שילוש מטריצה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* אלגוריתם לשילוש מטריצה */

2012-11-13T09:56:35Z

אלגוריתם לשילוש מטריצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:56, 13 בנובמבר 2012
שורה 13:		שורה 13:
	*נסמן <math>k=\|E\|</math>. נסמן ב<math>Q_k</math> את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.		*נסמן <math>k=\|E\|</math>. נסמן ב<math>Q_k</math> את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.

	*~~לפי אינדוקציה,~~ ניתן ~~לשלש~~ את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>.		*ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>. כיוון שהמטריצה <math>Q_k</math> קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית).

	*נסמן <math>P_1'=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k.		*נסמן <math>P_1'=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k.

2012-11-13T09:07:37Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:07, 13 בנובמבר 2012
שורה 68:		שורה 68:

	::<math>P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>		::<math>P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>


			לבסוף נסמן

			::<math>P_1'=I_2\oplus P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -0.6\end{pmatrix}</math>


			ונקבל כפי שרצינו:


			::<math>P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -0.4 \\ 0 & 2 & 2 & -0.6 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>

2012-11-13T09:02:20Z

אלגוריתם לשילוש מטריצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:02, 13 בנובמבר 2012
שורה 15:		שורה 15:
	*לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>.		*לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>.

	*נסמן <math>~~Q_1~~=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k.		*נסמן <math>P_1'=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k.

	*סה"כ <math>~~Q_1~~^{-1}P^{-1}~~APQ_1~~</math> הינה מטריצה משולשית		*סה"כ <math>P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'</math> הינה מטריצה משולשית

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

2012-11-13T09:01:24Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:01, 13 בנובמבר 2012
שורה 63:		שורה 63:

	<math>P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix}</math>		<math>P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix}</math>


			נקבל

			::<math>P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

2012-11-13T09:00:16Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:00, 13 בנובמבר 2012
שורה 56:		שורה 56:

	::<math>Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix}</math>		::<math>Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix}</math>


			נסמן <math>Q_2=\begin{pmatrix} -0.5 & -2.5 \\ 1.5 & 3.5 \end{pmatrix}</math>

			במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור

			<math>P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix}</math>

2012-11-13T08:50:44Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:50, 13 בנובמבר 2012
שורה 51:		שורה 51:

	::<math>P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>		::<math>P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>


			וכעת נקבל

			::<math>Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix}</math>

2012-11-13T08:45:27Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:45, 13 בנובמבר 2012
שורה 38:		שורה 38:

	::<math>V_2=span\{(1,0,-2,1)\}</math>		::<math>V_2=span\{(1,0,-2,1)\}</math>



			נסמן <math>E = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1)\}</math>


			ונשלים אותו לבסיס
			::<math>B = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}</math>


			נסמן

			::<math>P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math>

2012-11-13T08:41:54Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:41, 13 בנובמבר 2012
שורה 30:		שורה 30:

	הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.		הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.



			לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים:

			::<math>V_1=span\{(1,-2,1,0)\}</math>

			::<math>V_2=span\{(1,0,-2,1)\}</math>

2012-11-13T08:36:57Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:36, 13 בנובמבר 2012
שורה 20:		שורה 20:

	==דוגמאות==		==דוגמאות==
			נשלש את המטריצה

			:<math>A=\begin{pmatrix}-1 & -3 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 2 & 5 & 9 & 12 \\ -1 & -2 & -3 & -3 \end{pmatrix}</math>


			ראשית נמצא את הפולינום האופייני:

			:<math>p_A(x)=(x-1)^2(x-2)^2</math>

			הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.

2012-11-13T08:30:00Z

משפט

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 ==משפט==
 מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם [[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים
 ==דוגמאות==