88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5 - היסטוריית גרסאות

Yinon120: /* פתרון */

2021-07-31T19:58:35Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:58, 31 ביולי 2021
שורה 1,036:		שורה 1,036:
	לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>.		לפי משפט השלישי חינם מספיק למצוא <math>p(x)\in W</math> ואז הוא יהווה בסיס. הנה דוגמא <math>p(x)=(x-1)(x-2)</math>.

	ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+~~A_2~~=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>.		ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+W_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>.

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

Ilai: /* תלות לינארית */

2021-07-31T17:54:29Z

תלות לינארית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:54, 31 ביולי 2021
שורה 323:		שורה 323:
	יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי		יהא <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math>. יהיו וקטורים <math>v_1,...,v_n\in V</math> כלשהם אזי
	# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .		# ה'''צ"ל הטריוואלי''' הוא צירוף לינארי שכל המקדמים שווים 0 (ואז גם הצירוף שלהם שווה 0). כלומר הצירוף לינארי <math>0v_{1}+0v_{2}+\cdots0v_{n}=0</math> .
	# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''~~בילתי~~ תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>		# נאמר ש <math>v_1,...,v_n\in V</math> '''בלתי תלויים לינארית''' אם אם הצ"ל ה'''יחידי''' שמתאפס הוא הצ"ל הטרוויאלי. באופן שקול אם יש צ"ל שמתאפס אזי הוא הצ"ל הטרוויאלי. ובסימונים: <math>\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots\alpha_{n}v_{n}=0 \Rightarrow \forall i \alpha_i = 0</math>
	# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>		# <math>v_1,...,v_n\in V</math> יקראו '''תלויים לינארית''' אם הם לא בלתי תלויים לינארית. באופן שקול אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> לא כולם אפס כך שמתקיים <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

אחיה בר-און: /* תכונות */

2021-07-15T19:29:06Z

תכונות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:29, 15 ביולי 2021
שורה 51:		שורה 51:
	#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!)		#<math>span(W)=W</math> (רק אם <math>W</math> ת"מ!)
	#מסקנה: אם <math>A\subseteq span(B)</math> אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>)		#מסקנה: אם <math>A\subseteq span(B)</math> אז <math>span(A)\subseteq span(B)</math> (הוכחה: <math>span(A)\subseteq span(span(B))=span(B)</math>)

			==== תרגיל ====
			יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>S_{1},S_{2}</math> תתי קבוצות. הוכיחו/הפירכו:
			# <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\supseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math>
			# <math>\sp S_{1}\triangle\sp S_{2}\subseteq\sp\left(S_{1}\triangle S_{2}\right)</math>

	===תרגילים===		===תרגילים===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-23T17:59:43Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:59, 23 ביולי 2020
שורה 1,068:		שורה 1,068:

	האם קיימת מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!)		האם קיימת מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!)

	~~=== תרגיל ===~~
	~~תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n}ֱ</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית.~~

	הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה) אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> שפורשים את <math>\mathbb{F}^{n}</math> מתקיים כי גם <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> פורשים את <math>\mathbb{F}^{n}</math>.)

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-23T13:18:33Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:18, 23 ביולי 2020
שורה 1,072:		שורה 1,072:
	תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n}ֱ</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית.		תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n}ֱ</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית.

	הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה) אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> שפורשים את <math>\F^{n}</math> מתקיים כי גם <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> פורשים את <math>\F^{n}</math>.)		הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה) אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> שפורשים את <math>\mathbb{F}^{n}</math> מתקיים כי גם <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> פורשים את <math>\mathbb{F}^{n}</math>.)

			=== תרגיל ===
			יהא <math>V</math> מ"ו. יהיו <math>W_{1}\subseteq W_{2}</math> תתי מרחבים. הוכיחו/הפירכו: כל בסיס של <math>W_{2}</math> ניתן לצמצום לבסיס של <math>W_{1}</math>.

	===תרגיל 7.17===		===תרגיל 7.17===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-23T13:17:13Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:17, 23 ביולי 2020
שורה 1,065:		שורה 1,065:

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===
	הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\F^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\F^{n\times n}</math>.		הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math>.

	האם קיימת מטריצה <math>A\in\F^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!)		האם קיימת מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!)

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

אחיה בר-און: /* תרגיל = */

2020-07-23T13:15:07Z

תרגיל =

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:15, 23 ביולי 2020
שורה 1,057:		שורה 1,057:
	\end{array}\right\}</math>		\end{array}\right\}</math>

	=== תרגיל ====		=== תרגיל ===
	.2 תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{3}[x]</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר		.2 תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{3}[x]</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר
	<math>W_{1}=span\left\{ 2-x+x^{2},x+x^{4}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid\begin{array}{c}		<math>W_{1}=span\left\{ 2-x+x^{2},x+x^{4}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid\begin{array}{c}
שורה 1,063:		שורה 1,063:
	4a_{1}+8a_{2}-2a_{3}=2a_{0}		4a_{1}+8a_{2}-2a_{3}=2a_{0}
	\end{array}\right\}</math>		\end{array}\right\}</math>

			=== תרגיל ===
			הוכיחו לכל מטריצה <math>A\in\F^{5\times5}</math> מתקיים שהמטריצות <math>\left\{ I,A,A^{2},\dots,A^{25}\right\}</math> ת"ל במרחב <math>V=\F^{n\times n}</math>.

			האם קיימת מטריצה <math>A\in\F^{5\times5}</math> כך ש <math>\left\{ I,A,\dots,A^{24}\right\}</math> בת"ל?? (שאלה קשה!)

			=== תרגיל ===
			תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n}ֱ</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית.

			הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה) אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> שפורשים את <math>\F^{n}</math> מתקיים כי גם <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> פורשים את <math>\F^{n}</math>.)

	===תרגיל 7.17===		===תרגיל 7.17===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2020-07-23T13:11:14Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:11, 23 ביולי 2020
שורה 1,032:		שורה 1,032:

	ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+A_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>.		ב. '''בסיס לסכום:''' ראשית נציג אותם כנפרשים, ע"י מציאת הפתרונות למשוואות בהגדרת תתי-המרחבים: <math>W_1=span\{-1+x^2,-1+x\},W_2=span\{-4+x^2,-2+x\}</math>. לכן נקבל: <math>W_1+A_2=span\{-1+x^2,-1+x,-4+x^2,-2+x\}</math>, ואז נמצא את הבסיס ע"י למצוא מבין אלה וקטורים שהצ"ל נותן 0 אמ"ם הטריוויאלי, ונקבל ששלושת הראשונים עושים זאת. קיבלנו<math>\dim(W_1+W_2)=3=\dim(\mathbb{R}_2[x])</math>, ולכן <math>W_1+W_2=\mathbb{R}_2[x]</math>.

			=== תרגיל ===
			תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}^{4}</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר
			<math>W_{1}=span\left\{ \left(\begin{array}{c}
			2\\
			-1\\
			1\\
			0
			\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}
			0\\
			1\\
			0\\
			1
			\end{array}\right)\right\}</math>

			ו <math>W_{2}=\left\{ \left(\begin{array}{c}
			a_{1}\\
			a_{2}\\
			a_{3}\\
			a_{4}
			\end{array}\right)\mid\begin{array}{c}
			a_{1}-3a_{2}-5a_{3}=a_{4}\\
			4a_{2}+8a_{3}-2a_{4}=2a_{1}
			\end{array}\right\}</math>

			=== תרגיל ====
			.2 תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{3}[x]</math>, מצאו בסיס ל <math>W_{1},W_{2}</math> ולסכום ולחיתוך שלהם כאשר
			<math>W_{1}=span\left\{ 2-x+x^{2},x+x^{4}\right\}</math> ו <math>W_{2}=\left\{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\mid\begin{array}{c}
			a_{0}-3a_{1}-5a_{2}=a_{3}\\
			4a_{1}+8a_{2}-2a_{3}=2a_{0}
			\end{array}\right\}</math>

	===תרגיל 7.17===		===תרגיל 7.17===

גלעד997: /* תלות לינארית */

2020-07-21T20:22:57Z

תלות לינארית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:22, 21 ביולי 2020
שורה 574:		שורה 574:

	'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.		'''מסקנה:''' אם <math>v_1</math> הינו צירוף לינארי של האחרים ניתן להסיר אותו במובן הבא: <math>span\{v_1,...,v_n\}=span\{v_2,...,v_n\}</math>.
			====תרגיל ====
			תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> נגדיר <math>p_{1}(x)=2+6x-5x^{2},p_{2}(x)=1+2x-3x^{2},p_{3}(x)=1-2x-5x^{2}</math> האם <math>p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)</math> בת"ל? אם לא, מצאו צי"ל לא טריוואלי שמתאפס.

			====תרגיל ====
			תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי
			<math>\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.

			====תרגיל ====
			תרגיל: יהא V מ"ו ויהיו <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> וקטורים. אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1},v_{2}+v_{1},\dots,v_{n}+v_{1}</math> גם בת"ל.

			====תרגיל ====
			יהא <math>\mathbb{F}^n</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה)
			אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל.)

			====תרגיל ====
			תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהא <math>A\in V</math> הפיכה. הוכיחו/הפריכו: <math>A,A^{2}</math> בת"ל.

	===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===		===ושוב, בחזרה למערכות משוואות לינאריות===

גלעד997: /* צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span) */

2020-07-21T20:21:57Z

צירופים לינאריים והמרחב הנפרש (span)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:21, 21 ביולי 2020
שורה 311:		שורה 311:

	יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>		יש שני משתנים תלויים- x,y ושני משתנים חופשיים- z,w. נסמן z=t, w=s ונקבל פתרון כללי מהצורה <math>\big(\frac{t-s}{2},\frac{t+s}{2},t,s\big)</math>

	~~====תרגיל ====~~
	תרגיל: במרחב <math>V=\mathbb{R}_{2}[x]</math> נגדיר <math>p_{1}(x)=2+6x-5x^{2},p_{2}(x)=1+2x-3x^{2},p_{3}(x)=1-2x-5x^{2}</math> האם <math>p_{1}(x),p_{2}(x),p_{3}(x)</math> בת"ל? אם לא, מצאו צי"ל לא טריוואלי שמתאפס.

	~~====תרגיל ====~~
	תרגיל: יהא <math>V</math> מ"ו ויהיו <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> וקטורים. הוכיחו/הפריכו: אם <math>v_{1},v_{2},v_{3}</math> בת"ל בזוגות (כלומר כל זוג וקטורים שונים בת"ל) אזי
	~~<math>\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\}</math> בת"ל.~~

	~~====תרגיל ====~~
	תרגיל: יהא V מ"ו ויהיו <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> וקטורים. אם <math>v_{1},\dots,v_{n}</math> בת"ל אזי הוקטורים <math>v_{1},v_{2}+v_{1},\dots,v_{n}+v_{1}</math> גם בת"ל.

	~~====תרגיל ====~~
	~~יהא <math>\mathbb{F}^n</math> מ"ו ו <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. הוכיחו: (<math>A</math> הפיכה)~~
	~~אמ"מ (לכל <math>v_{1},\dots,v_{m}</math> בת"ל מתקיים כי <math>Av_{1},\dots,Av_{m}</math> בת"ל.)~~

	~~====תרגיל ====~~
	~~תרגיל: יהא <math>V=\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהא <math>A\in V</math> הפיכה. הוכיחו/הפריכו: <math>A,A^{2}</math> בת"ל.~~

	==תלות לינארית==		==תלות לינארית==