פתרון משוואה ממעלה 3 - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־17:20, 6 ביוני 2016

2016-06-06T17:20:52Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:20, 6 ביוני 2016
שורה 1:		שורה 1:
	הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת ~~לטרטליה~~ (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.		הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטארטאגליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

	הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.		הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

			==לפני שמתחילים==
			בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-\frac{a}{3}</math> .

	~~== לפני שמתחילים ==~~		המשוואה שתתקבל מההצבה תהיה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- <math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פתרון אם ורק אם <math>x=y_0-\frac{a}{3}</math> הוא פתרון של המשוואה ב- <math>x</math> .
	~~בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>.~~ המשוואה שתתקבל מההצבה ~~תהייה~~ מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא ~~פיתרון~~ אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא ~~פיתרון~~ של המשוואה ב-<math>x</math>.

	'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.'''		'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> .'''

	'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.		'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב- <math>0</math> .

	== שיטה ראשונה (~~טרטליה~~) ==		==שיטה ראשונה (טארטאגליה)==
			נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים
	נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p/3</math>.		:<math>u^3+v^3=-q</math>
			:<math>uv=-\frac{p}{3}</math> .

	'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.		'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.

	'''הוכחה:''' נציב ונבדוק:		'''הוכחה:''' נציב ונבדוק:
			<center><math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q</math></center>

	<math>~~y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q~~=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math>		<center><math>=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math></center>

	'''מש"ל.'''		'''מש"ל.'''

	כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>.		כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש- <math>u^3\cdot v^3=-\frac{p^3}{27}</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math> . נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math> .


	== שיטה ~~שנייה~~ (מאוחרת יותר) ==		==שיטה שניה (מאוחרת יותר)==
			נציב <math>y=\alpha\cos(\theta)</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt{-\frac{4p}{3}}</math> . אם נשתמש בזהות <math>\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)</math> נקבל:

	~~נציב~~ <math>y=\alpha\cos\theta~~</math> כאשר <math>~~\alpha=\~~sqrt~~{~~-4p/~~3~~}</math>. אם נשתמש בזהות <math>~~\cos 3\theta ~~= 4~~\cos^3\theta-3\cos\theta</math> ~~נקבל:~~		<center><math>y^3+py+q=0=\alpha^3\cos^3(\theta)+p\alpha\cos(\theta)+q=\frac{\alpha^3\bigl(\cos(3\theta)+3\cos(\theta)\bigr)}{4}-p\alpha\cos(\theta)</math></center>

	<math>~~0=y^3+py+q=\alpha^3\cos^3\theta+p\alpha\cos\theta+q~~=\~~frac~~{\alpha^3}{4}(\cos 3\theta + ~~3\cos\theta)-p~~\alpha\~~cos\theta=~~\~~frac~~{\alpha^3}{4}~~\cos 3\theta~~+\~~alpha(\frac{3}{4}\alpha^2+p~~)\cos\theta+q=\~~frac~~{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+q</math>		<center><math>=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+\alpha\left(\tfrac{3\alpha^2}{4}+p\right)\cos(\theta)+q=\tfrac{\alpha^3}{4}\cos(3\theta)+q</math></center>

	לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה ~~פיתרון~~.		לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש- <math>\cos(3\theta)=-\frac{4q}{\alpha^3}</math> כדי ש- <math>y=\alpha\cos(\theta)</math> יהיה פתרון.
	בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).		בדרך כלל נצטרך להשתמש ב- <math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).

Ufirst: /* שיטה שנייה (מאוחרת יותר) */

2011-11-22T16:49:25Z

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:49, 22 בנובמבר 2011
שורה 33:		שורה 33:

	לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.		לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.
	בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (~~שכנראה~~ יהיה מספר מרוכב).		בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (כי הוא כנראה יהיה מספר מרוכב).

Ufirst: /* שיטה שנייה (מאוחרת יותר) */

2011-11-22T16:49:02Z

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:49, 22 בנובמבר 2011
שורה 33:		שורה 33:

	לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.		לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.
			בדרך כלל נצטרך להשתמש ב-<math>\arccos</math> מרוכב כדי לחלץ את <math>3\theta</math> ואז נצטרך להפעיל <math>\cos</math> מרוכב על <math>\theta</math> (שכנראה יהיה מספר מרוכב).

