תרגול 12 תשעז - היסטוריית גרסאות

Relweiz: /* תרגיל */

2020-01-14T15:51:22Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:51, 14 בינואר 2020
שורה 64:		שורה 64:

	===תרגיל===		===תרגיל===
	~~יהיו~~ <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות ~~בעלות עוצמה זהה~~. הוכיחו ~~שכל פונקציה מ-~~<math>A</math> ל-<math>B</math> ~~הינה~~ על ~~אם"ם היא חח"ע~~.		תהיינה <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות לא ריקות. הוכיחו: <math>\|A\|\geq \|B\|</math> אם ורק אם קיימת <math>f:A\to B</math> על.

	~~'''~~הוכחה~~:'''~~		====הוכחה====
	נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, ~~b_n~~\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>.		נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_m\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>.

	~~נניח <math>f</math> חח"ע אזי <math>\|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\|=n</math>~~
	~~כיוון ש-<math>\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על.~~

	נניח <math>f </math> על. נניח בשלילה ש-<math>f</math> אינה חח"ע אזי <math>\|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז <math>f</math> אינה על, שזו סתירה.

	~~הערה: הדבר אינו נכון אם <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה~~.

	===תרגיל===		===תרגיל===

Relweiz: /* הגדרות בסיסיות לפונקציות */

2020-01-14T15:33:21Z

הגדרות בסיסיות לפונקציות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:33, 14 בינואר 2020
שורה 12:		שורה 12:

	'''הגדרה:'''		'''הגדרה:'''
	*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''~~על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{im}(R)=B</math>.~~		*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''שלם''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>
	*יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''מלא''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math>
	*יחס <math>R</math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ-<math>A</math> שמתאים לשני איברים שונים מ-<math>B</math>.		*יחס <math>R</math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ-<math>A</math> שמתאים לשני איברים שונים מ-<math>B</math>.

שורה 19:		שורה 18:
	'''הגדרה:'''		'''הגדרה:'''

	יחס חד ערכי ~~ומלא~~ נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.		יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>.
	ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.		ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>.
	(<math>A</math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-<math>B</math> נקרא הטווח של הפונקציה.)		(<math>A</math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-<math>B</math> נקרא הטווח של הפונקציה.)
שורה 29:		שורה 28:
	<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.		<math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>.

			פונקציה נקראת '''על''' אם <math>Im(f)=B</math>.

	'''הגדרה:'''		'''הגדרה:'''

אריאל: /* פתרון */

2018-05-22T11:00:55Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:00, 22 במאי 2018
שורה 137:		שורה 137:
	על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f_k(a) = y</math>.		על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f_k(a) = y</math>.
	בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a</math> ולכן נקבל		בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a</math> ולכן נקבל
	<math>f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \~~citc~~ f_1)(b)=f_k(a)=y</math>. מש"ל.		<math>f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \circ f_1)(b)=f_k(a)=y</math>. מש"ל.

	הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.		הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.

אריאל: /* פתרון */

2018-05-22T11:00:04Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:00, 22 במאי 2018
שורה 130:		שורה 130:
	====פתרון====		====פתרון====

	למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה.		למעשה אפשר לעשות אינדוקציה על המשפט מן ההרצאה. עבור שתי פונקציות זה בהרצאה. נניח נכונות ל<math>k-1</math> ונוכיח ל<math>k</math>.

	חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>		חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מחח"ע של <math>f_k</math>
	נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> ~~באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל~~ <math>x_1=x_2</math>.		נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> מהנחת האינדוקציה עבור <math>k-1</math> פונקציות נקבל שההרכבה חח"ע ולכן <math>x_1=x_2</math>.

	על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>~~a_k~~\in A</math> כך ש-<math>f_k(~~a_k~~)= y</math>		על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש-<math>f_k</math> על, קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f_k(a) = y</math>.
	~~באותו אופן~~ קיים <math>~~a_{k-1}~~</math> כך ש <math>f_{k-1}(~~a_{k-1}~~)=~~a_k~~</math> ~~נמשיך באופן דומה (או באינקודציה)~~		בנוסף, מהנחת האינדוקציה קיים <math>b\in A</math> כך ש <math>f_{k-1}\circ \dots \circ f_1(b)=a</math> ולכן נקבל
	~~ונקבל~~ <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(~~a_1~~)=(f_k \circ ~~\dots \circ f_2)~~(~~a_2)=\\ \dots =f_k\circ~~ f_{k-1} (~~a_{k-1}~~) = f_k(~~a_k~~)=y</math>		<math>f_k\circ \dots \circ f_1(b) = f_k\circ (f_{k-1}\circ \dots \citc f_1)(b)=f_k(a)=y</math>. מש"ל.

	הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.		הפיכות: נובע מחח"ע יחד עם על.

אריאל: /* פונקציות המכבדות יחס שקילות */

2018-05-22T10:51:12Z

פונקציות המכבדות יחס שקילות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:51, 22 במאי 2018
שורה 177:		שורה 177:
	ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.		ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.

	נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}:\mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.		נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.

	תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).		תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).

אריאל ב־06:51, 14 בינואר 2018

2018-01-14T06:51:02Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:51, 14 בינואר 2018
שורה 180:		שורה 180:

	תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).		תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).

			==תמונות חלקיות==

			'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f[A]=\{f(a)\|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}[B]=\{a\in X\|f(a)\in B\}</math>.

			שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[B]</math> לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>).

