מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* פתרון */

2014-09-03T11:44:39Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:44, 3 בספטמבר 2014
שורה 169:		שורה 169:
	:<math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>.		:<math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>.

	קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left\|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right\|=\left\|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right\|=9</math>.		קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x)
	* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left\|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right\|+2\left\|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right\|=9</math>
			ולכן השטח הוא <math>\left\|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right\|=\left\|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right\|=9</math>.

			* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת.

			לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left\|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right\|+2\left\|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right\|=9</math>

	===דוגמה 2===		===דוגמה 2===

ארז שיינר: /* פתרון */

2014-09-03T11:43:13Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:43, 3 בספטמבר 2014
שורה 161:		שורה 161:
	===פתרון===		===פתרון===
	נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.		נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
	* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left\|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right\|=\left\|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right\|=9</math>.		* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין

			:<math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math>

			וכן

			:<math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>.

			קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left\|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right\|=\left\|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right\|=9</math>.
	* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left\|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right\|+2\left\|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right\|=9</math>		* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left\|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right\|+2\left\|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right\|=9</math>

ארז שיינר: /* אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים) */

2012-08-22T11:11:45Z

אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:11, 22 באוגוסט 2012
שורה 129:		שורה 129:

	*<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math>		*<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math>





			*<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx</math>

			נבצע החלפת משתנים

			::<math>t=ln(x)</math>

			נגזור את שני הצדדים לקבל

			::<math>dt=\frac{1}{x}dx</math>

			וביחד

			::<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx=\int\frac{1}{t}dt = ln(t)+C = ln(ln(x)) + C</math>






			*<math>\int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx= -ln(cos(x)) + C </math>

	==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==		==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==

ארז שיינר: /* אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים) */

2012-08-22T10:54:40Z

אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:54, 22 באוגוסט 2012
שורה 123:		שורה 123:
	::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>		::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>






			*<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math>

	==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==		==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==

ארז שיינר: /* דוגמה 2 */

2012-08-22T10:36:48Z

דוגמה 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:36, 22 באוגוסט 2012
שורה 133:		שורה 133:
	* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left\|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right\|+2\left\|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right\|=9</math>		* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left\|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right\|+2\left\|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right\|=9</math>

	==דוגמה 2==		===דוגמה 2===
	חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.		חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
	===פתרון===		===פתרון===

ארז שיינר: /* דוגמה 1 */

2012-08-22T10:36:38Z

דוגמה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:36, 22 באוגוסט 2012
שורה 126:		שורה 126:
	==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==		==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==

	==דוגמה 1==		===דוגמה 1===
	חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.		חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
	===פתרון===		===פתרון===

ארז שיינר ב־10:36, 22 באוגוסט 2012

2012-08-22T10:36:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:36, 22 באוגוסט 2012
שורה 122:		שורה 122:

	::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>		::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>


			==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==

			==דוגמה 1==
			חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
			===פתרון===
			נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
			* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left\|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right\|=\left\|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right\|=9</math>.
			* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left\|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right\|+2\left\|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right\|=9</math>

			==דוגמה 2==
			חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
			===פתרון===
			נקודות חיתוך:
			* <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0</math>
			* <math>y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)</math>
			* ברור כי ל-<math>y=e^x,\ y=0</math> אין נקודת חיתוך.
			לכן השטח הוא <math>\left\|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right\|+\left\|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right\|=2-\ln(4)-\frac1e</math>.

ארז שיינר: /* אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים) */

2012-08-22T10:32:46Z

אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:32, 22 באוגוסט 2012
שורה 76:		שורה 76:

	::<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C</math>		::<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C</math>




שורה 99:		שורה 101:

	::<math>\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C</math>		::<math>\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C</math>





			*<math>\int\sqrt{1-x^2}dx</math>

			נבצע את החלפת המשתנים

			::<math>x=sin(t)</math>

			נגזור את שני הצדדים

			::<math>dx=cos(t)dt</math>

			ביחד

			::<math>\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sqrt{1-sin^2(t)}cos(t)dt=\int cos^2(t)dt = \int \frac{cos(2t)+1}{2}dt=\frac{1}{4}sin(2t)+\frac{1}{2}t + C = </math>


			::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>

ארז שיינר: /* אינטגרציה בחלקים */

2012-08-22T09:59:05Z

אינטגרציה בחלקים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:59, 22 באוגוסט 2012
שורה 55:		שורה 55:

	::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math>		::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math>


			===אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)===


			לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:


			*<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx</math>

			נבצע את החלפת המשתנים

			::<math>t=e^x</math>

			נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:

			::<math>dt = e^xdx</math>

			ולכן מתקיים

			::<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C</math>



			*<math>\int sin(\sqrt{x})dx</math>

			נבצע את החלפת המשתנים:

			::<math>t=\sqrt{x}</math>

			נגזור את שני הצדדים לקבל

			::<math>dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx</math>

			ולכן

			::<math>2tdt=dx</math>

			(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה <math>t^2=x</math>)


			ביחד

			::<math>\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C</math>

ארז שיינר: /* שיטות לחישוב אינטגרלים */

2012-08-22T08:27:19Z

שיטות לחישוב אינטגרלים

@@ שורה 37: / שורה 37: @@
-'''דוגמאות:'''
+'''תרגילים:'''
 *<math>\int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C</math>
@@ שורה 43: / שורה 43: @@
 *<math>\int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C</math>