מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/14 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר ב־19:38, 17 במרץ 2016

2016-03-17T19:38:33Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:38, 17 במרץ 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור\|חזרה למערכי התרגול]]		[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור\|חזרה למערכי התרגול]]

	~~בשיעור זה פתרנו את הבוחן של היום.~~		[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1\|מבוא לתורת הקבוצות]] מקורס בדידה

ארז שיינר: החלפת הדף בתוכן "חזרה למערכי התרגול בשיעור זה פתרנו את הבוחן של היום."

2012-09-03T06:57:49Z

החלפת הדף בתוכן "חזרה למערכי התרגול בשיעור זה פתרנו את הבוחן של היום."

הצגת שינויים

ארז שיינר: /* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */

2012-09-03T06:55:41Z

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:55, 3 בספטמבר 2012
שורה 119:		שורה 119:

	:<math>\forall x>0\exists y>0: y<x</math>		:<math>\forall x>0\exists y>0: y<x</math>


			'''דוגמא'''
			הצרן את הגדרת גבול הסדרה:

			לכל מרחק אפיסלון, קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי אפסילון.


			*הוכח כי גבול הסדרה <math>a_n=\frac{1}{n}</math> הוא אפס.

			*הוכח כי אין גבול לסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>

	===הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם===		===הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם===

ארז שיינר: /* הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם */

2012-08-30T09:10:24Z

הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:10, 30 באוגוסט 2012
שורה 123:		שורה 123:

	כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.		כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.

			את הטענות בכל כיוון ניתן להוכיח בכל דרך שנרצה (כולל אפילו הוכחת אם"ם, במידת הצורך).



שורה 152:		שורה 155:

	<math>\Leftarrow</math> '''בכיוון השני'''		<math>\Leftarrow</math> '''בכיוון השני'''


			נתון: <math>A\backslash (B\cup C) = A</math>


			צ"ל: <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>


			'''נניח בשלילה''' את השלילה של מה שצריך להוכיח.


			כלומר, נניח כי <math>A\cap B \neq \phi</math> '''או''' <math>A\cap C \neq \phi</math>


			לכן קיים <math>x\in A\cap B</math> או קיים <math>x\in A\cap C</math>.


			בשני המקרים נובע כי <math>x\in A</math> וגם <math>x\in B\cup C</math>


			ולכן <math>x\notin A\backslash (B\cup C)</math> וגם <math>x\in A</math>


			'''בסתירה''' לכך ש <math>A\backslash (B\cup C)=A</math>.

ארז שיינר: /* הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם */

2012-08-30T09:04:22Z

הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:04, 30 באוגוסט 2012
שורה 123:		שורה 123:

	כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.		כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.


			'''דוגמא''' תהינה קבוצות A,B,C. הוכח כי <math>A\backslash (B\cup C) = A</math> אם"ם <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>


			'''הוכחת אם"ם'''.


			<math>\Rightarrow</math> '''בכיוון ראשון''' נניח ונתון כי <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>.


			לכן <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) = \phi \cup \phi = \phi</math>.


			לכן, לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\notin B\cup C</math> ולכן <math>a\in A\backslash (B\cup C)</math>


			במשפט לעיל הוכחנו כי <math>A\subseteq A\backslash (B\cup C)</math>


			קל להראות את ההכלה בכיוון ההפוך <math> A\backslash (B\cup C) \subseteq A</math> וביחד קיבלנו את מה שצריך להוכיח:


			<math>A\backslash (B\cup C) = A</math> (לפי הכלה דו כיוונית)




			<math>\Leftarrow</math> '''בכיוון השני'''

ארז שיינר: /* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */

2012-08-30T08:51:19Z

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:51, 30 באוגוסט 2012
שורה 111:		שורה 111:
	'''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.		'''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.




			'''דוגמא'''

			הוכח שלכל מספר ממשי חיובי x יש מספר ממשי חיובי קטן ממנו. בשפה לוגית יש להוכיח כי:

			:<math>\forall x>0\exists y>0: y<x</math>

	===הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם===		===הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם===

	כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.		כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.

ארז שיינר: /* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */

2012-08-30T08:46:25Z

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:46, 30 באוגוסט 2012
שורה 110:		שורה 110:

	'''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.		'''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.


			===הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם===

			כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.

ארז שיינר: /* הוכחה בשלילה */

2012-08-30T08:44:56Z

הוכחה בשלילה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:44, 30 באוגוסט 2012
שורה 42:		שורה 42:



			'''דוגמא'''. יהי מספר ממשי <math>x\geq 0</math> המקיים את הטענה- לכל מספר חיובי <math>\epsilon>0</math> מתקיים <math>x<\epsilon</math>. הוכח כי x=0

	===הכלה דו כיוונית===		===הכלה דו כיוונית===

ארז שיינר: /* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */

2012-08-30T08:43:15Z

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:43, 30 באוגוסט 2012
שורה 67:		שורה 67:

	===הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים===		===הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים===

			על מנת להוכיח טענת '''לכל''', אנו לוקחים איבר כללי ללא תנאים ומראים כי הטענה נכונה לגביו. הוכחות כאלו מתחילות במילה 'יהי'.

			על מנת להוכיח טענת '''קיים''', אנו מספקים דוגמא מסויימת, או מוכיחים שדוגמא כזו קיימת (מבלי לספק אותה במפורש).


			שימו לב שעל מנת להפריך טענת '''לכל''' יש לספק דוגמא נגדית, ועל מנת להפריך טענת '''קיים''' יש להוכיח שכל האיברים הכלליים אינם מקיימים את הטענה.



	'''דוגמא'''		'''דוגמא'''

ארז שיינר: /* הכלה דו כיוונית */

2012-08-30T08:40:52Z

הכלה דו כיוונית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:40, 30 באוגוסט 2012
שורה 64:		שורה 64:

	וביחד לפי הכלה דו-כיוונית <math>A=B</math>		וביחד לפי הכלה דו-כיוונית <math>A=B</math>


			===הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים===

			'''דוגמא'''

			הוכח כי לכל ממשי חיובי x קיים מספר טבעי n כך ש <math>\frac{1}{n} < x</math>


			'''הוכחת הכמת לכל''':

			'''יהי''' מספר טבעי חיובי '''כלשהו''' x.

			צריך למצוא מספר n כך ש <math>\frac{1}{n} < x</math>


			לכן, מספיק למצוא מספר n כך ש <math>\frac{1}{x} < n</math>


			כיוון שאין סוף למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.




			'''דוגמא'''

			תהי קבוצה B. הוכח כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש <math>A\cap B = B</math>


			'''הוכחת הכמת קיים''':

			על מנת להוכיח קיום, מספיק למצוא דוגמא אחת. למשל, אם ניקח A=B נקבל את מה שרצינו.


			'''הערה''': הוכחת קיום זו נקראת '''קונסטרוקטיבית''' כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.