מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/6 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* צורות גיאומטריות במישור */

2019-05-05T10:54:15Z

צורות גיאומטריות במישור

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:54, 5 במאי 2019
שורה 117:		שורה 117:

	==צורות גיאומטריות במישור==		==צורות גיאומטריות במישור==
	נתאר מספר צורות גיאומטריות ~~במישור באמצעות הגדרות אלגבריות~~:		נתאר מספר צורות גיאומטריות בסיסיות וחשובות:


	*'''ישר'' ~~הוא~~ אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By=D</math>		*'''ישר''
			**באופן אלגברי במישור: אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By=D</math>
			**באופן פרמטרי כללי: בהינתן נקודת התחלה ווקטור כיוון, אוסף הנקודות מהצורה <math>\vec{v_0}+t\vec{v}</math>


שורה 129:		שורה 131:
	במרחב:		במרחב:

	*'''מישור''' ~~הוא~~ אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By+Cz=D</math>		*'''מישור'''
			**באופן אלגברי במרחב: אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By+Cz=D</math>
			**באופן פרמטרי כללי: בהנתן נקודת התחחלה ושני וקטורי כיוון <math>\vec{v_0}+t\vec{v_1}+s\vec{v_2}</math>

Erez1: /* תרגילים */

2017-08-24T11:51:29Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:51, 24 באוגוסט 2017
שורה 77:		שורה 77:


	*הוכח את אי שיוויון המשולש לוקטורים ~~במרחב~~ <math>\|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|</math>		*הוכח את אי שיוויון המשולש לוקטורים במישור <math>\|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|</math>

ארז שיינר: /* וקטורים */

2014-08-13T10:12:03Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:12, 13 באוגוסט 2014
שורה 46:		שורה 46:
	כאשר <math>\gamma</math> היא הזוית בין הצלעות המתאימות לa,b		כאשר <math>\gamma</math> היא הזוית בין הצלעות המתאימות לa,b

	אורך הצלע השלישית במשולש הנוצר על ידי שני הוקטורים הנתונים היא <math>\|v-u\|</math>
			אורך הצלע השלישית במשולש הנוצר על ידי שני הוקטורים הנתונים u,v היא <math>\|v-u\|</math>

	ולכן בסימונים שלנו:		ולכן בסימונים שלנו:

ארז שיינר: /* וקטורים */

2014-08-13T10:08:17Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:08, 13 באוגוסט 2014
שורה 54:		שורה 54:


	:<math>cos\theta = \frac{v\cdot v + u\cdot u - (v-u)\cdot (v-u)}{2\|u\|\|v\|}~~</math>~~ = \frac{v\cdot u}{\|u\|\|v\|}</math>		:<math>cos\theta = \frac{v\cdot v + u\cdot u - (v-u)\cdot (v-u)}{2\|u\|\|v\|} = \frac{v\cdot u}{\|u\|\|v\|}</math>

ארז שיינר: /* וקטורים */

2014-08-13T10:07:48Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:07, 13 באוגוסט 2014
שורה 46:		שורה 46:
	כאשר <math>\gamma</math> היא הזוית בין הצלעות המתאימות לa,b		כאשר <math>\gamma</math> היא הזוית בין הצלעות המתאימות לa,b

			אורך הצלע השלישית במשולש הנוצר על ידי שני הוקטורים הנתונים היא <math>\|v-u\|</math>

			ולכן בסימונים שלנו:

	~~אורך הצלע השלישית במשולש הנוצר על ידי שני הוקטורים הנתונים היא <math>\|v-u\|</math> ולכן~~

	:<math>\|v-u\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2-2\|u\|\|v\|cos\theta</math>		:<math>\|v-u\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2-2\|u\|\|v\|cos\theta</math>


			:<math>cos\theta = \frac{v\cdot v + u\cdot u - (v-u)\cdot (v-u)}{2\|u\|\|v\|}</math> = \frac{v\cdot u}{\|u\|\|v\|}</math>



	*ה'''מכפלה הוקטורית''' בין שני וקטורים '''במרחב''' היא <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx)</math>		*ה'''מכפלה הוקטורית''' בין שני וקטורים '''במרחב''' היא <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx)</math>

