14T21:34:32Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:34, 14 באוגוסט 2012
שורה 162:		שורה 162:


	'''תרגיל''' הוכח <math>\ln (2)\cdot\ln (40)+\ln (5)\cdot\ln (4) = \ln (8)</math>		'''תרגיל''' הוכח <math>\log_{10} (2)\cdot\log_{10} (40)+\log_{10} (5)\cdot\log_{10} (4) = \log_{10} (8)</math>

2012-08-13T06:07:46Z

חוקי חזקות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:07, 13 באוגוסט 2012
שורה 78:		שורה 78:


	*לכל <math>x</math> מתקיים <math>x^0=1</math> ובפרט <math>0^0=0</math>		*לכל <math>x</math> מתקיים <math>x^0=1</math> ובפרט <math>0^0=1</math>