מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/3 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה */

2022-08-11T10:05:29Z

הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:05, 11 באוגוסט 2022
שורה 15:		שורה 15:


	*<math>sin(t)</math> מוגדר להיות ערך ציר ה-<math>y</math> של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של <math>t</math> ~~סיבובים~~ כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה <math>(1,0)</math>)		*<math>sin(t)</math> מוגדר להיות ערך ציר ה-<math>y</math> של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של <math>t</math> כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה <math>(1,0)</math>)



	*<math>cos(t)</math> מוגדר להיות ערך ציר ה-<math>x</math> של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של <math>t</math> ~~סיבובים~~ כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה <math>(1,0)</math>)		*<math>cos(t)</math> מוגדר להיות ערך ציר ה-<math>x</math> של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של <math>t</math> כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה <math>(1,0)</math>)


שורה 28:		שורה 28:

	*<math>cot(t):= \frac{cos(t)}{sin(t)}=\frac{1}{tan(t)}</math>		*<math>cot(t):= \frac{cos(t)}{sin(t)}=\frac{1}{tan(t)}</math>






	==דגשים חשובים על ערכי הפונקציות הטריגונומטריות==		==דגשים חשובים על ערכי הפונקציות הטריגונומטריות==

ארז שיינר: /* מוטיבציה לחקר הפונקציות הטריגונומטריות */

2016-08-04T12:32:35Z

מוטיבציה לחקר הפונקציות הטריגונומטריות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:32, 4 באוגוסט 2016
שורה 2:		שורה 2:

	==מוטיבציה לחקר הפונקציות הטריגונומטריות==		==מוטיבציה לחקר הפונקציות הטריגונומטריות==
	כפי שנתאר למטה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות שצורתן נובע מהיחס בין צלעות משולשים ישרי זוית. על כן, השימוש הראשון בפונקציות הטריגונומטריות יהיה בעת חישובים גיאומטריים כמו חישוב תאוצה על חפץ במדרון (פיסיקה), חישוב נקודות מפגש של קווים (ארכיטקטורה, אמנות, הנדסה), תדרי קול (מוזיקה), תדרי גלים ~~אלקטרומדנטיים~~ (ראייה, צילום, תקשורת אלחוטית), ועוד.		כפי שנתאר למטה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות שצורתן נובע מהיחס בין צלעות משולשים ישרי זוית. על כן, השימוש הראשון בפונקציות הטריגונומטריות יהיה בעת חישובים גיאומטריים כמו חישוב תאוצה על חפץ במדרון (פיסיקה), חישוב נקודות מפגש של קווים (ארכיטקטורה, אמנות, הנדסה), תדרי קול (מוזיקה), תדרי גלים אלקטרומגנטיים (ראייה, צילום, תקשורת אלחוטית), ועוד.

	נוסף על כך, ישנם גם קשרים מיוחדים בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציות שימושיות אחרות במתמטיקה. למשל, כפי שנראה בהמשך, השטח מתחת לפונקציה <math>\frac{1}{1+x^2}</math> הוא סוג של פונקציה טריגונומטרית.		נוסף על כך, ישנם גם קשרים מיוחדים בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציות שימושיות אחרות במתמטיקה. למשל, כפי שנראה בהמשך, השטח מתחת לפונקציה <math>\frac{1}{1+x^2}</math> הוא סוג של פונקציה טריגונומטרית.

ארז שיינר: /* פונקציות טריגונומטריות הופכיות */

2012-08-08T06:04:24Z

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:04, 8 באוגוסט 2012
שורה 131:		שורה 131:

	ולכן <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\Big\|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>		ולכן <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\Big\|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>


	~~==פונקציות טריגונומטריות הופכיות==~~

	ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.


