88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2 - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תרגיל */

2021-07-11T08:40:18Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:40, 11 ביולי 2021
שורה 485:		שורה 485:
	===תרגיל===		===תרגיל===
	ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?		ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?

			כן: מגדירים את A ע"י חלוקה ל-3 מקרים: מעל האלכסון 0, מתחת כמו B, באלכסון חצי מ-B.

Harel530 ב־07:59, 11 ביולי 2021

2021-07-11T07:59:17Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:59, 11 ביולי 2021
שורה 443:		שורה 443:

	'''תכונות''':		'''תכונות''':
	*<math>(A^t)^t=A</math>		*<math>tr(A^t)=tr(A)</math>
	*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>		*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
	*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>		*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל 3.7 */

2021-07-09T07:08:07Z

תרגיל 3.7

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:08, 9 ביולי 2021
שורה 267:		שורה 267:
	\end{array}\right)</math>		\end{array}\right)</math>

			=== תרגיל ===
			תהא
			<math>A=\left(\begin{array}{ccc}1 & * & \\0 & & 3\end{array}\right)</math>
			ונתון שלמערכת לא בהכרח הומוגנית קיימים שני הפתרונות
			<math>\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)</math>.
			האם המטריצה <math>A</math> יכולה להיות בצורה קנונית?
	===תרגיל 3.7===		===תרגיל 3.7===
	תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>B=(v,w,v+w,v-w,w-v)</math> חשב את AB		תהא מערכת Ax=b, יהיה v פתרון למערכת הלא-הומוגנית ו-w פתרון למערכת ההומוגנית Ax=0. נגדיר <math>B=(v,w,v+w,v-w,w-v)</math> חשב את AB

אחיה בר-און: /* עקבה */

2020-07-10T09:42:11Z

עקבה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:42, 10 ביולי 2020
שורה 437:		שורה 437:

	'''תכונות''':		'''תכונות''':
			*<math>(A^t)^t=A</math>
	*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>		*<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
	*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>		*<math>tr(AB)=tr(BA)</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל 4.5 */

2020-07-10T09:40:40Z

תרגיל 4.5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:40, 10 ביולי 2020
שורה 361:		שורה 361:

	לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.		לכן, בכל שדה ממאפיין שונה מ-2 (כלומר סכום שתי אחדות אינו אפס) קל לראות שאיברי האלכסון '''חייבים''' להיות אפס. לעומת זאת, בכל שדה ממאפיין שתים קל לראות שהמטריצה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> הינה אנטי סימטרית שכן אם <math>1+1=0</math> נובע ש<math>1=-1</math> ולכן מתקיים ש <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>. כמו כן, ברור שאיברי האלכסון של המטריצה הנ"ל שונים מאפס.

			===תרגיל===
			מצאו מטריצה ממשית שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית. הוכיחו כי קיימת מטריצה יחידה כזאת.

	==מטריצות ריבועיות==		==מטריצות ריבועיות==

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-10T07:48:17Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:48, 10 ביולי 2020
שורה 472:		שורה 472:
	====פתרון====		====פתרון====
	לא. למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.		לא. למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.

			===תרגיל===
			ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>A+A^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> כך ש- <math>B=A+A^t</math>?

אחיה בר-און: /* אלגברת מטריצות */

2020-07-10T06:29:58Z

אלגברת מטריצות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:29, 10 ביולי 2020
שורה 43:		שורה 43:


	הגדרה: '''כפל מטריצות''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times k}</math> (שימו לב שמספר העמודות של A זהה למספר השורות של B ) אזי המכפלה		הגדרה: '''כפל מטריצות''' יהיו <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n},\, B\in \mathbb{F}^{n\times p}</math> (שימו לב שמספר העמודות של A זהה למספר השורות של B ) אזי המכפלה
	<math>AB\in \mathbb{F}^{m\times k}</math> והאיבר הij בכפל AB מוגדר להיות <math>[AB]_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}</math>		<math>AB\in \mathbb{F}^{m\times k}</math> והאיבר הij בכפל AB מוגדר להיות <math>[AB]_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}</math>

אחיה בר-און: /* תכונות */

2020-07-10T06:29:03Z

תכונות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:29, 10 ביולי 2020
שורה 88:		שורה 88:
	=== תכונות ===		=== תכונות ===
	כאשר הפעולות מוגדרות מתקיים כי		כאשר הפעולות מוגדרות מתקיים כי
	*כפל מטריצות קיבוצי כלומר (AB)C=A(BC).		*כפל מטריצות קיבוצי כלומר <math>(AB)C=A(BC)</math>.

	(לא מומלץ לעשות בתירגול) הוכחה: נסמן		(לא מומלץ לעשות בתירגול) הוכחה: נסמן

אריאל: /* תרגיל */

2019-07-14T07:36:39Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:36, 14 ביולי 2019
שורה 468:		שורה 468:

	===תרגיל===		===תרגיל===
	ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה ~~סיממטרית~~ <math>B\in \mathbb{F}^{m\times m}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש- <math>B=AA^t</math>?		ראינו למעלה שלכל מטריצה <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים שהמטריצה <math>AA^t</math> הינה סימטרית. האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, האם לכל מטריצה סימטרית <math>B\in \mathbb{F}^{m\times m}</math> קיימת <math>A\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש- <math>B=AA^t</math>?

	====פתרון====		====פתרון====
	לא. למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.		לא. למשל המטריצה הסימטרית <math>B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> לא כזו כי אילו הייתה <math>A</math> מתאימה אז לפי תרגיל קודם כל איברי האלכסון היו אי-שליליים בסתירה.

אריאל: /* תרגיל 4.5 */

2019-07-14T07:26:27Z

תרגיל 4.5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:26, 14 ביולי 2019
שורה 351:		שורה 351:
	א. תהי A מטריצה ריבועית ממשית (כלומר שאיבריה משדה הממשיים) אנטי סימטרית. הוכח שכל איברי האלכסון שלה שווים לאפס.		א. תהי A מטריצה ריבועית ממשית (כלומר שאיבריה משדה הממשיים) אנטי סימטרית. הוכח שכל איברי האלכסון שלה שווים לאפס.

	ב. האם הטענה נכונה למטריצות ריבועיות אנטי סימטריות מעל שדות אחרים? אפיין בדיוק את השדות מעליהם הטענה נכונה.		ב. (כשמלמדים שדות סופיים) האם הטענה נכונה למטריצות ריבועיות אנטי סימטריות מעל שדות אחרים? אפיין בדיוק את השדות מעליהם הטענה נכונה.

	====פתרון====		====פתרון====