ארז שיינר: /* וקטורים */

2014-08-13T10:04:38Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:04, 13 באוגוסט 2014
שורה 37:		שורה 37:
	::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{\|v\|\cdot \|u\|}</math>		::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{\|v\|\cdot \|u\|}</math>


			'''הוכחה''':

			נזכר במשפט הקוסינוסים במשולש בעל צלעות באורכים a,b,c:

			:<math>c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)</math>

			כאשר <math>\gamma</math> היא הזוית בין הצלעות המתאימות לa,b


			אורך הצלע השלישית במשולש הנוצר על ידי שני הוקטורים הנתונים היא <math>\|v-u\|</math> ולכן

			:<math>\|v-u\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2-2\|u\|\|v\|cos\theta</math>

	*ה'''מכפלה הוקטורית''' בין שני וקטורים '''במרחב''' היא <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx)</math>		*ה'''מכפלה הוקטורית''' בין שני וקטורים '''במרחב''' היא <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx)</math>

ארז שיינר: /* וקטורים */

2014-08-13T09:57:44Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:57, 13 באוגוסט 2014
שורה 25:		שורה 25:

	*ה'''מכפלה הסקלרית''' בין שני וקטורים היא <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz</math>.		*ה'''מכפלה הסקלרית''' בין שני וקטורים היא <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz</math>.


			*<math>\|u\|^2=u\cdot u</math>


שורה 30:		שורה 33:


	*'''הזוית''' בין שני הוקטורים ~~'''במישור'''~~ v,u מקיימת		*'''הזוית''' בין שני הוקטורים v,u מקיימת

	::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{\|v\|\cdot \|u\|}</math>		::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{\|v\|\cdot \|u\|}</math>

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-08-13T07:30:34Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:30, 13 באוגוסט 2012
שורה 114:		שורה 114:

	*מצא את משוואת המישור העובר בין שלושת הנקודות <math>(1,1,0),(0,0,0),(0,1,1)</math>		*מצא את משוואת המישור העובר בין שלושת הנקודות <math>(1,1,0),(0,0,0),(0,1,1)</math>


			*מצא את משוואת הישר המאונך לוקטור <math>(1,1)</math> (היוצא מראשית הצירים) ועובר בנקודה <math>(1,1)</math>


			*מצא את הכיוון המאונך למישור שמשוואתו <math>x+2y-3z=5</math>


			'''פתרון''':

			ישר המאונך למישור, לפי הגדרה, מאונך לכל קו ישר העובר במישור. כל כיוון של קו ישר העובר במישור מיוצר על ידי הפרש בין שתי נקודות במישור.

			ניקח שתי נקודות כלליות במישור המיוצג על ידי המשוואה <math>Ax+By+Cz=D</math> ונגלה כי


			::<math>(A,B,C)\cdot (u_1-u_2)=0</math>


			ולכן הכיוון המאונך למישור הנתון הוא <math>(1,2,-3)</math>

ארז שיינר: /* היטל */

2012-08-13T07:16:42Z

היטל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:16, 13 באוגוסט 2012
שורה 90:		שורה 90:

	::<math>(\frac{\|v\|}{\|u\|}cos\theta) u</math>		::<math>(\frac{\|v\|}{\|u\|}cos\theta) u</math>


			==צורות גיאומטריות במישור==
			נתאר מספר צורות גיאומטריות במישור באמצעות הגדרות אלגבריות:


			*'''ישר'' הוא אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By=D</math>


			*'''מעגל''' הוא אוסף נקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>



			במרחב:

			*'''מישור''' הוא אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By+Cz=D</math>


			===תרגילים===

			*מצא את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(2,2),(1,2)</math>


			*מצא את משוואת המישור העובר בין שלושת הנקודות <math>(1,1,0),(0,0,0),(0,1,1)</math>

ארז שיינר: /* וקטורים */

2012-08-13T07:05:55Z

וקטורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:05, 13 באוגוסט 2012
שורה 20:		שורה 20:
	זהו למעשה מרחק הנקודה במרחב מראשית הצירים.		זהו למעשה מרחק הנקודה במרחב מראשית הצירים.


			*'''המרחק''' בין שני וקטורים v,u הוא <math>\|v-u\|</math>