	~~::<math>arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>~~


	~~::<math>arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi]</math>~~


	~~::<math>arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>~~



	~~'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>~~

ארז שיינר: /* פונקציות טריגונומטריות הופכיות */

2012-08-06T07:59:11Z

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:59, 6 באוגוסט 2012
שורה 145:		שורה 145:

	::<math>arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>		::<math>arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>



			'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-08-06T07:56:36Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:56, 6 באוגוסט 2012
שורה 131:		שורה 131:

	ולכן <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\Big\|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>		ולכן <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\Big\|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>


			==פונקציות טריגונומטריות הופכיות==

			ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.


			::<math>arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>


			::<math>arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi]</math>


			::<math>arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-08-06T01:36:55Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:36, 6 באוגוסט 2012
שורה 97:		שורה 97:

	'''תרגיל''': הוכח את הזהויות הטריגונומטריות של זוית כפולה לעיל.		'''תרגיל''': הוכח את הזהויות הטריגונומטריות של זוית כפולה לעיל.



			'''תרגיל''': הוכח את הזהות הטריגונומטרית <math>2sin(\alpha)sin(\beta)=cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)</math>

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-08-06T01:36:05Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:36, 6 באוגוסט 2012
שורה 125:		שורה 125:


	ולכן <math>\|S_n\|=\|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>		ולכן <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\Big\|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-08-06T01:35:18Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:35, 6 באוגוסט 2012
שורה 95:		שורה 95:

	==תרגילים==		==תרגילים==

			'''תרגיל''': הוכח את הזהויות הטריגונומטריות של זוית כפולה לעיל.




	'''תרגיל''': הוכח כי לכל מספר שלם n מתקיים <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|sin(1)+sin(2)+...+sin(n)\Big\|\leq \frac{2}{sin(1)}</math>		'''תרגיל''': הוכח כי לכל מספר שלם n מתקיים <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|sin(1)+sin(2)+...+sin(n)\Big\|\leq \frac{2}{sin(1)}</math>

ארז שיינר: /* זהויות טריגונומטריות */

2012-08-06T01:32:43Z

זהויות טריגונומטריות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:32, 6 באוגוסט 2012
שורה 92:		שורה 92:

	*<math>cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)</math>		*<math>cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)</math>


			==תרגילים==

			'''תרגיל''': הוכח כי לכל מספר שלם n מתקיים <math>\Big\|S_n\Big\|=\Big\|sin(1)+sin(2)+...+sin(n)\Big\|\leq \frac{2}{sin(1)}</math>


			'''פתרון''':

			נכפול את בקבוע <math>2sin(1)</math> לקבל



			::<math>2sin(1)sin(1)+2sin(2)sin(1)+...+2sin(n)sin(1)</math>


			נפעיל את הזהות הטריגונומטרית <math>2sin(\alpha)sin(\beta)=cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)</math>


			::<math>cos(0)-cos(2)+cos(1)-cos(3)+cos(2)-cos(4)+...+cos(n-1)-cos(n+1)</math>


			נמחק את הביטויים שמצטמצמים ונקבל:


			::<math>cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)</math>


			ולכן <math>\|S_n\|=\|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>

ארז שיינר ב־01:24, 6 באוגוסט 2012

2012-08-06T01:24:59Z

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־01:24, 6 באוגוסט 2012
שורה 32:	שורה 32:




		==דגשים חשובים על ערכי הפונקציות הטריגונומטריות==
		כפי שקל לראות מהתבננות במעגל היחידה מתקימות התכונות הבאות:


		*<math>-1\leq sin(x),cos(x)\leq 1</math>


		*<math>sin(0)=0, sin (\pi/2) = 1, sin(\pi)=0, sin(3\pi/2)=-1</math>


		*<math>cos(0)=1, cos (\pi/2) = 0, cos(\pi)=-1, cos(3\pi/2)=0</math>


		*מחזור <math>2\pi</math>: לכל מספר שלם k מתקיים <math>sin(x+2\pi k) = sin(x), cos(x+2\pi k) = cos(x)</math>




		'''תרגיל''': חשב את <math>sin(\pi/4)</math>