קוד:מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:30Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־12:00, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T12:00:57Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:00, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים:		\begin{thm} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים:
			\begin{enumerate}
			\item אם $q>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר

	1. אם $q>1 $ ~~(גם אינסופי זה בסדר)~~ הטור ~~מתבדר~~		\item אם $q<1 $ אז הטור מתכנס
			\end{enumerate}
			\end{thm}

	~~2. אם $q<1 $ אז הטור מתכנס~~		\begin{proof}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~}		\begin{enumerate}

	1. גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- $\~~exists_{~~k_0} \~~forall_{~~k>k_0} \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $ ולכן $\~~forall_{~~k>k_0} a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס.		\item גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש-
			$$\exists k_0 \forall k>k_0 : \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $$
			ולכן $\forall k>k_0 : a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס.

	2. $\~~exists_{~~n_0} \~~forall_{~~n>n_0} \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן $\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו.		\item
			$\exists n_0 \forall n>n_0 : \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן\\
			$\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו.
			\end{enumerate}
			\end{proof}

	$\\$		\begin{example}
	~~דוגמה:~~ כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות.		כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות.
			\end{example}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $..."

2014-08-16T15:57:11Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $..."

דף חדש

\underline{משפט:} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים:

1. אם $q>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר

2. אם $q<1 $ אז הטור מתכנס

\underline{הוכחה:}

1. גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- $\exists_{k_0} \forall_{k>k_0} \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $ ולכן $\forall_{k>k_0} a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס.

2. $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן $\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו.

$\\$
דוגמה: כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות.