שיטות הוכחה בסיסיות - היסטוריית גרסאות

Erez1: /* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */

2017-09-12T10:24:40Z

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:24, 12 בספטמבר 2017
שורה 140:		שורה 140:


	כיוון שאין ~~סוף~~ למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.		כיוון שאין חסם למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.

ארז שיינר: /* חלוקה למקרים */

2016-03-17T19:52:08Z

חלוקה למקרים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:52, 17 במרץ 2016
שורה 258:		שורה 258:
	==חלוקה למקרים==		==חלוקה למקרים==
	'''דוגמא''' הוכיחו כי לכל n טבעי ולכל x אי שלילי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math>		'''דוגמא''' הוכיחו כי לכל n טבעי ולכל x אי שלילי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math>

			'''הוכחה''':

	יהי n טבעי ויהי <math>x\geq 0</math>.		יהי n טבעי ויהי <math>x\geq 0</math>.
שורה 272:		שורה 274:


	לכן סה"כ לכל x ולכל n מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math> כפי שרצינו.		לכן סה"כ לכל x אי שלילי ולכל n טבעי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math> כפי שרצינו.

ארז שיינר: /* חלוקה למקרים */

2016-03-17T19:51:15Z

חלוקה למקרים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:51, 17 במרץ 2016
שורה 257:		שורה 257:

	==חלוקה למקרים==		==חלוקה למקרים==
			'''דוגמא''' הוכיחו כי לכל n טבעי ולכל x אי שלילי מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math>

			יהי n טבעי ויהי <math>x\geq 0</math>.


			אם <math>x\leq \frac{1}{n^2}</math> מתקיים

			<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{1} = x \leq \frac{1}{n^2}</math>


			אם <math>x>\frac{1}{n^2}</math> אזי

			<math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{x}{n^4x^2} = \frac{1}{n^4x} \leq \frac{1}{n^4 \frac{1}{n^2}}=\frac{1}{n^2}</math>


			לכן סה"כ לכל x ולכל n מתקיים <math>\frac{x}{1+n^4x^2}\leq \frac{1}{n^2}</math> כפי שרצינו.

ארז שיינר ב־19:39, 17 במרץ 2016

2016-03-17T19:39:51Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:39, 17 במרץ 2016
שורה 255:		שורה 255:

	'''בסתירה''' לכך ש <math>A\backslash (B\cup C)=A</math>.		'''בסתירה''' לכך ש <math>A\backslash (B\cup C)=A</math>.

			==חלוקה למקרים==

אחיה172: /* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */

2015-07-07T18:04:59Z

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:04, 7 ביולי 2015
שורה 104:		שורה 104:
	'''דוגמא'''		'''דוגמא'''

	תהי קבוצה B. הוכיחו כי קיימת קבוצה A ~~שאינה ריקה~~ כך ש <math>A\cap B = B</math>		תהי קבוצה B. הוכיחו כי קיימת קבוצה A כך ש <math>A\cap B = B</math>

ארז שיינר: /* הוכחת הכלה ושיוויון בין קבוצות */

2015-07-07T17:35:30Z

הוכחת הכלה ושיוויון בין קבוצות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:35, 7 ביולי 2015
שורה 194:		שורה 194:

	שיטה II: '''הכלה דו כיוונית'''. להוכיח שהקבוצה הימנית מוכלת בשמאלית וגם הקבוצה השמאלית מוכלת בימנית.		שיטה II: '''הכלה דו כיוונית'''. להוכיח שהקבוצה הימנית מוכלת בשמאלית וגם הקבוצה השמאלית מוכלת בימנית.


			==הוכחת שקילות לוגית - אם ורק אם==

			כפי שראינו בעבר, על מנת להוכיח כי טענה א' מתקיימת אם ורק אם טענה ב' מתקיימת מספיק להוכיח כי טענה א' גוררת את טענה ב' וגם טענה ב' גוררת את טענה א'.

			את הטענות בכל כיוון ניתן להוכיח בכל דרך שנרצה (כולל אפילו הוכחת אם"ם, במידת הצורך).



			'''דוגמא''' תהינה קבוצות A,B,C. הוכיחו כי <math>A\backslash (B\cup C) = A</math> אם"ם <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>


			'''הוכחת אם"ם'''.


			<math>\Rightarrow</math> '''בכיוון ראשון''' נניח ונתון כי <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>.


