קוד:חקירה של פונקציות מונוטוניות - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:25Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־12:56, 2 בספטמבר 2014

2014-09-02T12:56:19Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 \begin{thm}
 תהי $f\in D(a,b) $ אזי
-. $\forall x : f'(x) \geq 0 $ אם ורק אם $f$ מונוטונית עולה
+\end{enumerate}
 \end{thm}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\begin{thm} תהי $f\in D(a,b) $ אזי 1. $\forall x : f'(x) \geq 0 $ אם ורק אם $f$ מונוטונית עולה 2. $\forall x : f'(x) \leq 0 $ אם ו..."

2014-08-30T23:13:59Z

יצירת דף עם התוכן "\begin{thm} תהי $f\in D(a,b) $ אזי 1. $\forall x : f'(x) \geq 0 $ אם ורק אם $f$ מונוטונית עולה 2. $\forall x : f'(x) \leq 0 $ אם ו..."

דף חדש

\begin{thm}
תהי $f\in D(a,b) $ אזי

1. $\forall x : f'(x) \geq 0 $ אם ורק אם $f$ מונוטונית עולה

2. $\forall x : f'(x) \leq 0 $ אם ורק אם $f$ מונוטונית יורדת

3. $\forall x : f'(x)>0 $ אזי $f$ מונוטונית עולה ממש (המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה $f(x)=x^3 $ מפריכה)

4. $\forall x : f'(x)<0 $ אזי $f$ מונוטונית יורדת ממש (המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה $f(x)=-x^3 $ מפריכה)

\end{thm}

\begin{proof}
קודם כל נוכיח את $\boxed{\Leftarrow} $ עבור המשפט הראשון ועבור השאר הכיוון הזה מוכח באופן דומה:

יהיו $x_1,x_2\in (a,b) $ ובה"כ נניח $x_1\leq x_2 $ אז לפי לגרנז' $\exists c\in (x_1,x_2) : f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $ אבל $f'(c)\geq 0 $ וגם המכנה חיובי ומכאן ש- $f(x_2)\geq f(x_1) $.

כעת עבור $\boxed{\Rightarrow} $ שוב נוכיח עבור המשפט הראשון ועבור המשפט השני באופן דומה:

$$ f'(x)=f'_+ (x) =\lim_{t\to 0^+} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} $$

אבל גם המונה אי שלילי (מהנתון) והמכנה חיובי ומכאן ש- $f'(x)\geq 0 $

\end{proof}