Ufirst: /* שיטה שנייה (מאוחרת יותר) */

2011-11-22T16:46:16Z

שיטה שנייה (מאוחרת יותר)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:46, 22 בנובמבר 2011
שורה 28:		שורה 28:
	== שיטה שנייה (מאוחרת יותר) ==		== שיטה שנייה (מאוחרת יותר) ==

	~~בבב~~		נציב <math>y=\alpha\cos\theta</math> כאשר <math>\alpha=\sqrt{-4p/3}</math>. אם נשתמש בזהות <math>\cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta</math> נקבל:

			<math>0=y^3+py+q=\alpha^3\cos^3\theta+p\alpha\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}(\cos 3\theta + 3\cos\theta)-p\alpha\cos\theta=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+\alpha(\frac{3}{4}\alpha^2+p)\cos\theta+q=\frac{\alpha^3}{4}\cos 3\theta+q</math>

			לכן, מספיק למצוא <math>\theta</math> כך ש-<math>\cos 3\theta=-4q\alpha^{-3}</math> כדי ש-<math>y=\alpha\cos\theta</math> יהיה פיתרון.

Ufirst ב־16:36, 22 בנובמבר 2011

2011-11-22T16:36:06Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:36, 22 בנובמבר 2011
שורה 24:		שורה 24:

	כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>.		כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>.


			== שיטה שנייה (מאוחרת יותר) ==

			בבב

Ufirst: /* שיטה ראשונה (טרטליה) */

2011-11-22T16:35:31Z

שיטה ראשונה (טרטליה)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:35, 22 בנובמבר 2011
שורה 23:		שורה 23:
	'''מש"ל.'''		'''מש"ל.'''

	כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>.		כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>. נשתמש בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית כדי לקבל את הפתרונות <math>t_1,t_2</math> ואז נבחר <math>u=\sqrt[3]{t_1},v=\sqrt[3]{t_2}</math>.

Ufirst: /* שיטה ראשונה (טרטליה) */

2011-11-22T16:32:22Z

שיטה ראשונה (טרטליה)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:32, 22 בנובמבר 2011
שורה 21:		שורה 21:
	<math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math>		<math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math>

	מש"ל.		'''מש"ל.'''

			כדי למצוא <math>u,v</math> נשים לב ש-<math>u^3\cdot v^3=-p^3/27</math> ולכן <math>u^3,v^3</math> הם שורשים של המשוואה הריבועית <math>t^2+p^3/27-q=0</math>.

Ufirst: /* שיטה ראשונה (טרטליה) */

2011-11-22T16:27:52Z

שיטה ראשונה (טרטליה)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:27, 22 בנובמבר 2011
שורה 13:		שורה 13:
	== שיטה ראשונה (טרטליה) ==		== שיטה ראשונה (טרטליה) ==

	נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p</math>.		נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p/3</math>.

	'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.		'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.

			'''הוכחה:''' נציב ונבדוק:

			<math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math>

			מש"ל.

Ufirst ב־16:44, 15 בנובמבר 2011

2011-11-15T16:44:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:44, 15 בנובמבר 2011
שורה 7:		שורה 7:
	בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>.		בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>.

	לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.		'''לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.'''

			'''הערה:''' אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם <math>p=0</math> או <math>q=0</math>), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.

			== שיטה ראשונה (טרטליה) ==

			נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p</math>.

			'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה.

Ufirst: יצירת דף עם התוכן "הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המ..."

2011-11-15T16:37:07Z

יצירת דף עם התוכן "הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המ..."

דף חדש

הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.

הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.

== לפני שמתחילים ==
בהינתן משוואה <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> ניתן להציב <math>x=y-a/3</math>. המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה <math>y^3+py+q=0</math> עבור מספרים <math>p,q</math> כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב-<math>y</math> כי <math>y=y_0</math> הוא פיתרון אם ורק אם <math>x=y_0-a/3</math> הוא פיתרון של המשוואה ב-<math>x</math>.

לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה <math>y^3+py+q=0</math>.