			לכן <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) = \phi \cup \phi = \phi</math>.


			לכן, לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\notin B\cup C</math> ולכן <math>a\in A\backslash (B\cup C)</math>


			במשפט לעיל הוכחנו כי <math>A\subseteq A\backslash (B\cup C)</math>


			קל להראות את ההכלה בכיוון ההפוך <math> A\backslash (B\cup C) \subseteq A</math> וביחד קיבלנו את מה שצריך להוכיח:


			<math>A\backslash (B\cup C) = A</math> (לפי הכלה דו כיוונית)




			<math>\Leftarrow</math> '''בכיוון השני'''


			נתון: <math>A\backslash (B\cup C) = A</math>


			צ"ל: <math>A\cap B = \phi</math> וגם <math>A\cap C = \phi</math>


			'''נניח בשלילה''' את השלילה של מה שצריך להוכיח.


			כלומר, נניח כי <math>A\cap B \neq \phi</math> '''או''' <math>A\cap C \neq \phi</math>


			לכן קיים <math>x\in A\cap B</math> או קיים <math>x\in A\cap C</math>.


			בשני המקרים נובע כי <math>x\in A</math> וגם <math>x\in B\cup C</math>


			ולכן <math>x\notin A\backslash (B\cup C)</math> וגם <math>x\in A</math>


			'''בסתירה''' לכך ש <math>A\backslash (B\cup C)=A</math>.

ארז שיינר: /* הוכחת שיוויון בין קבוצות */

2015-07-07T17:33:59Z

הוכחת שיוויון בין קבוצות

@@ שורה 153: / שורה 153: @@
 *הוכיחו כי אין גבול לסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
-==הוכחת שיוויון בין קבוצות==
+==הוכחת הכלה ושיוויון בין קבוצות==
 על מנת להוכיח שיוון בין שתי קבוצות אנו יכולים לפעול בשתי דרכים נפוצות.

ארז שיינר: /* הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים */

2015-07-07T17:13:11Z

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

@@ שורה 98: / שורה 98: @@
 שימו לב שעל מנת להפריך טענת '''לכל''' יש לספק דוגמא נגדית, ועל מנת להפריך טענת '''קיים''' יש להוכיח שכל האיברים הכלליים אינם מקיימים את הטענה.
@@ שורה 134: / שורה 141: @@
 כיוון שאין סוף למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ<math>\frac{1}{x}</math>.
@@ שורה 155: / שורה 152: @@
 *הוכיחו כי אין גבול לסדרה <math>a_n=(-1)^n</math>
 ==הוכחת שיוויון בין קבוצות==

ארז שיינר ב־17:10, 7 ביולי 2015

2015-07-07T17:10:30Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==שיטות הוכחה==
+=שיטות הוכחה=
 בתחילת הדרך של לימודי המתמטיקה, לעיתים קרובות ניגש התלמיד אל התרגיל ומביט בו. התרגיל מביט חזרה בתלמיד, ושניהם לא יודעים מה לעשות.
@@ שורה 89: / שורה 89: @@
 '''שימו לב''' המסקנה שהגענו אליה היא בדיוק שלילת הנתון.
 ==הוכחת שיוויון בין קבוצות==

ארז שיינר ב־16:53, 7 ביולי 2015

2015-07-07T16:53:41Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:53, 7 ביולי 2015
שורה 89:		שורה 89:

	'''שימו לב''' המסקנה שהגענו אליה היא בדיוק שלילת הנתון.		'''שימו לב''' המסקנה שהגענו אליה היא בדיוק שלילת הנתון.

			==הוכחת שיוויון בין קבוצות==

			ראשית, שימו לב שהקבוצות בתרגיל כזה יכולות להופיע באופן עקיף ולא ישיר. למשל, במשוואה <math>A\cup (B\backslash C) = P(D)</math> מופיעות שתי קבוצות המיוצגות על ידי ארבע הקבוצות A,B,C,D.

			על מנת להוכיח שיוון בין שתי קבוצות אנו יכולים לפעול בשתי דרכים נפוצות.

			שיטה I: להוכיח שלכל איבר x, מתקיים ש x שייך לקבוצה הימנית אם ורק אם x שייך לקבוצה השמאלית.

			שיטה II: '''הכלה דו כיוונית'''. להוכיח שהקבוצה הימנית מוכלת בשמאלית וגם הקבוצה השמאלית מוכלת בימנית.