88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב' - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־11:59, 29 באוגוסט 2018

2018-08-29T11:59:53Z

יהודה שמחה ב־08:29, 28 באוגוסט 2018

2018-08-28T08:29:22Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:29, 28 באוגוסט 2018
שורה 2:		שורה 2:
	=המבחן של פרופ' זלצמן=		=המבחן של פרופ' זלצמן=
	==שאלה 1==		==שאלה 1==
	תהי סדרה <math>a_n</math>, ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה		תהי סדרה <math>a_n</math> , ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה

	===הוכחה===		===הוכחה===
	~~על-מנת~~ להוכיח ש- <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> .		על־מנת להוכיח כי <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> .

	נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\~~epsilon~~>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל- <math>r</math> עד כדי <math>\~~epsilon~~</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.		נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\varepsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.

	לכן, עבור <math>\~~frac1{n}~~</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל- <math>r</math> עד כדי <math>\~~frac1{n}~~</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל <math>r</math> עד כדי <math>\~~frac2{n}~~</math> (המרחק בין גבול ~~תת-הסדרה~~ לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי ~~תת-הסדרה~~ לגבול ~~תת-הסדרה~~). נבחר איברים כאלה ~~מתתי-הסדרות~~, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\~~frac2{n}~~</math> מ- <math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל- <math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>		לכן, עבור <math>\frac1n</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac1n</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac2n</math> (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\frac2n</math> מ־<math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל־<math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	==שאלה 2==		==שאלה 2==
שורה 15:		שורה 15:

	===א===		===א===
	<math>\~~sum~~ (-1)^n\tan\left(\~~frac1{n}~~\right)</math>		<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right)</math>

	נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:		נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

	<math>\~~lim~~\frac{\tan\left(\~~frac1{n}~~\right)}{\~~frac1~~{n}~~}=\lim~~\frac{\sin\left(\~~frac1{n}~~\right)}{\~~frac1{n}~~\cdot\cos\left(\~~frac1{n}~~\right)}=1</math>		<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1</math>

	ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.		ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

	קל לראות ש- <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל- <math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''.		קל לראות כי <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־<math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''.

	===ב===		===ב===
	<math>\~~sum~~ (-1)^~~n\cdot e~~^\~~frac1~~{\log(n)}</math>		<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)}</math>

	קל לראות ש- <math>e^\~~frac1~~{\log(n)}\~~to 1~~</math> ולכן הטור '''מתבדר'''.		קל לראות כי <math>e^\frac{1}{\log(n)}\to1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''.

	===ג===		===ג===
	<math>\~~sum~~ (-1)^n{\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n~~\cdot~~ \log^3(n)}}</math>		<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3}</math>

	בערך מוחלט זה קטן מ- <math>\~~sum~~\~~frac1~~{n\~~cdot~~ log^3(n)}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור <math>\~~sum~~\frac{2^n}{2^n(\log(2^n))^3}=\~~sum~~\~~frac1~~{n^3~~\cdot (~~\log^3(2)}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''.		בערך מוחלט זה קטן מ־<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור
			<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''.

	==שאלה 3==		==שאלה 3==
	ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה		ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה

	==שאלה 4==		==שאלה 4==
	זהה וסווג נקודות ~~אי-רציפות~~:		זהה וסווג נקודות אי־רציפות:
	===א===		===א===
	<math>(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math>		<math>(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math>

יהודה שמחה ב־23:27, 30 בינואר 2016

2016-01-30T23:27:28Z

הצגת שינויים

ארז שיינר ב־08:30, 17 בפברואר 2012

2012-02-17T08:30:28Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:30, 17 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
			[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
	=המבחן של פרופ' זלצמן=		=המבחן של פרופ' זלצמן=
	==שאלה 1==		==שאלה 1==

ארז שיינר: /* הפרכה */

2011-03-12T10:38:06Z

הפרכה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:38, 12 במרץ 2011
שורה 105:		שורה 105:

	===הפרכה===		===הפרכה===
	למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(\frac{1}{x^2})</math>, <math>f(0)=0</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הינה <math>2xsin(\frac{1}{x^2})-2\frac{1}{x}cos(\frac{1}{x^2})</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\rightarrow\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math>.		למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(\frac{1}{x^2})</math>, <math>f(0)=0</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הינה <math>2xsin(\frac{1}{x^2})-2\frac{1}{x}cos(\frac{1}{x^2})</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\rightarrow -\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math>.

ארז שיינר: /* הפרכה */

2011-03-11T18:54:06Z

הפרכה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:54, 11 במרץ 2011
שורה 105:		שורה 105:

	===הפרכה===		===הפרכה===
	למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(\frac{1}{x^2})</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הינה <math>2xsin(\frac{1}{x^2})-2\frac{1}{x}cos(\frac{1}{x^2})</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\rightarrow\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math>.		למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(\frac{1}{x^2})</math>, <math>f(0)=0</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הינה <math>2xsin(\frac{1}{x^2})-2\frac{1}{x}cos(\frac{1}{x^2})</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\rightarrow\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math>.

ארז שיינר: /* שאלה 8 */

2011-03-11T18:53:14Z

שאלה 8

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:53, 11 במרץ 2011
שורה 103:		שורה 103:
	==שאלה 8==		==שאלה 8==
	תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב<math>(-1,1)</math>, הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת קטע סגור של <math>(-1,1)</math>		תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב<math>(-1,1)</math>, הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת קטע סגור של <math>(-1,1)</math>

			===הפרכה===
			למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(\frac{1}{x^2})</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הינה <math>2xsin(\frac{1}{x^2})-2\frac{1}{x}cos(\frac{1}{x^2})</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\rightarrow\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math>.

ארז שיינר: /* ב */

2011-03-11T18:44:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:44, 11 במרץ 2011
שורה 100:		שורה 100:

	הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל<math>2xsin(1/x)-cos(1/x)</math>. לכן הגבול שלה באפס לא קיים (אפס ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.		הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל<math>2xsin(1/x)-cos(1/x)</math>. לכן הגבול שלה באפס לא קיים (אפס ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

			==שאלה 8==
			תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב<math>(-1,1)</math>, הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת קטע סגור של <math>(-1,1)</math>

ארז שיינר: /* ב */

2011-03-11T17:46:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:46, 11 במרץ 2011
שורה 96:		שורה 96:

	כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(1/x)</math>, כאשר אנחנו מגדירים <math>f(0)=0</math>. ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט לאפס, נוכיח שהיא גם גזירה באפס. <math>f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}xsin(1/x)=0</math>.		כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(1/x)</math>, כאשר אנחנו מגדירים <math>f(0)=0</math>. ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט לאפס, נוכיח שהיא גם גזירה באפס. <math>f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}xsin(1/x)=0</math>.

			לכן ערך הנגזרת באפס הוא אפס. מהו גבול הנגזרת ב<math>x_0=0</math>?

			הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל<math>2xsin(1/x)-cos(1/x)</math>. לכן הגבול שלה באפס לא קיים (אפס ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

ארז שיינר: /* ב */

2011-03-11T17:44:02Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:44, 11 במרץ 2011
שורה 93:		שורה 93:

	===ב===		===ב===
			מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)</math>

			כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^2sin(1/x)</math>, כאשר אנחנו מגדירים <math>f(0)=0</math>. ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט לאפס, נוכיח שהיא גם גזירה באפס. <math>f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}xsin(1/x)=0</math>.