תרגול 9 תשעז - היסטוריית גרסאות

Relweiz ב־12:13, 8 בינואר 2020

2020-01-08T12:13:28Z

@@ שורה 48: / שורה 48: @@
 *טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
 *אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>.
 ====תרגיל====
@@ שורה 89: / שורה 97: @@
 שימו לב ש-<math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר.

Relweiz ב־12:10, 8 בינואר 2020

2020-01-08T12:10:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:10, 8 בינואר 2020
שורה 49:		שורה 49:
	*אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>.		*אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>.

	==חסמים==		====תרגיל====
			הוכיחו שאם <math>R</math> יחס סדר מלא על <math>A</math>, ו- <math>a\in A</math> איבר מינימלי יחיד אז הוא גם קטן ביותר.

			==חסמים (בד"כ לא מלמדים בהנדסה)==
	'''הגדרות.''' יהיו <math>A</math> קבוצה, <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה המוכלת בה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי:		'''הגדרות.''' יהיו <math>A</math> קבוצה, <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה המוכלת בה ו-<math>R</math> יחס סדר חלקי:
	*חסם מלעיל של <math>B</math> הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>		*חסם מלעיל של <math>B</math> הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>

אריאל: /* תרגיל */

2018-05-29T11:17:36Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:17, 29 במאי 2018
שורה 29:		שורה 29:
	===תרגיל===		===תרגיל===

	תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal ~~and minimal~~} \}</math>		תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ is an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal } \}</math>

	====פתרון====		====פתרון====

Mathzeta2: /* חסמים */

2017-12-09T22:04:18Z

חסמים

@@ שורה 71: / שורה 71: @@
 נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של <math>B</math> הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא <math>2</math> ולכן הוא החסם העליון של <math>B</math>. אין חסם מלרע ל-<math>B</math> ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.
-'''הגדרה.''' יהי <math>R</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math>. אם לכל שני איברים <math>a,b\in A</math> מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי <math>R</math> נקרא '''יחס סדר מלא'''.
+'''הגדרה:'''
-למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא.
+על <math>A\times B</math> נגדיר יחס סדר חלקי הנקרא '''היחס המילוני''' <math>R</math> לפי
 שימו לב כי זו דוגמה ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.

Mathzeta2: /* יחסי סדר */

2017-12-09T21:49:10Z

יחסי סדר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:49, 9 בדצמבר 2017
שורה 39:		שורה 39:
	כיוון שני: יהי <math>(a,b) \in R</math>, אזי כיון ש-<math>a</math> מקסימלי נובע <math>b=a</math> ולכן <math>(a,b)=(a,a)		כיוון שני: יהי <math>(a,b) \in R</math>, אזי כיון ש-<math>a</math> מקסימלי נובע <math>b=a</math> ולכן <math>(a,b)=(a,a)
	\in I_A</math> כדרוש.		\in I_A</math> כדרוש.

			===תרגיל===

			הוכח שאם <math>R</math> יחס סדר חלקי, אז גם היחס ההופכי שלו <math>R^{-1}</math> יחס סדר חלקי.

			====פתרון====
			*רפלקסיביות: לכל איבר <math>a</math> מתקיים <math>(a,a)\in R</math> ולכן <math>(a,a)\in R^{-1}</math>.
			*טרנזיטיביות: נניח <math>(x,y),(y,z)\in R^{-1}</math> לכן מתקיים <math>(y,x),(z,y)\in R</math> לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים <math>(z,x)\in R</math> ולכן <math>(x,z)\in R^{-1}</math>.
			*אנטי-סימטריות: אם <math>x</math> ביחס ל-<math>y</math> וגם <math>y</math> ביחס ל-<math>x</math> הדבר נכון באופן זהה ל-<math>R</math> וליחס ההופכי שלו (כי 'וגם' חילופי), ולכן <math>x=y</math>.

	==חסמים==		==חסמים==

Mathzeta2: /* תרגיל */

2017-12-09T21:41:54Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:41, 9 בדצמבר 2017
שורה 29:		שורה 29:
	===תרגיל===		===תרגיל===

	תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ an order relation} \land \forall a\in A. a \text{ is maximal and minimal} \}</math>		תהא <math>A</math> קבוצה. מצא את הקבוצה <math>\{ R\subseteq A\times A:R\text{ an order relation} \land \forall a\in A, a \text{ is maximal and minimal} \}</math>

	====פתרון====		====פתרון====

Mathzeta2 ב־21:39, 9 בדצמבר 2017

2017-12-09T21:39:25Z

הצגת שינויים

Mathzeta2 ב־17:37, 24 באוקטובר 2017

2017-10-24T17:37:52Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:37, 24 באוקטובר 2017
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול\|דף מערכי התרגול]].

	==יחסי סדר==		==יחסי סדר==
	'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי		'''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

Relweiz ב־10:16, 20 ביוני 2017

2017-06-20T10:16:10Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==יחסי סדר==
 '''הגדרה:''' יחס R על A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי
@@ שורה 34: / שורה 6: @@
 *היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות
 *היחס 'מחלק את ' על הטבעיים
 '''הגדרה.''' דיאגרמת הסה Hesse הינה דיאגרמה של יחס סדר חלקי על קבוצה. כל איבר המקושר לאיבר מתחתיו 'גדול' ממנו ביחס. נצייר את דיאגרמת הסה ליחס הכלה על קבוצת החזקה של הקבוצה <math>A=\{1,2,3\}</math>.
@@ שורה 51: / שורה 26: @@
 צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימלים והמקסימלים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?
-'''הערה:'''
+===תרגיל===
-עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי עליה. נסמן <math>(A,\leq )</math>  את הקבוצה עם היחס
 '''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:
 *חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>

אריאל ב־08:53, 20 ביוני 2017

2017-06-20T08:53:28Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:53, 20 ביוני 2017
שורה 50:		שורה 50:
	צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה <math>A=\{1,2,...,10\}</math> מהם האיברים המינימלים והמקסימלים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?		צייר את דיאגרמת הסה של היחס "מחלק את" על הקבוצה <math>A=\{1,2,...,10\}</math> מהם האיברים המינימלים והמקסימלים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?
	צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימלים והמקסימלים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?		צייר את היחס ההפוך של "מחלק את", זהו היחס "מתחלק ב". מהם האיברים המינימלים והמקסימלים? האם קיים איבר קטן ביותר ואיבר גדול ביותר?

			'''הערה:'''
			עבור <math>A</math> קבוצה ויחס סדר חלקי עליה. נסמן <math>(A,\leq )</math> את הקבוצה עם היחס


			'''הגדרות.''' יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:
			*חסם מלעיל של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(y,x)\in R </math>
			*חסם מלרע של B הוא איבר <math>x\in A</math> כך שמתקיים <math>\forall y\in B:(x,y)\in R </math>
			*החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן <math>sup(B)</math>
			*החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן <math>inf(B)</math>

			=== דוגמאות ===

			'''דוגמא'''
			עבור <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות. החסם העליון שלה הוא (ביחס להכלה) הוא
			<math>\cup _{i\in I} A_i </math>

			'''דוגמא.'''

			נביט בקבוצה <math>A=\{1,2,3,4,5\}</math> ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

			<math>R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}</math>

			(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

			נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד <math>B=\{1,3,5\}</math>. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה <math>\{2,4\}</math>. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

			'''הגדרה.''' יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים <math>[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]</math> אזי R נקרא '''יחס סדר מלא'''.

			למשל: היחס 'קטן שווה' על השלמים/הממשיים הוא יחס סדר מלא.
			שימו לב כי זו דוגמא ליחס סדר בלי איברים מינימליים או מקסימליים.