			==== דוגמאות ====
			תהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> פונקצית דריכלה. אזי <math>D[\mathbb{Q}]=\{1\},D^{-1}[\{1\}]=\mathbb{Q}=D^{-1}[(0.5, 18)]</math>

			תהא <math>f:X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}[Y]=X</math>

			תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f[(-0.5,3/4)]=\{-1,0\},f^{-1}[\{1\}]=[1,2)</math>


			===תרגיל===
			תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}[f[A]]</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע

			====פתרון====

			יהא <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f[A]</math> ולכן <math>a\in f^{-1}[f[A]]</math>.

			נראה את ההכלה בכיוון השני אם <math>f</math> חח"ע:

			יהא <math>x\in f^{-1}[f[A]]</math> לכן <math>f(x) \in f[A]</math> לכן <math>\exists a\in A : f(x)=f(a)</math>. כיוון ש <math>f</math> חח"ע נובע כי <math>x=a\in A</math>

			דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>

			===תרגיל===

			תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ותהיינה <math>A,B\subseteq X</math>. הוכיחו: <math>f[A\triangle B]=f[A]\triangle f[B]</math> <math>\iff</math> <math>f</math> חח"ע

אריאל: /* פונקציות המכבדות יחס שקילות */

2018-01-06T20:20:58Z

פונקציות המכבדות יחס שקילות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:20, 6 בינואר 2018
שורה 173:		שורה 173:
	ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:		ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

	<math>(x_1,y_1)~(x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.		<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

	ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.		ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.

אריאל: /* פונקציות המכבדות יחס שקילות */

2018-01-06T20:20:15Z

פונקציות המכבדות יחס שקילות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:20, 6 בינואר 2018
שורה 153:		שורה 153:

	== פונקציות המכבדות יחס שקילות ==		== פונקציות המכבדות יחס שקילות ==
	'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי R יחס שקילות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>		'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>. אומרים כי '''<math>f</math> מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>

	כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>.		כלומר אם <math>a</math> שקול ל <math>b</math> אזי <math>f(a)=f(b)</math>.

	למה זה טוב?		למה זה טוב?
	כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>		כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>

	טענה: g אכן פונקציה		טענה: <math>g</math> אכן פונקציה

	הוכחה:		הוכחה:

	1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.		1. <math>g</math> שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

	2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת g מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.		2. <math>g</math> חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת <math>f</math> כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת <math>g</math> מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.


	'''דוגמא לחידוד'''		'''דוגמא לחידוד'''

	~~נגדיר פונקציה~~ <math>f:\mathbb{Z}\~~rightarrow~~ \mathbb{Z}</math> ~~ע"י~~<math>f(a)=a^2</math>. ~~לאילו~~ <math>n</math>~~-ים~~ <math>f</math> מוגדרת היטב על <math>\~~mathbb~~{Z}_n</math>?		ראינו מעל <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

			<math>(x_1,y_1)~(x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

			ראינו (שקל לראות) שזהו יחס שקילות. ושמבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה היא אוסף המעגלים עם רדיוס חיובי והראשית.

			נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}:\mathbb{R}</math> ע"י: <math>f((a,b))=a\cdot b</math>. האם היא מוגדרת היטב על קבוצת המנה? לא! למשל <math>f((\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}\neq 0=f((1,0))</math>, אך הם שקולים לפי היחס.

			תנו דוגמא לפונקציה שכן מוגדרת היטב. למשל המרחק מהראשית (או כל פונקציה של זה).

אריאל ב־19:52, 6 בינואר 2018

2018-01-06T19:52:14Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:52, 6 בינואר 2018
שורה 151:		שורה 151:

	קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.		קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.

			== פונקציות המכבדות יחס שקילות ==
			'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה, ויהי R יחס שקילות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>

			כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>.

			למה זה טוב?
			כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>

			טענה: g אכן פונקציה

			הוכחה:

			1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

			2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת g מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.


			'''דוגמא לחידוד'''

			נגדיר פונקציה <math>f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}</math> ע"י<math>f(a)=a^2</math>. לאילו <math>n</math>-ים <math>f</math> מוגדרת היטב על <math>\mathbb{Z}_n</math>?

Mathzeta2 ב־14:57, 6 בינואר 2018

2018-01-06T14:57:30Z

@@ שורה 44: / שורה 44: @@
 * תהא פונקציה <math>f:A\to B</math> אזי <math>g:A\to \mathrm{im}(f) </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי <math>g(a)=f(a)</math> היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של <math>g</math> להיות התמונה של <math>f</math>).
 * תהא <math>A\subseteq B</math>  אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת לכל <math>a\in A</math> לפי  <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (אם <math>A=B</math> זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
 ===תרגיל===
@@ שורה 54: / שורה 62: @@
 היא כן על: לכל זוג סדור <math>(n,m)</math> הפונקציה ששולחת את 1 ל-<math>n</math>, ואת 2 ל-<math>m</math>, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
 ===תרגיל===
@@ שורה 75: / שורה 75: @@
 הערה: הדבר אינו נכון אם <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
 ==הרכבת פונקציות והפיכות==
@@ שורה 143: / שורה 151: @@
 קיבלנו ש-<math>g</math> חח"ע ועל, כלומר הפיכה. נכפול את הנתון ב-<math>g^{-1}</math> מימין ומשמאל ונקבל כי <math>f=g^{-1}\circ g^{-1}</math> ואז <math>f</math> הפיכה כהרכבה של פונקציות הפיכות.