מערך תרגול 6 - היסטוריית גרסאות

חיים רוזנר: /* פתרון */

2013-01-28T10:41:45Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:41, 28 בינואר 2013
שורה 18:		שורה 18:

	<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>.		<math>\Rightarrow</math>. נניח ש <math>G/Z(G)</math> ציקלית. אזי, קיים <math>a \in G</math> כך ש <math>Z/Z(G)=<aZ(G)> </math>.
	קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\~~cap_~~{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)</math>. יהיו <math>g,h\in G</math>. אזי קיימים <math>k,m</math> כך ש <math>g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)</math>. ~~כלמר~~, <math>g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)</math>.		קוסטים מהווים חלוקה של <math>G</math> לכן מתקיים <math>G=\cup_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G)</math>. יהיו <math>g,h\in G</math>. אזי קיימים <math>k,m</math> כך ש <math>g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G)</math>. כלומר, <math>g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G)</math>.

	אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>.		אזי מתקיים: <math>gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg</math>.

2012-12-17T21:15:48Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:15, 17 בדצמבר 2012
שורה 5:		שורה 5:
	=== הגדרה ===		=== הגדרה ===
	לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר.		לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר.
	דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.		דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G: gh=hg \}</math>.

	=== משפט ===		=== משפט ===

2012-12-17T21:14:42Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:14, 17 בדצמבר 2012
שורה 4:		שורה 4:

	=== הגדרה ===		=== הגדרה ===
	לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו		לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר.
	<math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.		דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.

	=== משפט ===		=== משפט ===

2012-12-17T21:14:00Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:14, 17 בדצמבר 2012
שורה 5:		שורה 5:
	=== הגדרה ===		=== הגדרה ===
	לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו		לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו
	<math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math:>.		<math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.

	=== משפט ===		=== משפט ===

2012-12-17T21:13:14Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:13, 17 בדצמבר 2012
שורה 4:		שורה 4:

	=== הגדרה ===		=== הגדרה ===
	לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math:>.		לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו
			<math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math:>.

	=== משפט ===		=== משפט ===

2012-12-17T21:09:32Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:09, 17 בדצמבר 2012
שורה 4:		שורה 4:

	=== הגדרה ===		=== הגדרה ===
	לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <:math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.		לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math:>.

	=== משפט ===		=== משפט ===

2012-12-17T21:08:51Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:08, 17 בדצמבר 2012
שורה 4:		שורה 4:

	=== הגדרה ===		=== הגדרה ===
	לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.		לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <:math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.

	=== משפט ===		=== משפט ===

2012-12-16T21:28:58Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:28, 16 בדצמבר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	== דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות ==		= דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות =
	~~= מרכז של חבורה =~~
	'''הגדרה:''' לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.

	~~'''משפט:''' <math>Z(G)</math> הוא תת-~~חבורה ~~נורמלית של <math>G</math>.~~		== מרכז של חבורה ==

	= תרגיל =		=== הגדרה ===
			לכל חבורה <math>G</math> מגדירים את המרכז שלה, <math>Z(G)</math> כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו <math>Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \}</math>.

			=== משפט ===
			<math>Z(G)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של <math>G</math>.

			== תרגיל ==
	הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית.		הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית.

	~~'''~~פתרון~~:'''~~		=== פתרון ===

	<math>\Leftarrow</math> ברור.		<math>\Leftarrow</math> ברור.

2012-12-16T21:20:15Z

2012-12-16T21:19:52Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:19, 16 בדצמבר 2012
שורה 8:		שורה 8:
	הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית.		הוכח G אבלית <math>G/Z(G) \Leftrightarrow</math> ציקלית.

	= פתרון =		'''פתרון:'''
	<math>\Leftarrow</math> ברור.		<math>\Leftarrow</math> ברור.