תרגול 8 תשעז - היסטוריית גרסאות

תום: /* פתרון */

2017-12-05T17:04:44Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:04, 5 בדצמבר 2017
שורה 16:		שורה 16:
	====פתרון====		====פתרון====
	<math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff </math>		<math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff </math>

	<math>(x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff</math>		<math>(x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff</math>

	<math>(x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff</math>		<math>(x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff</math>

	<math>(x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff</math>		<math>(x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff</math>

	<math>(x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math>		<math>(x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math>

Mathzeta2 ב־01:27, 2 בדצמבר 2017

2017-12-02T01:27:58Z

הצגת שינויים

Mathzeta2 ב־17:37, 24 באוקטובר 2017

2017-10-24T17:37:41Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:37, 24 באוקטובר 2017
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול\|דף מערכי התרגול]].

	=יחסים=		=יחסים=
	==המכפלה הקרטזית==		==המכפלה הקרטזית==

אריאל: /* יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים */

2017-07-25T16:10:57Z

יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:10, 25 ביולי 2017
שורה 33:		שורה 33:
	הגדרה: תהי קבוצה A. '''יחס הזהות''' הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש: <math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>.		הגדרה: תהי קבוצה A. '''יחס הזהות''' הוא <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש: <math>I_A=R=\{(a,a):a\in A\}</math>.

	הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> '''~~היחס ההרכבה/~~הכפל''' הוא היחס: <math>~~S\circ R~~=\{(a,c)\in A\times C \| \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}</math>		הגדרה: יהיו A,B,C קבוצות, ו<math>R\subseteq A\times B, S\subseteq B\times C</math> '''יחס הכפל''' הוא היחס: <math>RS=\{(a,c)\in A\times C \| \exists b\in B : (a,b)\in R \land (b,c)\in S\}</math>

	===תרגיל===		===תרגיל===
	יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם:		יהיו <math>A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}</math>. נגדיר את היחס: <math>R=\{(1,3),(2,4)\}</math>. בדוק האם:

	א. <math>R^{-1}~~\circ R~~=I_A</math>		א. <math>RR^{-1}=I_A</math>

	ב. <math>~~R\circ~~ R^{-1}=I_B</math>		ב. <math>R^{-1}R=I_B</math>

	==תכונות של יחסים על קבוצה==		==תכונות של יחסים על קבוצה==

אמונה77: /* תכונות של יחסים על קבוצה */

2017-01-03T08:45:22Z

תכונות של יחסים על קבוצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:45, 3 בינואר 2017
שורה 49:		שורה 49:
	#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)		#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)
	#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)		#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)
	#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A:\~~not~~ (aRb\land bRa)</math>)		#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A: \lnot (aRb\land bRa)</math>)

	דוגמאות:		דוגמאות:

Relweiz: /* תכונות של יחסים על קבוצה */

2017-01-01T13:39:11Z

תכונות של יחסים על קבוצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:39, 1 בינואר 2017
שורה 59:		שורה 59:
	*יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי		*יחס 'a מחלק את b' הינו רפלקסיבי וטרנזיטיבי
	*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי		*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי

			'''הערה:''' יחס יכול להיות גם סימטרי וגם אנטי סימטרי. וכמו כן הוא יכול להיות לא זה ולא זה! לדוגמא: <math>A=\{ 1,2,3\} , R=\{ (1,1)\} , S=\{ (1,2),(2,1),(3,2)\}</math> ואז R גם וגם, S לא ולא.

Relweiz: /* תכונות של יחסים על קבוצה */

2017-01-01T13:26:44Z

תכונות של יחסים על קבוצה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:26, 1 בינואר 2017
שורה 49:		שורה 49:
	#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)		#R נקרא '''סימטרי''' אם aRb גורר שגם bRa (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \rightarrow (b,a)\in R]</math>)
	#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)		#R נקרא '''טרנזיטיבי''' אם יחס בין ראשון לשני, ויחס בין השני לשלישי גורר יחס בין הראשון לשלישי (מתקיים <math>\forall a,b,c\in A:[((a,b)\in R) \and ((b,c)\in R) \rightarrow ((a,c)\in R)]</math>)
	#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A:\~~lor~~ (aRb\land bRa)</math>)		#R נקרא '''אנטי סימטרי (חלש)''' אם aRb וגם bRa גורר כי a=b (מתקיים <math>\forall a,b\in A:[(a,b)\in R \and (b,a)\in R \rightarrow a=b]</math> ובאופן שקול: <math>\forall a\neq b\in A:\not (aRb\land bRa)</math>)

	דוגמאות:		דוגמאות:

Relweiz ב־13:25, 1 בינואר 2017

2017-01-01T13:25:56Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =יחסים=
 הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.
@@ שורה 40: / שורה 41: @@
 ב. <math>R\circ R^{-1}=I_B</math>

