פולינום מינימלי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־14:24, 2 בספטמבר 2018

2018-09-02T14:24:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:24, 2 בספטמבר 2018
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
	==הגדרה==		==הגדרה==
	תהי A מטריצה ריבועית. אזי ~~הפולינום המינימלי של A, מסומן~~ <math>m_A(x)</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים		תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית. אזי <math>m_A(x)</math> הפולינום המינימלי של <math>A</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים
	::<math>m_A(A)=0</math>		:<math>m_A(A)=0</math>
			הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> , כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הנו 1.
	הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+~~...~~+a_1x+a_0</math>, כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר ~~הינו אחד~~.


	==תכונות==		==תכונות==
			*לכל פולינום <math>f</math> עבורו <math>f(A)=0</math> מתקיים <math>m_A(x)\|f(x)</math> . בפרט מ[[משפט קיילי-המילטון]] נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.
	*לכל פולינום f ~~כך ש~~ <math>f(A)=0</math> מתקיים <math>m_A(x)\|f(x)</math>. בפרט מ[[משפט קיילי-המילטון]] נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני		*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי־פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
			**מסקנה: על־מנת לחשב את הפולינום המינימלי, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי־פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה
	*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים ~~אי פריקים~~. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
	**מסקנה: ~~על מנת~~ לחשב את הפולינום המינימלי, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים ~~האי פריקים~~ של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה

	==תרגילים==		==תרגילים==

	===א===		===א===
	הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי		הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי


	'''הוכחה.'''		'''הוכחה.'''

	ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות <math>f(A),f(B)</math> דומות.		ראשית נשים לב לעובדה הבאה – יהי פולינום <math>f</math> ותהיינה מטריצות דומות <math>A,B</math> אזי גם המטריצות <math>f(A),f(B)</math> דומות.

	אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:		אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:

Jonathan952 ב־10:32, 10 ביולי 2018

2018-07-10T10:32:39Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:32, 10 ביולי 2018
שורה 12:		שורה 12:

	*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.		*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
	**מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום ~~האופייני~~, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה		**מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום המינימלי, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה

	==תרגילים==		==תרגילים==

ארז שיינר: /* ו */

2012-11-13T08:16:02Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:16, 13 בנובמבר 2012
שורה 130:		שורה 130:

	ביחד, הפולינומים המאפסים את מטריצת הבלוקים הם בדיוק הכפולות המשותפות של הפולינומים המינימליים, ואנו מחפשים את המינימלי מבין כל הכפולות המשותפות.		ביחד, הפולינומים המאפסים את מטריצת הבלוקים הם בדיוק הכפולות המשותפות של הפולינומים המינימליים, ואנו מחפשים את המינימלי מבין כל הכפולות המשותפות.


	~~===ו===~~

ארז שיינר: /* ה */

2012-11-13T08:14:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:14, 13 בנובמבר 2012
שורה 110:		שורה 110:

	===ה===		===ה===
			הוכח כי הפולינום המינימלי של מטריצת הבלוקים <math>A\oplus B = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}</math> הוא המכפלה המשותפת המינימלית של הפולינומים <math>lcm(m_A(x),m_B(x))</math>


			'''הוכחה.'''

			ראשית נשים לב כי לכל פולינום f מתקיים:

			::<math>f(A\oplus B)= f(A)\oplus f(B)</math> (זה תרגיל קל בכפל מטריצות בלוקים).


			לכן, אם <math>f(A\oplus B)=0</math> אזי <math>f(A)=0</math> וגם <math>f(B)=0</math>.


			לכן, <math>m_A(x)\|f(x)</math> וגם <math>m_B(x)\|f(x)</math>, כלומר f הוא כפולה משותפת של <math>m_A(x),m_B(x)</math>.


			בכיוון ההפוך, כל כפולה משותפת של הפולינומים המינימליים תאפס את מטריצת הבלוקים.


			ביחד, הפולינומים המאפסים את מטריצת הבלוקים הם בדיוק הכפולות המשותפות של הפולינומים המינימליים, ואנו מחפשים את המינימלי מבין כל הכפולות המשותפות.


