תרגול 5 תשעז - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* פתרון */

2022-11-08T09:31:58Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:31, 8 בנובמבר 2022
שורה 134:		שורה 134:


	ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל:		ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל: <math>A=\{1,2\},B=\{1\},C=\{2\}</math>.

	===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===		===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===

אריאל: /* פתרון */

2022-11-08T09:30:48Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:30, 8 בנובמבר 2022
שורה 98:		שורה 98:
	=====פתרון=====		=====פתרון=====

	א. הוכחה, טבלת שייכות.		א. הוכחה אפשרית - טבלת שייכות (קצת תלוי מרצה)

	פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות:		פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות:
שורה 134:		שורה 134:


	ב. הפרכה, רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה.		ב. הפרכה אפשרית: רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה. או פשוט מנסים. למשל:

	===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===		===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===

אריאל: /* הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם */

2018-04-24T11:37:27Z

הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:37, 24 באפריל 2018
שורה 154:		שורה 154:
	ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math>		ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math>

	ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{N}\~~setminus~~ A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>		ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>

	הוכחה:		הוכחה:

אריאל: /* הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם */

2018-04-24T11:36:55Z

הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:36, 24 באפריל 2018
שורה 150:		שורה 150:
	נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי		נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי

	א. <math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} ~~A_i~~ = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>		א. <math>\bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>

	ב. <math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} ~~A_i~~ = \varnothing </math>		ב. <math>\bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing </math>

	ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{N}\setminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>		ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{N}\setminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>
שורה 162:		שורה 162:
	ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.		ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.

	ג. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.		ג. נתייחס ל-<math>\mathbb{R}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.

אריאל: /* הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם */

2018-04-24T11:35:07Z

הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:35, 24 באפריל 2018
שורה 150:		שורה 150:
	נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי		נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי

	<math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>		א. <math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>

	<math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \varnothing </math>		ב. <math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \varnothing </math>

			ג. נגדיר <math>B_n=\mathbb{N}\setminus A_n</math>. חשבו את <math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n</math>

	הוכחה:		הוכחה:
שורה 159:		שורה 161:

	ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.		ב. מספיק להראות <math>A_1\cap A_2=\phi</math>.

			ג. נתייחס ל-<math>\mathbb{N}</math> כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z}</math>.

אריאל: /* הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם */

2018-04-17T11:18:23Z

הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:18, 17 באפריל 2018
שורה 148:		שורה 148:
	דוגמא:		דוגמא:

	נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי		נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי

	<math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>		<math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>

אריאל: /* פתרון */

2017-11-25T18:29:46Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:29, 25 בנובמבר 2017
שורה 99:		שורה 99:

	א. הוכחה, טבלת שייכות.		א. הוכחה, טבלת שייכות.

			פתרון נוסף: דרך גרירות לוגיות:

			<math>x\in A\cap (B\setminus C) \iff</math>
			<math>(x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)] \iff</math>
			<math>[(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>

			בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:

			<math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff</math>
			<math>[(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)]</math>

			וזה בדיוק מה שרצינו.

			הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:

			בכיוון (<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>, ולכן

			<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>

			<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>

			<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>

			בכיוון (<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>. לכן

			<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Rightarrow</math>

			<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math>

			(כי אם <math>x\in C</math> אז <math>x\in A\cap C</math> סתירה)

			<math>x\in A\cap(B\backslash C)</math>


	ב. הפרכה, רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה.		ב. הפרכה, רואים ע"י טבלת שייכות ואז מוצאים את הדוגמא המתאימה.

אריאל: /* קבוצות */

2017-11-19T06:39:42Z

קבוצות

@@ שורה 72: / שורה 72: @@
 <math> A \triangle C = \{1,\{1\},\{1,2\}\}</math>
 ====תרגיל====
 הוכח כי:
 א. הקבוצה הריקה <math>\varnothing=\{\}</math> מוכלת בכל קבוצה A
@@ שורה 99: / שורה 80: @@
 ג.  <math>\varnothing \cup A = A  </math>
-====פתרון====
+=====פתרון=====
 א. יש להוכיח את הפסוק הבא: <math>\forall a\in\varnothing : a\in A</math>. אבל מכיוון שאין איברים בקבוצה הריקה, המשפט הזה נכון '''באופן ריק'''. זכרו ששקר גורר כל דבר, לכן האטום "איבר a שייך לקבוצה הריקה" גורר כל דבר.
 הערה: שימו לב שעל מנת להוכיח שקבוצה A אינה מוכלת בקבוצה B, יש להראות כי '''קיים''' איבר בA שאינו שייך לB. אם היינו משתמשים בפסוק "כל האיברים בA אינם בB" היינו מקבלים שהקבוצה הריקה לא מוכלת בכל קבוצה, וגם אינה מוכלת בכל קבוצה.
@@ שורה 106: / שורה 87: @@
 ג. <math>x\in \varnothing \cup A \iff x\in \varnothing \or x\in A\ \iff F \lor x\in A \iff x\in A </math>
 ===הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם===
@@ שורה 119: / שורה 114: @@
 דוגמא:
-נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \;  A_n:=[n,n+1]</math> אזי
+נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \;  A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n)</math> אזי
-<math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) </math>
+<math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} </math>
 <math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \varnothing  </math>

אריאל: /* תרגיל */

2017-11-19T06:25:47Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:25, 19 בנובמבר 2017
שורה 30:		שורה 30:
	א. <math>B</math>__<math>A</math>		א. <math>B</math>__<math>A</math>

	ב. <math>A ~~_ C~~</math>		ב. <math>C</math>__<math>A</math>

	ג. <math>B</math>__<math>C</math>		ג. <math>B</math>__<math>C</math>

אריאל: /* תרגיל */

2017-11-19T06:25:08Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:25, 19 בנובמבר 2017
שורה 28:		שורה 28:
	נסמן <math>A=\{ 1,2,3\} ,B=\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} ,C=\{1 \} ,D=\{ \{1\} \}</math>. השלימו ע"י הכלה או שייכות:		נסמן <math>A=\{ 1,2,3\} ,B=\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} ,C=\{1 \} ,D=\{ \{1\} \}</math>. השלימו ע"י הכלה או שייכות:

	א. <math>B</math>__<math>A</math>		א. <math>B</math>__<math>A</math>
	ב. <math>A~~</math>__<math>~~C</math>
			ב. <math>A _ C</math>

	ג. <math>B</math>__<math>C</math>		ג. <math>B</math>__<math>C</math>

	ד. <math>A</math>__<math>D</math>		ד. <math>A</math>__<math>D</math>

	ה. <math>B</math>__<math>D</math>		ה. <math>B</math>__<math>D</math>
	ו. <math>D</math>__<math>C</math>
			ו. <math>D</math>__<math>C</math>

	===איחוד, חיתוך, הפרש והפרש סימטרי===		===איחוד, חיתוך, הפרש והפרש סימטרי===