קוד:המספר של אוילר e - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 4 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:16Z

4 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־18:56, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T18:56:58Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 \subsection{הגדרה}
 נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .
@@ שורה 44: / שורה 41: @@
 \end{thm}
 \begin{proof}
-נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שני
+נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שני אם נכתוב את $x_n$ בצורה מפורשת אפשר גם לראות ש-
 \end{proof}
@@ שורה 65: / שורה 68: @@
 וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה
 \end{proof}

Ofekgillon10 ב־17:16, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T17:16:19Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:16, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
			<latex2pdf>
			<tex>קוד:ראש</tex>

	\subsection{הגדרה}		\subsection{הגדרה}
	נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .		נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .

	\~~underline~~{~~משפט:~~} קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$.		\begin{thm}
			קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$.
			\end{thm}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.		\begin{proof}
			נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.

	עולה מונוטונית:		עולה מונוטונית:

	$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $		$$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=$$
			$$\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $$


	לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא:		לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא:
			$$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $$
	$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $

	מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.		מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.

	חסומה מלעיל:		\underline{חסומה מלעיל:}

	$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$		$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$

	ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל		ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל
			$$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$$
	$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$

	איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה		איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה
			$$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $$
	$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $

	ולכן		ולכן
			$$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $$

	$x_n \leq ~~2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{~~3~~!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}~~ $		כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n\leq 3$

	~~כל מה שאחרי ה-2 זה~~ סדרה ~~הנדסית אינסופית שסכומה 1~~ ולכן ~~נקבל ש- $x_n<3$~~		אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

	~~אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.~~		\end{proof}

	\subsection{תכונות של $ e $}		\subsection{תכונות של $ e $}
	\~~underline~~{~~משפט:~~} $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $		\begin{thm}
	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} ~~(ההוכחה משתמשת בכלים מסוף הקורס) ידוע ש-~~ $~~e^x~~=\sum_{k=0}^~~\infty~~ \frac{~~x^k~~}{k!} $ ~~ולכן~~ אם ~~נציב~~ $~~x=0~~$ ~~נקבל את הדרוש~~.		$ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $
			\end{thm}
			\begin{proof}
			נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שני

	$\\$		\end{proof}

	נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים		נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים

	$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $		$$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=$$
			$$\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ $

	כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:		כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:

	\~~underline~~{~~משפט:~~} $e\not\in \mathbb{Q} $		\begin{thm}
			$e\not\in \mathbb{Q} $
			\end{thm}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~}		\begin{proof}

	נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $\|\alpha_n\|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל		נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $\|\alpha_n\|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל
			$$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $$
			וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה
			\end{proof}

	~~$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $~~		<tex>קוד:זנב</tex>
			</latex2pdf>
	~~וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n~~>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה

Ofekgillon10 ב־12:05, 15 באוגוסט 2014

2014-08-15T12:05:59Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 \subsection{הגדרה}
 נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .
@@ שורה 61: / שורה 58: @@
 וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש \subsection{הגדרה} נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ . \underline{משפט:} קיים הגבול $\lim_{n\to \..."

2014-08-15T12:05:42Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \subsection{הגדרה} נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ . \underline{משפט:} קיים הגבול $\lim_{n\to \..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\subsection{הגדרה}
נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .

\underline{משפט:} קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$.

\underline{הוכחה:} נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.

עולה מונוטונית:

$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $

לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא:

$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $

מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.

חסומה מלעיל:

$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$

ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל

$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$

איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה

$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $

ולכן

$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $

כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n<3$

אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

\subsection{תכונות של $ e $}
\underline{משפט:} $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $
\underline{הוכחה:} (ההוכחה משתמשת בכלים מסוף הקורס) ידוע ש- $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $ ולכן אם נציב $x=0$ נקבל את הדרוש.

$\\$

נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים

$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $

כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:

\underline{משפט:} $e\not\in \mathbb{Q} $

\underline{הוכחה:}

נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל

$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $

וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>