תרגול 10 תשעז - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* יחסי שקילות */

2019-07-16T14:35:15Z

יחסי שקילות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:35, 16 ביולי 2019
שורה 18:		שורה 18:
	<math>xQy\iff x-y=17</math>		<math>xQy\iff x-y=17</math>

	<math>xRy\iff ~~\exists a~~\in \mathbb{N}\cup \{0\}~~:x-y=a~~</math>		<math>xRy\iff x-y\in \mathbb{N}\cup \{0\}</math>

	<math>xSy\iff ~~\exists a~~\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}~~:x-y=a~~</math>.		<math>xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}</math>.

	<math>xTy\iff ~~\exists a~~\in \mathbb{Z}~~:x-y=a~~</math>.		<math>xTy\iff x-y\in \mathbb{Z}</math>.

	בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.		בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.
שורה 36:		שורה 36:
	<math>T</math> כן יחס שקילות:		<math>T</math> כן יחס שקילות:

	רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ~~ניקח <math>a=0</math> ואז~~ <math>x-x=0=a</math>.		רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, אז <math>x-x=0\in \mathbb{Z}</math>.

	סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.		סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

Nati760: /* פתרון */

2018-02-08T09:29:09Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:29, 8 בפברואר 2018
שורה 82:		שורה 82:
	א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).		א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

	ב. ~~בה"כ~~ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.		ב. בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

	ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.		ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

Nati760: /* פתרון */

2018-02-08T09:21:58Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:21, 8 בפברואר 2018
שורה 96:		שורה 96:
	=====פתרון=====		=====פתרון=====

	מעגל עם רדיוס ~~<math>~~1~~<math>~~ מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.		מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

Nati760: /* פתרון */

2018-02-08T09:21:29Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:21, 8 בפברואר 2018
שורה 96:		שורה 96:
	=====פתרון=====		=====פתרון=====

	מעגל עם רדיוס <math>1</math> מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.		מעגל עם רדיוס <math>1<math> מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

Nati760: /* פתרון */

2018-02-08T09:20:52Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:20, 8 בפברואר 2018
שורה 80:		שורה 80:

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	א.~~הפרכה~~: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).		א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

	ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.		ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

תום: /* פתרון */

2018-02-07T11:00:46Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:00, 7 בפברואר 2018
שורה 80:		שורה 80:

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).		א.הפרכה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

	ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.		ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

אריאל: /* תרגיל */

2018-01-06T20:21:04Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:21, 6 בינואר 2018
שורה 90:		שורה 90:
	על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:		על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

	<math>(x_1,y_1)~(x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.		<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

	קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?		קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

Mathzeta2 ב־23:53, 23 בדצמבר 2017

2017-12-23T23:53:18Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:53, 23 בדצמבר 2017
שורה 2:		שורה 2:

	==יחסי שקילות==		==יחסי שקילות==
	הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R ~~יקרה~~ יחס שקילות אם הוא		הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס עליה. <math>R</math> יקרא '''יחס שקילות''' (יח"ש) אם הוא
	#רפלקסיבי		#רפלקסיבי
	#סימטרי		#סימטרי
שורה 8:		שורה 8:

	'''סימון מקובל:'''		'''סימון מקובל:'''
			אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.

	~~אם R יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>~~		וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.

	וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות

	====תרגיל====		====תרגיל====
שורה 25:		שורה 24:
	<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.		<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.

	האם ~~<math>S</math>~~ יחס שקילות~~? האם <math>T</math> יחס שקילות?~~		בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
שורה 33:		שורה 32:
	<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.		<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

	<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש <math>2S3</math>.		<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

	<math>T</math> כן:		<math>T</math> כן יחס שקילות:

	רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז <math>x-x=0=a</math>.		רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז <math>x-x=0=a</math>.
שורה 41:		שורה 40:
	סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.		סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

	טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.		טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

	===מחלקות שקילות וחלוקה===		===מחלקות שקילות וחלוקה===

	הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא ~~חלוקה~~ של A ~~לקבוצות זרות~~. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>		הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
	כך ש:		כך שמתקיים:
	* <math>\forall i\in I: A_i \neq \~~emptyset~~ </math>		* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.
	* <math>\~~cup~~ _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה		* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
	* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות''' ~~זו לו =~~ החיתוך בין כל שתי ~~תתי~~ קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\~~not=~~ j\in I : A_i\cap A_j = \~~phi~~ </math>)		* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).

	הגדרה:		הגדרה:

	יהא R יחס שקילות על A אזי		יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי

	# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A \| (x,y)\in R\} </math>		# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A \| (x,y)\in R\}</math>.
	# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R \| x\in A\} </math>		# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R \| x\in A\} </math>.


	משפט: יהא R יחס שקילות על A אזי		'''משפט''': יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
	# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\~~phi~~ </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות)		# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).
	# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> כלומר (איחוד מחלקות השקילות ~~תתן את~~ כל A)		# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).
	הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של A		הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.


	מסקנה:		מסקנה:
	תהא A קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על A }		תהא <math>A</math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>}
	<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של A}		<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.

	חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.		חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

	====תרגיל====		====תרגיל====
	ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא שקילות. הוכיחו:		ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

	א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.		א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.
שורה 83:		שורה 82:
	א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).		א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

	ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ~~לכן~~ הם לא שקולים.		ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

	ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.		ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.
שורה 89:		שורה 88:
	====תרגיל====		====תרגיל====

	על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>~</math> ~~ע"י: לכל~~ <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:		על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

	<math>(x_1,y_1)~(x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.		<math>(x_1,y_1)~(x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.
שורה 97:		שורה 96:
	=====פתרון=====		=====פתרון=====

	מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.		מעגל עם רדיוס <math>1</math> מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

אריאל: /* מחלקות שקילות וחלוקה */

2017-12-22T09:47:59Z

מחלקות שקילות וחלוקה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:47, 22 בדצמבר 2017
שורה 86:		שורה 86:

	ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.		ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

			====תרגיל====

			על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>~</math> ע"י: לכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

			<math>(x_1,y_1)~(x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

			קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

			=====פתרון=====

			מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

אריאל: /* תרגיל */

2017-12-22T08:07:26Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:07, 22 בדצמבר 2017
שורה 21:		שורה 21:
	<math>xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>		<math>xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>

	<math>xSy\exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.		<math>xSy\iff \exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.

	<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.		<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.