			===ו===

ארז שיינר: /* ד */

2012-11-13T08:08:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:08, 13 בנובמבר 2012
שורה 92:		שורה 92:

	===ד===		===ד===
			מצא את הפולינום המינימלי של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}</math>

			'''פתרון.'''

			<math>p_A(x) = (x-1)^2(x-2)</math>

			לכן שתי האפשרויות היחידות לפולינום המינימלי הן:

			::<math>(x-1)(x-2)</math>

			::<math>(x-1)^2(x-2)</math>

			נציב את המטריצה באופציה הראשונה (מדרגה נמוכה יותר) לגלות שאכן פולינום זה מאפס את המטריצה ולכן

			::<math>m_A(x)=(x-1)(x-2)</math>


			===ה===

ארז שיינר: /* ג */

2012-11-13T08:00:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:00, 13 בנובמבר 2012
שורה 59:		שורה 59:

	===ג===		===ג===
			תהי A מטריצה אידמפוטנטית, כלומר <math>A^2=A</math>

			1. מהן האפשרויות לפולינום המינימלי של A ולע"ע של A?

			2. הוכח כי הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים לינאריים

			3. מהן האפשרויות עבור <math>tr(A)</math>?


			'''פתרון.'''

			1. השיוויון <math>A^2=A</math> שקול לכך שהפולינום <math>f(x)=x^2-x=x(x-1)</math> מאפס את המטריצה A.

			כיוון שהפולינום המינימלי מחלק כל פולינום המאפס את המטריצה, האפשרויות לפולינום המינימלי הן:

			:<math>f_2=x</math>

			:<math>f_1=x-1</math>

			:<math>f_3=x(x-1)</math>


			בהתאם הע"ע לכן יכולים להיות 0, 1 או שניהם יחד.


			2. כיוון שהגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי, ומכיוון שהפולינום המינימלי כאן מכיל רק גורמים לינאריים, הפולינום האופייני חייב להתפרק לגורמים לינאריים.


			3. כיוון שהפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים, המטריצה ניתנת לשילוש. כיוון שלמטריצות דומות אותו trace, נובע שהtrace של מטריצה ניתנת לשילוש הוא סכום הע"ע כולל חזרות (הרי הם מופיעים על האלכסון של הצורה המשולשית).

			ביחד, האפשרויות לtrace הן כל מספר טבעי בין 0 לבין n, כתלות בריבוי האלגברי של הע"ע 1. קל למצוא דוגמאות שכל ערך כזה אכן מתקבל.

			===ד===

ארז שיינר: /* ב */

2012-11-13T07:46:27Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:46, 13 בנובמבר 2012
שורה 38:		שורה 38:

	===ב===		===ב===
			תהי A ריבועית כך שהפולינום המינמלי שלה הינו

			:<math>m_A(x)=(x-1)^2</math>

			יהא <math>f(x)=x^2+4x+3</math>, הוכח כי המטריצה <math>f(A)</math> הפיכה.


			'''פתרון.'''

			<math>f(A)=A^2+4A+3I = (A-I)^2+6A+2I = 6A+2I</math>


			כעת, נוכיח כי <math>\|f(A)\|\neq 0</math> ולכן המטריצה הפיכה.


			נניח בשלילה כי <math>\|f(A)\|= 0</math> לכן <math>\|6A+2I\|=0</math> ולכן <math>\|A-\frac{-2}{6}I\|=0</math>


			אם כן, <math>\frac{-2}{6}</math> הוא ע"ע של המטריצה A, אבל הוא אינו שורש של הפולינום המינימלי הנתון, בסתירה.

			===ג===

ארז שיינר ב־07:37, 13 בנובמבר 2012

2012-11-13T07:37:34Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==הגדרה==
 תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן <math>m_A(x)</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים
@@ שורה 37: / שורה 38: @@
 ===ב===

ארז שיינר: /* תכונות */

2012-11-13T07:36:49Z

תכונות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:36, 13 בנובמבר 2012
שורה 11:		שורה 11:

	*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.		*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
			**מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום האופייני, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה

	==תרגילים==		==תרגילים==

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-11-13T07:35:27Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:35, 13 בנובמבר 2012
שורה 23:		שורה 23:

	אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:		אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:


			::<math>f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P</math>


שורה 33:		שורה 36:

	===ב===		===ב===
	~~::<math>f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P</math>~~



	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]