קוד:אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות) - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־23:02, 6 באוקטובר 2014

2014-10-06T23:02:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:02, 6 באוקטובר 2014
שורה 2:		שורה 2:
	\begin{thm}		\begin{thm}
	\begin{enumerate}		\begin{enumerate}
	\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )		\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )

	\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-0 אם הוא 0.		\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-$0$ אם הוא $0$.

	\item		\item
	$\lim_{n\to \infty }\|x_n\|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{1}{x_n}=0 $. גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:		$\lim_{n\to \infty }\|x_n\|=\infty \Rightarrow \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 $.\\
			גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:

	$3.1$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $		$3.1$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $

	$3.2$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $		$3.2$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $

	\end{enumerate}		\end{enumerate}
שורה 48:		שורה 49:
	\begin{enumerate}		\begin{enumerate}
	\item אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ )		\item אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ )

	~~\item אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty\cdot 0 $ )~~

	\item אם שתי הסדרות שואפות ל-0 אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\frac{0}{0} $ )
	~~\end{enumerate}~~

	\begin{example}		\begin{example}
			$$x_n=n, y_n=1-n \Rightarrow x_n+y_n=1\to 1$$
			$$x_n=n^2, y_n=2-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=2\to 2$$
			$$x_n=n^2 , y_n=-n \Rightarrow x_n+y_n=n^2-n=n(n-1)\to \infty$$
			$$x_n=n , y_n=-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=-n^2+n=-n(n-1)\to -\infty$$
			$$x_n=n , y_n=(-1)^n - n \Rightarrow x_n+y_n=(-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist} $$

	~~כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 1 אבל בכל זוג הגבול של הסכום שונה (ולפעמים לא קיים):~~		\end{example}

	$x_n=n, y_n~~=1-n~~$		\item אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$

	~~$x_n=n^2, y_n=2-n^2 $~~		\begin{example}

	$x_n=n^2 , y_n=-n $		$$x_n=n, y_n=\frac{1}{n} \Rightarrow x_n y_n=1\to 1$$
			$$x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = 2\to 2$$
	$ x_n=n , y_n=-n^2 $		$$x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n} \Rightarrow x_n y_n = -n\to -\infty$$
			$$x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = \frac{1}{n}\to 0$$
	$ x_n=n , y_n=(-1)^n - n $		$$x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} \Rightarrow x_n y_n = (-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist}$$

	\end{example}		\end{example}

	\~~begin{example}~~		\item אם שתי הסדרות שואפות ל-$0$ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$
	~~כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 2 אבל בכל זוג~~ הגבול של ~~המכפלה שונה (ולפעמים לא קיים):~~		\end{enumerate}

	$~~x_n=n, y_n=\frac{1}{n}\\ x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2}\\ x_n=n^2 , y_n=~~\frac{~~-1}{n}\\~~ x_n~~=n , y_n=\frac{1~~}{~~n^2}\\ x_n=n ,~~ y_n~~=\frac{(-1)^n}{n~~} $
	\end{~~example~~}

	\begin{example}		\begin{example}
שורה 80:		שורה 78:
	\end{example}		\end{example}

	\underline{תרגיל:} מהו $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?		\underline{תרגיל:} מהו $\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?

	\underline{פתרון:}		\underline{פתרון:} נשתמש בשיטה שנקראת "כפל בצמוד" והיא נקראת כך מהדמיון לרעיון של חילוק מספרים מרוכבים (לא חלק מהחומר של הקורס)
	$$ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$		$$ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$

ארז שיינר: 6 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:15:39Z

6 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־15:36, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T15:36:32Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:36, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים}		\subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים}
	\~~underline~~{~~משפט:~~}		\begin{thm}
			\begin{enumerate}
			\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )

	1. אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n+y_n=\pm \infty $ ~~(בהתאם לגבול~~ של $ ~~x_n~~ $ )		\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-0 אם הוא 0.

	~~2. אם $ x_n~~\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-0 אם הוא 0.		\item
			$\lim_{n\to \infty }\|x_n\|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{1}{x_n}=0 $. גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:
	3. $\lim_{n\to \infty }\|x_n\|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{1}{x_n}=0 $. גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:

	$3.1$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $		$3.1$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $
שורה 12:		שורה 13:
	$3.2$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $		$3.2$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~}		\end{enumerate}
			\end{thm}

	1. יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $.		\begin{proof}
			\begin{enumerate}
			\item יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש-
			$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $$
			ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש-
			$$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $$
			ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש-
			$$ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $$

	2. נוכיח עבור $a$ חיובי, עבור $a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון:		\item נוכיח עבור $a$ חיובי, עבור $a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון:

	יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $.		יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש-
			$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $$
			ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש-
			$$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $$
			ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש-
			$$ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $$

	3. יהי $ \epsilon>0 $. מהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon} $ אבל $\frac{1}{\epsilon}<\|x_n\|\Leftrightarrow \frac{1}{\|x_n\|}<\epsilon $ וקיבלנו את הדרוש כי $\forall_{n>n_0}:\|\frac{1}{x_n}\|<\epsilon $		\item יהי $ \epsilon>0 $. מהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש-
			$$ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon} $$
			אבל
			$$\frac{1}{\epsilon}<\|x_n\|\Leftrightarrow \frac{1}{\|x_n\|}<\epsilon $$ וקיבלנו את הדרוש כי
			$$\forall_{n>n_0}:\|\frac{1}{x_n}\|<\epsilon $$

	$3.1$. נוכיח את $3.1$ ו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} $ ומכאן ש- $\forall_{n>n_0} x_n>M $. ~~משל~~		$3.1$. נוכיח את $3.1$ ו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} $ ומכאן ש- $\forall_{n>n_0} x_n>M $.
			\end{enumerate}
			\end{proof}

	\subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:}		\subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:}
	יהיו $x_n,y_n$		יהיו $x_n,y_n$
			\begin{enumerate}
			\item אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ )

	1. אם $x_n\to \infty , y_n \to ~~-\infty~~ $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty~~+(-~~\~~infty)~~ $ )		\item אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty\cdot 0 $ )

	2. אם ~~$x_n\to \infty , y_n \to~~ 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n~~\cdot~~ y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\~~infty\cdot~~ 0 $ )		\item אם שתי הסדרות שואפות ל-0 אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\frac{0}{0} $ )
			\end{enumerate}

	~~3. אם שתי הסדרות שואפות ל-0 אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $~~\~~frac~~{~~x_n~~}~~{y_n}$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\frac{0}{0} $ )~~		\begin{example}

	~~$\\$~~		כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 1 אבל בכל זוג הגבול של הסכום שונה (ולפעמים לא קיים):
	~~דוגמאות:~~

	1. כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 1 אבל בכל זוג הגבול של הסכום שונה (ולפעמים לא קיים):

	$x_n=n, y_n=1-n$		$x_n=n, y_n=1-n$
שורה 48:		שורה 68:
	$ x_n=n , y_n=(-1)^n - n $		$ x_n=n , y_n=(-1)^n - n $

	2. כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 2 אבל בכל זוג הגבול של המכפלה שונה (ולפעמים לא קיים):		\end{example}

			\begin{example}
			כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 2 אבל בכל זוג הגבול של המכפלה שונה (ולפעמים לא קיים):

	$x_n=n, y_n=\frac{1}{n}\\ x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2}\\ x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n}\\ x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2}\\ x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} $		$x_n=n, y_n=\frac{1}{n}\\ x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2}\\ x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n}\\ x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2}\\ x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} $
			\end{example}

	3. אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את $x_n$ בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-$ \frac{y_n}{x_n} $)		\begin{example}
			אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את $x_n$ בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-$ \frac{y_n}{x_n} $)
			\end{example}

	~~$\\$~~
	\underline{תרגיל:} מהו $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?		\underline{תרגיל:} מהו $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?

	\underline{פתרון:} $ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $.		\underline{פתרון:}
			$$ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$

Ofekgillon10 ב־08:42, 15 באוגוסט 2014

2014-08-15T08:42:36Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 \subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים}
 \underline{משפט:}
@@ שורה 60: / שורה 58: @@
 \underline{פתרון:} $ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $.

Ofekgillon10 ב־08:42, 15 באוגוסט 2014

2014-08-15T08:42:06Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:42, 15 באוגוסט 2014
שורה 59:		שורה 59:
	\underline{תרגיל:} מהו $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?		\underline{תרגיל:} מהו $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?

	\underline{פתרון:} $ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0.		\underline{פתרון:} $ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $.


	<tex>קוד:זנב</tex>		<tex>קוד:זנב</tex>
	</latex2pdf>		</latex2pdf>

Ofekgillon10 ב־08:41, 15 באוגוסט 2014

2014-08-15T08:41:37Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 <latex2pdf>
 <tex>קוד:ראש</tex>
+\subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים}
 \underline{משפט:}
@@ שורה 21: / שורה 21: @@
 יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $.
 <tex>קוד:זנב</tex>
 </latex2pdf>

Ofekgillon10 ב־08:17, 15 באוגוסט 2014

2014-08-15T08:17:32Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:17, 15 באוגוסט 2014
שורה 18:		שורה 18:
	1. יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $.		1. יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $.

	2.		2. נוכיח עבור $a$ חיובי, עבור $a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון:

			יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $.
	<tex>קוד:זנב</tex>		<tex>קוד:זנב</tex>
	</latex2pdf>		</latex2pdf>

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש \underline{משפט:} 1. אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n+y_n=\pm \inft..."

2014-08-15T08:13:11Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \underline{משפט:} 1. אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n+y_n=\pm \inft..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\underline{משפט:}

1. אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )

2. אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-0 אם הוא 0.

3. $\lim_{n\to \infty }|x_n|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{1}{x_n}=0 $. גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:

$3.1$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $

$3.2$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $

\underline{הוכחה:}

1. יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $.

2.
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>