מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3 - היסטוריית גרסאות

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T23:44:46Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:44, 17 באוגוסט 2012
שורה 94:		שורה 94:

	['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>]		['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>]

			ניעזר ברמז: <math>0 \leq (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math> לכן לכל a,b ממשיים מתקיים: <math>2ab \leq a^2+b^2</math>.

			נפתח את הביטוי <math>\|u \cdot v\|^2</math>:

			<math>\|u \cdot v\|^2 = \|(u_1,u_2)(v_1,v_2)\|^2=\|(u_1v_1+u_2v_2)\|^2=u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2</math>

			נסמן <math>a=u_1v_2,b=u_2v_1</math> ולפי הרמז נקבל:

			<math>u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2 \leq u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2=(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=\|u\|^2\|v\|^2</math>

			סה"כ קיבלנו: <math>\|u \cdot v\|^2 \leq \|u\|^2\|v\|^2</math>. נוציא שורש משני האגפים ונקבל: <math>\|u \cdot v\| \leq \|u\| \cdot \|v\|</math>

			[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%99%D7%95%D7%9F_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%A8%D7%A5 אי שוויון קושי-שוורץ]

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T23:08:37Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:08, 17 באוגוסט 2012
שורה 77:		שורה 77:

	*מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש?		*מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש?

			נסמן את הוקטור ב<math>(x,y)</math>. לפי הנוסחה לזווית בין וקטורים:

			<math>cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}=\frac{(x,y)(1,4)}{1\cdot \|(1,4)\|}=\frac{x+4y}{\sqrt{17}}</math>

			נבודד את x: <math>x=-4y+\sqrt{17} /2</math>. ידוע שאורך הוקטור 1 לכן: <math>1=(-4y+\sqrt{17}/2)^2+y^2=17y^2-4\sqrt{17}y+17/4</math>

			יש שני פתרונות: <math>y=\frac{4\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{17}}</math>. נמצא את הערכים המתאימים של x:

			<math>(\frac{1+4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math>

			<math>(\frac{1-4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4+\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math>

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T22:52:09Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:52, 17 באוגוסט 2012
שורה 70:		שורה 70:

	*מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>		*מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>

			כל מישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> הוא מהצורה <math>x-y+5z=D</math>. נציב את הוקטור <math>(1,1,1)</math> ונקבל:

			<math>D=5</math>. לכן המישור הרצוי הוא <math>x-y+5z=5</math>.

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T22:48:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:48, 17 באוגוסט 2012
שורה 63:		שורה 63:

	*מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור <math>u</math>		*מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור <math>u</math>

			נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t \cdot u</math>. נחשב את האורך: <math>1=\|t \cdot u\| = t \cdot \|u\|</math>.

			לכן <math>t=\frac{1}{\|u\|}</math> לכן הוקטור הרצוי הוא <math>\frac{1}{\|u\|} \cdot u</math>

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T22:44:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:44, 17 באוגוסט 2012
שורה 49:		שורה 49:

	*מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math>		*מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math>

			נסמן ב<math>(x,y,z)</math>. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: <math>x+2y+3z=x+4y+5z=0</math>.

			נבחר <math>x=1</math> ונקבל <math>y=1,z=-1</math>. לכן התשובה היא <math>(1,1,-1)</math>


	*מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math>		*מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math>

			נסמן ב<math>t(1,2,2)</math>. נחשב את האורך:

			<math>1=\sqrt{(t)^2+(2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{9t^2}=3t</math>. לכן <math>t=\frac{1}{3}</math> לכן הוקטור הוא: <math>(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})</math>

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T22:33:20Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:33, 17 באוגוסט 2012
שורה 36:		שורה 36:
	*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>		*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>

	נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t(2,2)</math>. ~~השיפוע של הישר הוא~~ 1 ~~לכן השיפוע של הישר המאונך הוא~~ <math>-1</math>.		נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t(2,2)</math>. ההפרש בין וקטור זה לבין <math>(1,2)</math> צריך להיות מאונך ל<math>(2,2)</math> לכן נקבל:

	<math>\~~frac{~~2t-2~~}{2t~~-1} = -1</math>~~. נפתור ונקבל~~ <math>t=\frac{3}{4}</math>~~. נציב ונקבל:~~ <math>(\frac{3}{2},\frac{3}{2})</math>		<math>0 = (2,2) \cdot ((1,2)-t(2,2)) = (2,2) \cdot (1-2t,2-2t) = 2-4t+4-4t = 6-8t</math>

			נקבל <math>t=\frac{3}{4}</math> ואז הוקטור הוא <math>(\frac{3}{2},\frac{3}{2})</math>

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T22:23:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:23, 17 באוגוסט 2012
שורה 42:		שורה 42:

	*מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו <math>3x-1=y</math>		*מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו <math>3x-1=y</math>

			נסדר את המשוואה לצורה <math>3x-y=1</math>. לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא <math>(3,-1)</math>.

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T22:08:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:08, 17 באוגוסט 2012
שורה 35:		שורה 35:
	==2==		==2==
	*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>		*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>

			נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t(2,2)</math>. השיפוע של הישר הוא 1 לכן השיפוע של הישר המאונך הוא <math>-1</math>.

			<math>\frac{2t-2}{2t-1} = -1</math>. נפתור ונקבל <math>t=\frac{3}{4}</math>. נציב ונקבל: <math>(\frac{3}{2},\frac{3}{2})</math>

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-17T21:38:20Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:38, 17 באוגוסט 2012
שורה 34:		שורה 34:

	==2==		==2==
	~~פתרונות בהמשך~~

	*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>		*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>

Tomer Yogev ב־03:19, 15 באוגוסט 2012

2012-08-15T03:19:09Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־03:19, 15 באוגוסט 2012
שורה 31:		שורה 31:

	הפתרונות מתקבלים כאשר נציב <math>k=0...4</math>		הפתרונות מתקבלים כאשר נציב <math>k=0...4</math>


			==2==
			פתרונות בהמשך

			*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>


			*מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו <math>3x-1=y</math>


			*מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math>


			*מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math>


			*מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור <math>u</math>


			*מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>


			*מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש?


			*הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון <math>u\cdot v \leq \|u\|\|v\|</math> (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

			['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>]