שדות - תכונות בסיסיות - היסטוריית גרסאות

Ufirst ב־11:14, 25 בנובמבר 2011

2011-11-25T11:14:44Z

@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 '''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>.
 == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים ==
 '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>.
@@ שורה 42: / שורה 42: @@
 '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית.
 == תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==
@@ שורה 48: / שורה 49: @@
 '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
 == איברים אלגבריים - מבט מעמיק ==
@@ שורה 72: / שורה 74: @@
 '''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ויהי <math>A</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. יהי <math>A'</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>A</math>. אזי <math>A=A'</math>.

Ufirst: /* איברים אלגבריים - מבט מעמיק */

2011-11-25T10:58:56Z

איברים אלגבריים - מבט מעמיק

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:58, 25 בנובמבר 2011
שורה 70:		שורה 70:

	'''הערה:''' בהוכחה היינו צריכים להגדיר את <math>K_0</math> כי לא היה נתון ש-<math>[K:F]<\infty</math>.		'''הערה:''' בהוכחה היינו צריכים להגדיר את <math>K_0</math> כי לא היה נתון ש-<math>[K:F]<\infty</math>.

			'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ויהי <math>A</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. יהי <math>A'</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>A</math>. אזי <math>A=A'</math>.

Ufirst ב־10:54, 25 בנובמבר 2011

2011-11-25T10:54:58Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:54, 25 בנובמבר 2011
שורה 45:		שורה 45:
	== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==		== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==

	'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)		'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה והמימד שלו מעל <math>F</math> סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)

	'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.		'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.
שורה 62:		שורה 62:

	'''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.)		'''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.)

			'''דוגמא:''' יהי <math>F</math> שדה ויהי <math>K=F(t)</math> (שדה השברים של <math>F[t]</math> = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה <math>t</math>). אזי האיברים האלגבריים מעל <math>K</math> הם רק השדה <math>F</math>.

			'''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית. אזי איבר <math>a\in L</math> הוא אלגברי מעל <math>K</math> אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל <math>F</math>.

			'''הוכחה:''' כוון אחד ברור מאליו -- אם <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-<math>a</math> אלגברי מעל <math>K</math> אזי קיים פולינום <math>0\neq f(x)\in K[x]</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. יהיו <math>b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K</math> מקדמי הפולינום <math>f</math>. היות ו-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית, אז כל האיברים <math>b_0,b_1,\ldots,b_n</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. לכן, לפי תרגיל מקודם, <math>K_0=F[b_0,\ldots,b_n]</math> הוא שדה ממימד סופי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>f(x)\in K_0[x]</math> ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>K_0</math>. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-<math>[K_0[a]:K_0]<\infty</math>. לכן <math>[K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]<\infty</math>. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה <math>K_0[a]/F</math> אלגברית ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.

			'''הערה:''' בהוכחה היינו צריכים להגדיר את <math>K_0</math> כי לא היה נתון ש-<math>[K:F]<\infty</math>.

Ufirst: /* איברים אלגבריים - מבט מעמיק */

2011-11-24T15:54:15Z

איברים אלגבריים - מבט מעמיק

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:54, 24 בנובמבר 2011
שורה 60:		שורה 60:

	'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>.		'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>.

			'''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.)

Ufirst ב־15:52, 24 בנובמבר 2011

2011-11-24T15:52:21Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:52, 24 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:

	== הרחבות של שדות ==		== הרחבות של שדות ==

שורה 49:		שורה 48:

	'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.		'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>.

			== איברים אלגבריים - מבט מעמיק ==

			'''טענת עזר:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in K</math> אלגבריים. אזי <math>F[a,b]/F</math> הרחבה אלגברית.

			'''הוכחה:''' לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-<math>[F[a,b]:F]<\infty</math>. מתקיים <math>[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]</math> ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה <math>[F[a]:F]<\infty</math> כי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>b</math> אלגברי מעל <math>F</math> ולכן גם מעל <math>F[a]</math>. כעת, אותה טענה גם אומרת כי <math>[F[a,b]:F[a]]<\infty</math> ולכן גמרנו.