אמונה77 ב־11:50, 1 בינואר 2017

2017-01-01T11:50:15Z

@@ שורה 6: / שורה 6: @@
 דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>
 ===תרגיל===
-הוכח/הפרך:
+הוכח שלכל קבוצות A,B,C,D מתקיים <math>(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)</math>
 ====פתרון====
+<math>(x,y)\in (A\times B)\cap (C\times D) \iff (x,y)\in A\times B \land (x,y)\in C\times D \iff (x\in A \and y\in B) \and (x\in C\and y\in D) \iff (x\in A\and x\in C) \and (y\in B\and y\in D) \iff (x,y)\in (A\cap C)\times (B\cap D)</math>
 ==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
@@ שורה 46: / שורה 22: @@
 הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.
-סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.
+סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb, או <math>(a,b)\in R</math>. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.
@@ שורה 53: / שורה 29: @@
 הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
 <math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math>

אמונה77: יצירת דף עם התוכן "=יחסים= הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - $A\time..."$

2016-12-29T15:34:22Z

יצירת דף עם התוכן "=יחסים= הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\time..."

דף חדש

=יחסים=
הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - <math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\}</math>. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים <math>(1,2),(2,1)</math> והאיבר הבא הינו זוג חוקי <math>(1,1)</math>.

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: <math>A=\{1,2,3\}</math> ו<math>B=\{a,b\}</math> אזי מתקיים <math>A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}</math>

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

===תרגיל===
הוכח/הפרך:

1. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\}</math>

2. <math>[(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}</math>

====פתרון====

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית <math>a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\}</math>

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי <math>\{a\}=\{c\}</math> או ש <math>\{a\}=\{c,d\}</math>.

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, <math>\{a,b\}=\{c,b\}=\{c\}</math> או <math>\{c,b\}=\{c,d\}</math> ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

===תרגיל===
הוכח שלכל קבוצות A,B,C מתקיים <math>A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)</math>

====פתרון====
<math>(x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in C)] \iff (x,y)\in[(A\times B)\cap(A\times C)]</math>

==יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים==
הגדרה: יהיו A,B קבוצות, <math>R\subseteq A\times B</math> אזי R יקרא יחס (בין A ל -B).
הרעיון שעומד בבסיסו של יחס הוא האפשרות "להשוות" בין איברי A ל B
דוגמא: <math>A=\{1,2,3\},B=\{0,2,6\}</math> ונביט בתת הקבוצה <math>R\subseteq A\times B</math> הבאה: <math>R=\{(1,2),(1,6),(2,2),(2,6),(3,6)\}</math>. מה מיוחד בזוגות אלה?

זוגות אלה הינן כל זוגות האיברים (a,b) כך ש <math>a\leq b</math>. (כלומר הגדרנו את היחס המייצג "קטן שווה")

הערה: יחס לא חייב לייצג חוקיות מסוימת למשל גם הקבוצה <math>S=\{(1,2),(1,6),(2,0),(2,2)\}</math> היא יחס. גם <math>\emptyset</math> היא יחס. וגם <math>A\times B</math> הוא יחס.

סימון: אם זוג מסוים, (a,b), נמצא בקבוצת היחס R נהוג לסמן aRb. (אם יש משמעות ליחס כמו לעיל ניתן גם לסמן פשוט <math>a\leq b</math>.

דוגמא: נביט בקבוצת האנשים A. נגדיר את יחס "בן של" על ידי קבוצת הזוגות הסדורים <math>R\subseteq A\times A</math> כך ש <math>(x,y)\in R</math> אם"ם x הוא בן של y. שימו לב שיש משמעות לכיוון היחס, שכן יש הבדל בין העובדה שאני הבן של מישהו לבין העובדה שהוא הבן שלי.

הגדרה: בהינתן יחס <math>R\subseteq A\times B</math> '''היחס ההפוך''' <math>R^{-1}\subseteq B\times A</math> הוא היחס המוגדר ע"י היפוך הזוגות הסדורים:
<math>R^{-1}=\{(b,a):aRb\}</math>

תרגול 8 תשעז - היסטוריית גרסאות

תום: /* פתרון */

Mathzeta2 ב־01:27, 2 בדצמבר 2017

Mathzeta2 ב־17:37, 24 באוקטובר 2017

אריאל: /* יחסים כתת קבוצה של הזוגות הסדורים */

אמונה77: /* תכונות של יחסים על קבוצה */

Relweiz: /* תכונות של יחסים על קבוצה */

Relweiz: /* תכונות של יחסים על קבוצה */

Relweiz ב־13:25, 1 בינואר 2017

אמונה77 ב־11:50, 1 בינואר 2017

אמונה77: יצירת דף עם התוכן "=יחסים= הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - A\time..."

אמונה77: יצירת דף עם התוכן "=יחסים= הגדרה: '''המכפלה הקרטזית''' של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל ה'''זוגות הסדורים''' - $A\time..."$