קוד:אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:15:36Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־12:58, 2 בספטמבר 2014

2014-09-02T12:58:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:58, 2 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	ראינו במשפט פרמה שאם $f $ גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא $0$ אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא 0 הנק' היא נק' קיצון. לדוגמה עבור $f(x)=x^3 $ אז $f'(0)=0 $ אבל $x=0$ לא נק' קיצון. הכלל הבא עוזר לפתור הרבה בעיות מהסוג הזה:		ראינו במשפט פרמה שאם $f $ גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא $0$ אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא $0$ הנק' היא נק' קיצון. לדוגמה עבור $f(x)=x^3 $ אז $f'(0)=0 $ אבל $x=0$ לא נק' קיצון. הכלל הבא עוזר לפתור הרבה בעיות מהסוג הזה:

	\begin{thm}		\begin{thm}
שורה 6:		שורה 6:

	\begin{proof}		\begin{proof}
	מתקיים ש- $f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \varepsilon (x) \cdot (x-x_0)^n \text{where} \lim_{x\to x_0} \varepsilon(x) = 0 $ . לכן אם נעביר אגפים יתקיים		מתקיים ש-\\
			$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \varepsilon (x) \cdot (x-x_0)^n\ \text{where}\ \lim_{x\to x_0} \varepsilon(x) = 0 $ . לכן אם נעביר אגפים יתקיים

	$$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $$		$$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $$

	מהגדרת הפונקציה אפסילון נקבל שקיים $\delta $ כך ש- $\forall x : \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow \|\varepsilon(x)\|<\|\frac{f^{(n)}}{(2n)!}\| $ ולכן הסימן של $\left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $ זהה לסימן של $\frac{f^{(n)}}{n!} $.		מהגדרת הפונקציה אפסילון נקבל שקיים $\delta $ כך ש-\\
			$\forall x : \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow \|\varepsilon(x)\|<\|\frac{f^{(n)}}{(2n)!}\| $ ולכן הסימן של $\left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $ זהה לסימן של $\frac{f^{(n)}}{n!} $.

	כעת נחזור לכך ש-		כעת נחזור לכך ש-

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "ראינו במשפט פרמה שאם $f $ גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא $0$ אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא 0..."

2014-08-31T01:01:00Z

יצירת דף עם התוכן "ראינו במשפט פרמה שאם $f $ גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא $0$ אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא 0..."

דף חדש

ראינו במשפט פרמה שאם $f $ גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא $0$ אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא 0 הנק' היא נק' קיצון. לדוגמה עבור $f(x)=x^3 $ אז $f'(0)=0 $ אבל $x=0$ לא נק' קיצון. הכלל הבא עוזר לפתור הרבה בעיות מהסוג הזה:

\begin{thm}
נניח $f\in D^n (a,b) $ וב- $x_0\in (a,b) $ מתקיים ש- $f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots f^{(n-1)}(x_0)=0 $ אבל $f^{(n)}(x_0)\neq 0 $ . אזי אם $n$ אי זוגי אין נק' קיצון ב- $x_0 $, אם $n$ זוגי והנגזרת ה- $n$ית חיובית אז $x_0 $ מינימום ואם הנגזרת ה- $n$ית שלילית אז ב- $x_0 $ נק' מקסימום.
\end{thm}

\begin{proof}
מתקיים ש- $f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \varepsilon (x) \cdot (x-x_0)^n \text{where} \lim_{x\to x_0} \varepsilon(x) = 0 $ . לכן אם נעביר אגפים יתקיים

$$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $$

מהגדרת הפונקציה אפסילון נקבל שקיים $\delta $ כך ש- $\forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |\varepsilon(x)|<|\frac{f^{(n)}}{(2n)!}| $ ולכן הסימן של $\left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $ זהה לסימן של $\frac{f^{(n)}}{n!} $.

כעת נחזור לכך ש-

$$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $$

נניח $n$ אי זוגי אז נראה שעבור $x$ים מצדדים שונים של $x_0 $ הסימן של $f(x)-f(x_0) $ ישתנה בהתאם ומכאן שלא נק' קיצון.

נניח $n$ זוגי אז $f^{(n)} (x_0) >0 \Rightarrow \frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x)>0 \Rightarrow f(x)-f(x_0) \geq 0 $ ואז $x_0 $ נק' מינימום. עבור נגזרת $n$ית שלילית נקבל מקסימום באופן דומה.
\end{proof}