			'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in F</math> אלגבריים מעל <math>F</math>, אז גם <math>ab,a+b</math> אלגבריים מעל <math>F</math>.

			'''תרגיל:''' בהנחות של המסקנה, אם <math>a\neq 0</math> אז גם <math>a^{-1}</math> אלגברי.

			'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>.

Ufirst: /* איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים */

2011-11-24T15:40:41Z

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:40, 24 בנובמבר 2011
שורה 43:		שורה 43:

	'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית.		'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית.




	== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==		== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו ==

Ufirst: /* איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים */

2011-11-24T15:40:03Z

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

@@ שורה 24: / שורה 24: @@
 '''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי.
 '''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>.
@@ שורה 39: / שורה 41: @@
 '''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

Ufirst: /* איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים */

2011-11-24T15:24:56Z

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:24, 24 בנובמבר 2011
שורה 31:		שורה 31:
	'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה.		'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה.

	'''הוכחה ~~(תקציר)~~:''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.		'''הוכחה:''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.

	כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן <math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>.		כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן
			<math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}\}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>.

	כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:		כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:

	'''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]		'''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

Ufirst: /* איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים */

2011-11-24T15:22:51Z

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:22, 24 בנובמבר 2011
שורה 17:		שורה 17:


	'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>.		'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>.

	'''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>.		'''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>.
שורה 30:		שורה 30:

	'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה.		'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה.

			'''הוכחה (תקציר):''' כוון אחד: נניח ש-<math>\dim_FF[a]=n<\infty</math>. אזי הקבוצה <math>\{1,a,a^2,\ldots,a^n\}</math> היא בגודל <math>n+1</math> ולכן תלויה לינארית מעל <math>F</math>. לכן קיימים <math>\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F</math>, לא כולם 0, כך ש-<math>\alpha_0+\alpha_1a+\ldots+\alpha_na^n=0</math>. אם נגדיר <math>f(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\ldots+\alpha_nx^n\in F[x]</math> אז <math>f(x)\neq 0</math> ובעצם הראינו <math>f(a)=0</math>. לכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>.

			כוון שני: נניח שקיים <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. נסמן <math>n=\deg f</math>. מספיק להראות ש-<math>\{1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}</math> קבוצה פורשת (מעל <math>F</math>) ל-<math>F[a]</math>. יהי <math>b\in F[a]</math> אזי <math>b=g(a)</math> עבור <math>g(x)\in F[x]</math> כלשהו. קיימים פולינומים <math>q(x),r(x)\in F[x]</math> כך ש-<math>g(x)=q(x)f(x)+r(x)</math> וגם <math>\deg r<\deg f=n</math>. אזי <math>g(a)=q(a)f(a)+r(a)=r(a)</math> ו-<math>r(a)\in\mathrm{span}\{1,a,\ldots,a^{n-1}\}</math> כי <math>\deg r<n</math>.

			כדי לראות שבמקרה זה <math>F[a]</math> שדה, נשים לב ש-<math>F[a]</math> הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל <math>F</math> ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:

			'''תרגיל:''' יהי <math>R</math> תחום שלמות ו-<math>F\subseteq R</math> שדה כך ש-<math>\dim_FR<\infty</math>. אזי <math>R</math> שדה. [רמז: לכל <math>r\in R</math> ההעתקה <math>x\mapsto rx</math> היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]

Ufirst: /* איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים */

2011-11-24T15:08:55Z

איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:08, 24 בנובמבר 2011
שורה 24:		שורה 24:

	'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי.		'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי.

			'''הגדרה:''' הרחבת שדות <math>K/F</math> נקראת אלגברית אם כל איבר ב-<math>K</math> אלגברי מעל <math>F</math>.

			'''סימון:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. מסמנים <math>F[a]=\{f(a)~\|~f\in F[x]\}</math>.

			'''טענה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. אזי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אם ורק אם המימד של <math>F[a]</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> סופי. במקרה זה <math>F[a]</math> שדה.