תרגול 14 תשעח - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תרגיל */

2018-01-21T08:18:46Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:18, 21 בינואר 2018
שורה 22:		שורה 22:

	פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה.		פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה.

			חח"ע: נניח <math>F(f)=F(g)</math> לכן <math>(f(1),f(2))=(g(1),g(2))</math>, ולכן <math>f(1)=g(1)\land f(2)=g(2)</math> וזו אותה פונקציה.

			על: יהי <math>(a,b)\in A\times A</math>, הפונקציה שמוגדרת ע"י <math>1\mapsto a,2\mapsto b</math> היא מקור.

	===משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)===		===משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)===

אריאל: /* פתרון */

2018-01-21T08:16:07Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:16, 21 בינואר 2018
שורה 15:		שורה 15:
	==== פתרון ====		==== פתרון ====
	נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\varnothing\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\varnothing \mapsto \{1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה.		נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\varnothing\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\varnothing \mapsto \{1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה.

			הפיכה כי יש לה הופכית: <math>f^{-1}:P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}\to P(\mathbb{N})</math> ע"י <math>\{1\}\mapsto \varnothing,\{n\geq 2\}\mapsto \{n-1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון נשלחת לעצמה.

	===תרגיל ===		===תרגיל ===

Mathzeta2 ב־22:39, 20 בינואר 2018

2018-01-20T22:39:07Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:39, 20 בינואר 2018
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול\|דף מערכי התרגול]].

			=עוצמות=

			'''הגדרה.''' יהיו <math>A,B</math> שתי קבוצות. אזי:
			*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע ועל אז אומרים של-<math>A</math> ול-<math>B</math> '''יש אותה עוצמה'''. סימון <math>\|A\|=\|B\|</math>.
			*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע אז אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה או שווה לזו של <math>B</math>. סימון <math>\|A\|\leq\|B\|</math>.
			* אם <math>\|A\|\leq\|B\|</math> וגם <math>\|A\|\not=\|B\|</math> אזי אומרים כי העוצמה של <math>A</math> קטנה ממש מהעוצמה של <math>B</math>. סימון <math>\|A\|<\|B\|</math>.

			הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת <math>f:A\to B </math> על אזי <math>\|B\|\leq \|A\|</math>.

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===
	הוכיחו כי <math>\|P(\mathbb{N})\|=\|P(\mathbb{N})-\{\~~emptyset~~\}\|</math>		הוכיחו כי <math>\|P(\mathbb{N})\|=\|P(\mathbb{N})-\{\varnothing\}\|</math>.

	==== פתרון ====		==== פתרון ====
	נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\~~emptyset~~\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\~~emptyset~~ \mapsto \{1\}</math> וכל B שאינה נקודון ואינה ~~קבוצה ריקה נשלחת~~ לעצמה.		נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\varnothing\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\varnothing \mapsto \{1\}</math> וכל <math>B</math> שאינה נקודון ואינה הקבוצה הריקה נשלח לעצמה.

	===תרגיל ===		===תרגיל ===
	הוכיחו כי <math>\|A\times A\| = \|A^{\{1,2\}}\|</math>		הוכיחו כי <math>\|A\times A\| = \|A^{\{1,2\}}\|</math>.

	פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה.		פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה.

	===משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)===		===משפט (קנטור-שרדר-ברנשטיין)===

	אם <math>\|B\|\leq\|A\|</math> וגם <math>\|A\|\leq\|B\|</math> אז <math>\|B\|=\|A\|</math>		אם <math>\|B\|\leq\|A\|</math> וגם <math>\|A\|\leq\|B\|</math> אז <math>\|B\|=\|A\|</math>.

			בהמשך נקצר לק.ש.ב.

	===תרגיל===		===תרגיל===
	הוכיחו: <math>\|\mathbb{Q}\cap [0,1]\|=\aleph_0</math>		הוכיחו: <math>\|\mathbb{Q}\cap [0,1]\|=\aleph_0</math>.

	====פתרון====		====פתרון====
	לפי ק.ש.ב. כי ~~מוכל ברציונאליים ומכיל~~ <math>\aleph_0</math> שברים מהצורה <math>\frac{1}{n}</math>.		לפי ק.ש.ב. כי הקבוצה מוכלת ברציונליים ומכילה <math>\aleph_0</math> שברים מהצורה <math>\frac{1}{n}</math>.


	===תרגיל===		===תרגיל===

	~~הוכח~~ כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ממשיים.		הוכיחו כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ממשיים.

	====פתרון====		====פתרון====
שורה 29:		שורה 41:
	נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>.		נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>.

	ראשית נגדיר <math>f:(0,1)\rightarrow (a,b)</math> ע"י <math>f(x)=a+(b-a)x</math> חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.		ראשית נגדיר <math>f:(0,1)\rightarrow (a,b)</math> ע"י <math>f(x)=a+(b-a)x</math> חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.

	~~ט: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל <math>\mathbb{R}</math>~~.

