קירוב לינארי - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* גזירות */

2021-05-05T13:19:26Z

גזירות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:19, 5 במאי 2021
שורה 5:		שורה 5:

	=גזירות=		=גזירות=
	פונקציה ~~נגזרת~~ גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.		פונקציה נקראית גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.

	בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.		בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.

ארז שיינר: /* דוגמא */

2021-05-05T12:38:37Z

דוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:38, 5 במאי 2021
שורה 37:		שורה 37:
	<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>		<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>


			[[קובץ:linearapprox.png\| 800px]]

	=נוסחאות הגזירה=		=נוסחאות הגזירה=

ארז שיינר: /* נגזרת של הרכבת פונקציות */

2021-05-05T11:48:55Z

נגזרת של הרכבת פונקציות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:48, 5 במאי 2021
שורה 114:		שורה 114:
	לכן נחשב		לכן נחשב

	<math>f(g(x+h))\approx f(g(x)+g'(x)h)\approx f(g(x))+f'(g(x))(g'(x)h)</math>		<math>(f\circ g)(x+h)=f(g(x+h))\approx f(g(x)+g'(x)h)\approx f(g(x))+f'(g(x))(g'(x)h)</math>

	אכן, הנגזרת של ההרכבה היא <math>(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)</math>		אכן, הנגזרת של ההרכבה היא <math>(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)</math>

ארז שיינר: /* נגזרת של סכום, מכפלת ומנת פונקציות */

2021-05-05T11:41:13Z

נגזרת של סכום, מכפלת ומנת פונקציות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:41, 5 במאי 2021
שורה 56:		שורה 56:
	כאשר נסכום את שני המשיקים, נקבל בקלות את המשיק לפונקצית הסכום:		כאשר נסכום את שני המשיקים, נקבל בקלות את המשיק לפונקצית הסכום:

	<math>f(x+h)+g(x+h)\approx f(x)+g(x)+(f'(x)+g'(x))h</math>		<math>(f+g)(x+h)=f(x+h)+g(x+h)\approx f(x)+g(x)+(f'(x)+g'(x))h</math>


שורה 64:		שורה 64:
	===נגזרת המכפלה===		===נגזרת המכפלה===

	<math>f(x+h)g(x+h)\approx (f(x)+f'(x)h)(g(x)+g'(x)h)=f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h +f'(x)g'(x)h^2</math>		<math>(f\cdot g)(x+h)=f(x+h)g(x+h)\approx (f(x)+f'(x)h)(g(x)+g'(x)h)=f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h +f'(x)g'(x)h^2</math>

	כבר יפה מאד! אנחנו רואים את המשיק <math>f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h</math> ואכן נגזרת המכפלה היא גזור שמור ועוד שמור גזור <math>(fg)'=f'g+fg'</math>.		כבר יפה מאד! אנחנו רואים את המשיק <math>f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h</math> ואכן נגזרת המכפלה היא גזור שמור ועוד שמור גזור <math>(fg)'=f'g+fg'</math>.
שורה 77:		שורה 77:
	נתחיל כמו במקרים הקודמים		נתחיל כמו במקרים הקודמים

	<math>\frac{f(x+h)}{g(x+h)}\approx \frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}</math>		<math>\left(\frac{f}{g}\right)(x+h)=\frac{f(x+h)}{g(x+h)}\approx \frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}</math>

	הפעם זה כלל לא נראה כמו משיק. אנחנו ציפינו לביטוי מהצורה <math>\frac{f(x)}{g(x)}+m\cdot h</math> כאשר m הוא שיפוע המשיק.		הפעם זה כלל לא נראה כמו משיק. אנחנו ציפינו לביטוי מהצורה <math>\frac{f(x)}{g(x)}+m\cdot h</math> כאשר m הוא שיפוע המשיק.
שורה 98:		שורה 98:

	ונקבל את המשיק, ואכן <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> כפי שאנו מכירים.		ונקבל את המשיק, ואכן <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> כפי שאנו מכירים.


	==נגזרת של הרכבת פונקציות==		==נגזרת של הרכבת פונקציות==

ארז שיינר: /* נגזרת של סכום, מכפלת ומנת פונקציות */

2021-05-05T11:14:59Z

נגזרת של סכום, מכפלת ומנת פונקציות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:14, 5 במאי 2021
שורה 98:		שורה 98:

	ונקבל את המשיק, ואכן <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> כפי שאנו מכירים.		ונקבל את המשיק, ואכן <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> כפי שאנו מכירים.


			==נגזרת של הרכבת פונקציות==

			תהי g הגזירה בנקודה x ולכן

			<math>g(x+h)\approx g(x)+g'(x)h</math>

			ותהי f הגזירה בנקודה <math>g(x)</math> ולכן

			<math>f(g(x)+h)\approx f(g(x))+ f'(g(x))h</math>


			כעת נרצה לחשב את המשיק בנקודה x של הפונקציה המורכבת <math>f(g(x))</math>

			לכן נחשב

			<math>f(g(x+h))\approx f(g(x)+g'(x)h)\approx f(g(x))+f'(g(x))(g'(x)h)</math>

			אכן, הנגזרת של ההרכבה היא <math>(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)</math>

ארז שיינר: /* נגזרת של סכום פונקציות */

2021-05-05T11:09:39Z

נגזרת של סכום פונקציות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:09, 5 במאי 2021
שורה 44:		שורה 44:
	כאמור, לא נעסוק בהוכחות מדוייקות. דיוק הטענות הבאות הוא ברמות קושי משתנות בין הנוסחאות השונות.		כאמור, לא נעסוק בהוכחות מדוייקות. דיוק הטענות הבאות הוא ברמות קושי משתנות בין הנוסחאות השונות.

