משתמש:אור שחף/133 - תרגול/26.6.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* פתרון */

2012-07-02T20:06:23Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:06, 2 ביולי 2012
שורה 22:		שורה 22:
	===פתרון===		===פתרון===
	# נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן <math>h(t)=f(t)g(t)</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}v(h,P)&=\sum_{k=1}^n \|h(x_k)-h(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&\le\sum_{k=1}^n \|g(x_k)\|\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|+\sum_{k=1}^n \|f(x_{k-1})\|\|g(x_k)-g(x_{k-1})\|\end{align}</math>}}f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן <math>\|f\|\le M_f\ \and\ \|g\|\le M_g</math> ולכן <math>v(h,P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty</math>. {{משל}}		# נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן <math>h(t)=f(t)g(t)</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}v(h,P)&=\sum_{k=1}^n \|h(x_k)-h(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&\le\sum_{k=1}^n \|g(x_k)\|\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|+\sum_{k=1}^n \|f(x_{k-1})\|\|g(x_k)-g(x_{k-1})\|\end{align}</math>}}f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן <math>\|f\|\le M_f\ \and\ \|g\|\le M_g</math> ולכן <math>v(h,P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty</math>. {{משל}}
	# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right\|\\&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right\|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&=\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}		# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right\|\\&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right\|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}

	==דוגמה 3==		==דוגמה 3==

אור שחף: /* פתרון */

2011-08-29T13:56:49Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:56, 29 באוגוסט 2011
שורה 21:		שורה 21:
	# נתון שבנוסף קיים <math>\varepsilon>0</math> כך ש-<math>f(x)\ge\varepsilon</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. הוכיחו <math>\frac1f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע.		# נתון שבנוסף קיים <math>\varepsilon>0</math> כך ש-<math>f(x)\ge\varepsilon</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. הוכיחו <math>\frac1f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע.
	===פתרון===		===פתרון===
	# נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן <math>h(t)=f(t)g(t)</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}v(h,P)&=\sum_{k=1}^n \|h(x_k)-h(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&\le\sum_{k=1}^n \|g(x_k)\|\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|+\sum_{k=1}^n \|f(x_{k-1})\|\|g(x_k)-g(x_{k-1})\|\end{align}</math>}}		# נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן <math>h(t)=f(t)g(t)</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}v(h,P)&=\sum_{k=1}^n \|h(x_k)-h(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&\le\sum_{k=1}^n \|g(x_k)\|\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|+\sum_{k=1}^n \|f(x_{k-1})\|\|g(x_k)-g(x_{k-1})\|\end{align}</math>}}f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן <math>\|f\|\le M_f\ \and\ \|g\|\le M_g</math> ולכן <math>v(h,P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty</math>. {{משל}}
	f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן <math>\|f\|\le M_f\ \and\ \|g\|\le M_g</math> ולכן <math>v(h,P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty</math>. {{משל}}
	# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right\|\\&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right\|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&=\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}		# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right\|\\&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right\|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&=\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}

אור שחף: /* השתנות חסומה */

2011-08-29T13:56:13Z

השתנות חסומה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:56, 29 באוגוסט 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=השתנות חסומה=		=השתנות חסומה=
	'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). נגדיר <math>v(f)=\sum_{i=1}^n \|f(x_i)-f(x_{i-1})\|</math>. נתבונן בקבוצת כל המספרים <math>v(P)</math> עבור כל החלוקות האפשריות P של הקטע. אם קבוצה זו חסומה נאמר של-f יש השתנות חסומה בקטע, והיא <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f)</math>.		'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). נגדיר <math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n \|f(x_i)-f(x_{i-1})\|</math>. נתבונן בקבוצת כל המספרים <math>v(f,P)</math> עבור כל החלוקות האפשריות P של הקטע. אם קבוצה זו חסומה נאמר של-f יש השתנות חסומה בקטע, והיא <math>\overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)</math>.

	'''משפט''': פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע סגור חסומה בקטע. ההיפך אינו נכון - תתכן פונקציה חסומה בעלת השתנות בלתי חסומה.		'''משפט''': פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע סגור חסומה בקטע. ההיפך אינו נכון - תתכן פונקציה חסומה בעלת השתנות בלתי חסומה.
שורה 7:		שורה 7:
	קבעו האם <math>f(x)=\begin{cases}x\cos\left(\frac\pi x\right)&0<x\le1\\0&x=0\end{cases}</math> בעלת השתנות חסומה.		קבעו האם <math>f(x)=\begin{cases}x\cos\left(\frac\pi x\right)&0<x\le1\\0&x=0\end{cases}</math> בעלת השתנות חסומה.
	===פתרון===		===פתרון===
	נשים לב כי f חסומה בקטע. נראה שבכל זאת היא בעל השתנות לא חסומה: נבחר את החלוקה <math>P=\left\{0,\frac1n,\frac1{n-1},\dots,\frac12,1\right\}=\{x_k\}_{k=0}^n</math> של הקטע <math>[0,1]</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(P)&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&=\left\|f(0)-f\left(\frac1n\right)\right\|+\sum_{k=2}^n\left\|f\left(\frac1{k-1}\right)-f\left(\frac1k\right)\right\|\\&=\left\|0-\frac1n\cos(\pi n)\right\|+\sum_{k=2}^n\left\|\frac1{k-1}\cos(\pi(k-1))-\frac1k\cos(\pi k)\right\|\\&=\frac1n+\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}+\frac1k\right)\\&>\sum_{k=2}^n\frac1k\\&\to\infty\end{align}</math>}}{{משל}}		נשים לב כי f חסומה בקטע. נראה שבכל זאת היא בעל השתנות לא חסומה: נבחר את החלוקה <math>P=\left\{0,\frac1n,\frac1{n-1},\dots,\frac12,1\right\}=\{x_k\}_{k=0}^n</math> של הקטע <math>[0,1]</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(f,P)&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&=\left\|f(0)-f\left(\frac1n\right)\right\|+\sum_{k=2}^n\left\|f\left(\frac1{k-1}\right)-f\left(\frac1k\right)\right\|\\&=\left\|0-\frac1n\cos(\pi n)\right\|+\sum_{k=2}^n\left\|\frac1{k-1}\cos(\pi(k-1))-\frac1k\cos(\pi k)\right\|\\&=\frac1n+\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}+\frac1k\right)\\&>\sum_{k=2}^n\frac1k\\&\to\infty\end{align}</math>}}{{משל}}


שורה 21:		שורה 21:
	# נתון שבנוסף קיים <math>\varepsilon>0</math> כך ש-<math>f(x)\ge\varepsilon</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. הוכיחו <math>\frac1f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע.		# נתון שבנוסף קיים <math>\varepsilon>0</math> כך ש-<math>f(x)\ge\varepsilon</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. הוכיחו <math>\frac1f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע.
	===פתרון===		===פתרון===
	# נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן <math>h(t)=f(t)g(t)</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}v(P)&=\sum_{k=1}^n \|h(x_k)-h(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&\le\sum_{k=1}^n \|g(x_k)\|\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|+\sum_{k=1}^n \|f(x_{k-1})\|\|g(x_k)-g(x_{k-1})\|\end{align}</math>}}		# נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן <math>h(t)=f(t)g(t)</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}v(h,P)&=\sum_{k=1}^n \|h(x_k)-h(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&=\sum_{k=1}^n\|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})\|\\&\le\sum_{k=1}^n \|g(x_k)\|\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|+\sum_{k=1}^n \|f(x_{k-1})\|\|g(x_k)-g(x_{k-1})\|\end{align}</math>}}
	f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן <math>\|f\|\le M_f\ \and\ \|g\|\le M_g</math> ולכן <math>v(P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty</math>. {{משל}}		f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן <math>\|f\|\le M_f\ \and\ \|g\|\le M_g</math> ולכן <math>v(h,P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty</math>. {{משל}}
	# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right\|\\&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right\|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&=\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}		# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right\|\\&=\sum_{k=1}^n\left\|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right\|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n\|f(x_k)-f(x_{k-1})\|\\&=\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב- $[a,b]$ ותהי $P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ חלוק..."

2011-07-13T18:57:21Z

יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוק..."

דף חדש

=השתנות חסומה=
'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). נגדיר <math>v(f)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. נתבונן בקבוצת כל המספרים <math>v(P)</math> עבור כל החלוקות האפשריות P של הקטע. אם קבוצה זו חסומה נאמר של-f יש השתנות חסומה בקטע, והיא <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f)</math>.

'''משפט''': פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע סגור חסומה בקטע. ההיפך אינו נכון - תתכן פונקציה חסומה בעלת השתנות בלתי חסומה.

