ארז שיינר: גרסה אחת יובאה

2014-10-04T20:15:47Z

גרסה אחת יובאה

דף חדש

נוודא כעת שהבסיס הדואלי הוא אכן בסיס.

\begin{description}

\item[בת"ל] נניח כי $\alpha_1\varphi_1+\cdots+\alpha_n\varphi_n=0$.

נתבונן בערך של שני הצדדים עבור הווקטור $v_i$:
$$\alpha_1\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0}
+\cdots+
\alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1}
+\cdots+
\alpha_n\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0}
=0\Rightarrow\alpha_i=0$$

לכן $B^*$ בת"ל. $\dim V^*=n$, וכן $\left|B^*\right|=n$, ולכן $B^*$ בסיס של $V^*$. בעיקרון, נוכל להפסיק פה, אך כעת, באמצעות הפרישה, נפתח נוסחה חשובה:

\item[פורשת] אם $\varphi\in V^*$, אזי $\varphi=\varphi\left(v_1 \right )\varphi_1+\cdots+\varphi\left(v_n \right )\varphi_n$.

בדיקה: נציב $v_i$ בשני הצדדים, ונקבל:
$$\varphi\left(v_1 \right )\underbrace{\varphi_1\left(v_i \right )}_{0}
+\cdots+
\varphi\left(v_i \right )\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1}
+\cdots+
\varphi\left(v_n \right )\underbrace{\varphi_n\left(v_i \right )}_{0}
=\varphi\left(v_i \right )$$

אם כן, נקבל נוסחה חשובה נוספת:
$$\left[\varphi \right ]_{B^*}=\left(\begin{matrix}
\varphi\left(v_1 \right )\\
\vdots\\
\varphi\left(v_n \right )
\end{matrix} \right )
$$

\end{description}

קוד:הבסיס הדואלי הוא בסיס - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: גרסה אחת יובאה