	==נגזרת של סכום פונקציות==		==נגזרת של סכום, מכפלת ומנת פונקציות==
			בהנתן <math>f,g</math> שתי פונקציות גזירות בנקודה x, אנחנו מצפים ש

			<math>f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h</math>

			<math>g(x+h)\approx g(x)+g'(x)h</math>


			===נגזרת הסכום===

			כאשר נסכום את שני המשיקים, נקבל בקלות את המשיק לפונקצית הסכום:

			<math>f(x+h)+g(x+h)\approx f(x)+g(x)+(f'(x)+g'(x))h</math>


			כלומר <math>(f+g)'=f'+g'</math>


			===נגזרת המכפלה===

			<math>f(x+h)g(x+h)\approx (f(x)+f'(x)h)(g(x)+g'(x)h)=f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h +f'(x)g'(x)h^2</math>

			כבר יפה מאד! אנחנו רואים את המשיק <math>f(x)g(x)+ (f'(x)g(x)+f(x)g'(x))h</math> ואכן נגזרת המכפלה היא גזור שמור ועוד שמור גזור <math>(fg)'=f'g+fg'</math>.

			אבל, אנחנו רואים ביטוי נוסף <math>f'(x)g'(x)h^2</math>. ברוח חוסר הדיוק, נסתפק בהסבר שכיוון שh מספר בסביבת אפס, <math>h^2</math> יהיה זניח לעומתו.

			כמובן שזו לא טענה תקיפה מתמטית, אבל כאמור אפשר לנסח אותה באופן מדוייק, אך מסורבל יותר.


			===נגזרת המנה===

			נתחיל כמו במקרים הקודמים

			<math>\frac{f(x+h)}{g(x+h)}\approx \frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}</math>

			הפעם זה כלל לא נראה כמו משיק. אנחנו ציפינו לביטוי מהצורה <math>\frac{f(x)}{g(x)}+m\cdot h</math> כאשר m הוא שיפוע המשיק.

			נשתמש בשיטת WIN קיצור של Wouldn't it be nice. נוסיף את הביטוי <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> ונחסיר אותו.


			<math>\frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h}=\frac{f(x)}{g(x)} + \left(\frac{f(x)+f'(x)h}{g(x)+g'(x)h} - \frac{f(x)}{g(x)}\right)</math>


			נעשה מכנה משותף ונקבל

			<math>\frac{f(x)}{g(x)}+ \frac{g(x)(f(x)+f'(x)h)-(g(x)+g'(x)h)f(x) }{g(x)(g(x)+g'(x)h)}</math>

			נפשט את הביטוי

			<math>\frac{f(x)}{g(x)}+\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)+g(x)g'(x)h} \cdot h</math>

			שוב ללא הסברים מלאים נזניח את הביטוי <math>g(x)g'(x)h</math>

			ונקבל את המשיק, ואכן <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}</math> כפי שאנו מכירים.

ארז שיינר ב־10:52, 5 במאי 2021

2021-05-05T10:52:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:52, 5 במאי 2021
שורה 1:		שורה 1:

	בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת.		בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת.

			את התאורייה המלאה ניתן ללמוד בקישור הבא - [[חדוא 1 - ארז שיינר\|https://calc1.math-wiki.com]]

	=גזירות=		=גזירות=
שורה 25:		שורה 27:
	===דוגמא===		===דוגמא===

	עבור <math>f(x)=\sqrt(x)</math> מתקיים כי הנגזרת בנקודה <math>x=9</math> היא <math>f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}</math>		עבור <math>f(x)=\sqrt{x}</math> מתקיים כי הנגזרת בנקודה <math>x=9</math> היא <math>f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}</math>

	לכן למשל עבור <math>h=1</math> נקבל כי		לכן למשל עבור <math>h=1</math> נקבל כי
שורה 34:		שורה 36:

	<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>		<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>


			=נוסחאות הגזירה=

			כעת נראה כיצד נוסחאות הגזירה מופיעות כאשר מחליפים בין פונקציות למשיקים שלהן (הקירוב הלינארי).

			כאמור, לא נעסוק בהוכחות מדוייקות. דיוק הטענות הבאות הוא ברמות קושי משתנות בין הנוסחאות השונות.

			==נגזרת של סכום פונקציות==

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן " בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת. =גזירות=..."

2021-05-05T10:47:36Z

יצירת דף עם התוכן " בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת. =גזירות=..."

דף חדש

בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן '''בלתי מדויק''', במטרה להבין את מושג הנגזרת.

=גזירות=
פונקציה נגזרת גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.

בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.

==קירוב לינארי==
לפיכך, אם פונקציה במשתנה אחד גזירה בנקודה x אנחנו מצפים שעבורים צעדים "קטנים" h יתקיים:

<math>\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\approx f'(x)</math>

בנוסח אחר אנחנו מצפים כי

<math>f(x+h)-f(x)\approx f'(x)h</math>

או

<math>f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h</math>

נשים לב כי הביטוי מימין הוא הישר המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה x, ואנחנו סה"כ אומרים שהפונקציה תהיה בערך שווה למשיק באיזור הנקודה.

===דוגמא===

עבור <math>f(x)=\sqrt(x)</math> מתקיים כי הנגזרת בנקודה <math>x=9</math> היא <math>f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}</math>

לכן למשל עבור <math>h=1</math> נקבל כי

<math>\sqrt{10}=f(9+h)\approx f(9)+f'(9)\cdot h=3+\frac{1}{6}\cdot 1</math>

ואם נציב במחשבון את שני הצדדים נראה שאכן

<math>\sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6}</math>