==דוגמה 1==
קבעו האם <math>f(x)=\begin{cases}x\cos\left(\frac\pi x\right)&0<x\le1\\0&x=0\end{cases}</math> בעלת השתנות חסומה.
===פתרון===
נשים לב כי f חסומה בקטע. נראה שבכל זאת היא בעל השתנות לא חסומה: נבחר את החלוקה <math>P=\left\{0,\frac1n,\frac1{n-1},\dots,\frac12,1\right\}=\{x_k\}_{k=0}^n</math> של הקטע <math>[0,1]</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}v(P)&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&=\left|f(0)-f\left(\frac1n\right)\right|+\sum_{k=2}^n\left|f\left(\frac1{k-1}\right)-f\left(\frac1k\right)\right|\\&=\left|0-\frac1n\cos(\pi n)\right|+\sum_{k=2}^n\left|\frac1{k-1}\cos(\pi(k-1))-\frac1k\cos(\pi k)\right|\\&=\frac1n+\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}+\frac1k\right)\\&>\sum_{k=2}^n\frac1k\\&\to\infty\end{align}</math>}}{{משל}}

'''משפט:''' פונקציה מונוטונית בקטע סגור היא בעלת השתנות חסומה בו.

'''משפט:''' השתנות חסומה שומרת על חיבור וכפל בסקלר: <math>\overset b\underset aV (f+g)\le\overset b\underset aV f+\overset b\underset aV g\ \and\ \overset b\underset aV c\cdot f=|c|\overset b\underset aV f</math>.

==דוגמה 2==
תהינה f ו-g בעלות השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>.
# הוכיחו כי המכפלה <math>f\cdot g</math> בעלת השתנות חסומה.
# נתון שבנוסף קיים <math>\varepsilon>0</math> כך ש-<math>f(x)\ge\varepsilon</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. הוכיחו <math>\frac1f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע.
===פתרון===
# נניח ש-P חלוקה של הקטע ונסמן <math>h(t)=f(t)g(t)</math> אזי {{left|<math>\begin{align}v(P)&=\sum_{k=1}^n |h(x_k)-h(x_{k-1})|\\&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})|\\&=\sum_{k=1}^n|f(x_k)g(x_k)+f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_k)-f(x_{k-1})g(x_{k-1})|\\&\le\sum_{k=1}^n |g(x_k)||f(x_k)-f(x_{k-1})|+\sum_{k=1}^n |f(x_{k-1})||g(x_k)-g(x_{k-1})|\end{align}</math>}}
f,g בעלות השתנות חסומה ולכן חסומות. נסמן <math>|f|\le M_f\ \and\ |g|\le M_g</math> ולכן <math>v(P)\le M_g\cdot\overset b\underset aV f+M_f\cdot\overset b\underset aV g<\infty</math>. {{משל}}
# מתקיים <math>\forall x\in[a,b]:\ \frac1{f(x)}\le\frac1\varepsilon</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}v(1/f,P)&=\sum_{k=1}^n\left|\frac1{f(x_k)}-\frac1{f(x_{k-1})}\right|\\&=\sum_{k=1}^n\left|\frac{f(x_{k-1})-f(x_k)}{f(x_k)f(x_{k-1})}\right|\\&\le\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|\\&=\frac1{\varepsilon^2}\overset b\underset aV f\\&<\infty\end{align}</math>}}{{משל}}

==דוגמה 3==
הוכח או הפרך: אם f בעלת השתנות חסומה בכל קטע סגור המוכל בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע הסגור <math>[a,b]</math>.
===פתרון===
ניתן דוגמה נגדית: נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}\frac1{1-x}&x\ne1\\0&\text{else}\end{cases}</math>. ניתן לראות כי f עולה ממש בקטע הפתוח <math>(0,1)</math> ולכן בכל תת קטע סגור המוכל בקטע <math>(0,1)</math>. לפיכך f בעלת השתנות חסומה בכל תת קטע סגור של <math>(0,1)</math>, אבל היא אינה חסומה כאשר <math>x\to1^-</math> ולכן אינה בעלת השתנות חסומה ב-<math>[0,1]</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/26.6.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* פתרון */

אור שחף: /* פתרון */

אור שחף: /* השתנות חסומה */

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-[a,b] ותהי P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} חלוק..."

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב- $[a,b]$ ותהי $P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ חלוק..."