	ה: ~~הפונקציה~~ <math>~~tan:~~(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})~~\to~~ \mathbb{R}</math> ~~הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל~~.		טענה: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל-<math>\mathbb{R}</math>.

			הוכחת הטענה: הפונקציה <math>\tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math> הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.

	===תרגיל ===		===תרגיל ===
	תהא A קבוצה. ~~הוכח~~ כי <math>\|A\|\leq \|P(A)\|</math>		תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>\|A\|\leq \|P(A)\|</math>.

	פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A\|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> ~~היא~~ חח"ע.		פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A\|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> והיא חח"ע.

	תהא A קבוצה. ~~הוכח~~ כי <math>\|A\|\neq \|P(A)\|</math>		תהא <math>A</math> קבוצה. הוכיחו כי <math>\|A\|\neq \|P(A)\|</math>.

	פתרון: נניח בשלילה כי <math>\|A\|= \|P(A)\|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים <math>x\in A</math> כך ש <math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי <math>x\notin f(x)=x</math> סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת X מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. ~~משל/~~		פתרון: נניח בשלילה כי <math>\|A\|= \|P(A)\|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של <math>A</math> ולכן, מכיוון ש-<math>f</math> על, קיים <math>x\in A</math> כך ש-<math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת <math>X</math> נקבל כי <math>x\notin f(x)=X</math>, סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת <math>X</math> מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. מש"ל.

אריאל: יצירת דף עם התוכן "=== תרגיל === הוכיחו כי $|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|$ ==== פתרון ==== נגדיר פונקציה $f:P(\mathbb..."$

2018-01-20T18:41:03Z

יצירת דף עם התוכן "=== תרגיל === הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|</math> ==== פתרון ==== נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb..."

דף חדש

=== תרגיל ===
הוכיחו כי <math>|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|</math>

==== פתרון ====
נגדיר פונקציה <math>f:P(\mathbb{N})\to P(\mathbb{N})-\{\emptyset\} </math> ע"י <math>\{n\}\mapsto \{n+1\},\emptyset \mapsto \{1\}</math> וכל B שאינה נקודון ואינה קבוצה ריקה נשלחת לעצמה.

===תרגיל ===
הוכיחו כי <math>|A\times A| = |A^{\{1,2\}}|</math>

פתרון: הפונקציה <math>F:A^{\{1,2\}}\to A\times A</math> המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2))</math> הפיכה.

===משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)===

אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>

===תרגיל===
הוכיחו: <math>|\mathbb{Q}\cap [0,1]|=\aleph_0</math>

====פתרון====
לפי ק.ש.ב. כי מוכל ברציונאליים ומכיל <math>\aleph_0</math> שברים מהצורה <math>\frac{1}{n}</math>.

===תרגיל===

הוכח כי עוצמת כל הקבוצות הבאות שווה - כל קטעים מהצורה <math>[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]</math> כאשר <math>a<b</math> ממשיים.

====פתרון====

נראה שכולם שווי עוצמה לקטע <math>(0,1)</math>.

ראשית נגדיר <math>f:(0,1)\rightarrow (a,b)</math> ע"י <math>f(x)=a+(b-a)x</math> חח"ע ועל. השאר עם ק.ש.ב.

ט: הקטע <math>(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> בעל עוצמה שווה ל <math>\mathbb{R}</math>.

ה: הפונקציה <math>tan:(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}</math> הפיכה בתחום הזה ולכן חח"ע ועל.

===תרגיל ===
תהא A קבוצה. הוכח כי <math>|A|\leq |P(A)|</math>

פתרון: נגדיר את הפונקציה <math>f:A|\to P(A)</math> ע"י <math>a \mapsto \{a\}</math> היא חח"ע.

תהא A קבוצה. הוכח כי <math>|A|\neq |P(A)|</math>

פתרון: נניח בשלילה כי <math>|A|= |P(A)|</math> אזי קיימת <math>f: A\to P(A)</math> הפיכה, בפרט על. נגדיר <math>X=\{a\in A: a\notin f(a)\}</math>. זוהי תת קבוצה של A ולכן, מכיוון ש f על, קיים <math>x\in A</math> כך ש <math>f(x)=X</math>. האם <math>x\in X</math>? אם לא, לפי הגדרת X נקבל כי <math>x\notin f(x)=x</math> סתירה. אם כן אז <math>x\in X=f(x)</math> אבל לפי הגדרת X מתקיים <math>x\notin f(x)</math> סתירה. משל/

תרגול 14 תשעח - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תרגיל */

אריאל: /* פתרון */

Mathzeta2 ב־22:39, 20 בינואר 2018

אריאל: יצירת דף עם התוכן "=== תרגיל === הוכיחו כי |P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}| ==== פתרון ==== נגדיר פונקציה f:P(\mathbb..."

אריאל: יצירת דף עם התוכן "=== תרגיל === הוכיחו כי $|P(\mathbb{N})|=|P(\mathbb{N})-\{\emptyset\}|$ ==== פתרון ==== נגדיר פונקציה $f:P(\mathbb..."$