88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 3/פתרון - היסטוריית גרסאות

OfirSh: /* 5 */

2012-05-05T03:25:59Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־03:25, 5 במאי 2012
שורה 77:		שורה 77:

	הערה: אפשר גם סתם לראות ש <math>f(x)+f(2-x) \geq 1</math> ולהשתמש בהשוואת אינטגרלים.		הערה: אפשר גם סתם לראות ש <math>f(x)+f(2-x) \geq 1</math> ולהשתמש בהשוואת אינטגרלים.

			:אתה בטוח שזה נכון? אם מסתכלים נניח על <math>f(x)=2x-x^{2}</math> זה לא נכון עבור כל x.

G: /* 5 */

2012-05-04T12:58:46Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:58, 4 במאי 2012
שורה 76:		שורה 76:
	ולכן סיימנו (:.		ולכן סיימנו (:.

	הערה: אפשר גם סתם לראות ש <math>f(x)+f(2-x) \geq 1</math> ולהשתמש ~~בהשוואה~~ אינטגרלים.		הערה: אפשר גם סתם לראות ש <math>f(x)+f(2-x) \geq 1</math> ולהשתמש בהשוואת אינטגרלים.

Ohadklein: /* 5 */

2012-05-04T12:42:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:42, 4 במאי 2012
שורה 75:		שורה 75:

	ולכן סיימנו (:.		ולכן סיימנו (:.

			הערה: אפשר גם סתם לראות ש <math>f(x)+f(2-x) \geq 1</math> ולהשתמש בהשוואה אינטגרלים.

OfirSh: /* 5 */

2012-05-04T06:50:08Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:50, 4 במאי 2012
שורה 17:		שורה 17:
	== 5 ==		== 5 ==
	(זה לא לקוח מתרגילי בית קודמים!)		(זה לא לקוח מתרגילי בית קודמים!)

			'''אם מישהו יכול לעבור על זה ולראות שהכל כשורה יהיה זה נחמד.'''

OfirSh ב־05:55, 4 במאי 2012

2012-05-04T05:55:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:55, 4 במאי 2012
שורה 1:		שורה 1:
			== 1 ==

			ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 3): [http://math-wiki.com/images/e/ec/09Infi2sol7.pdf פתרון]

			== 2 ==

			ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 4): [http://math-wiki.com/images/e/ec/09Infi2sol7.pdf פתרון]

			== 3 ==

			ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 7): [http://math-wiki.com/images/b/b2/09Infi2sol8.pdf פתרון]

			== 4 ==

			ראו פתרון בקישור הבא (תרגיל מס' 8): [http://math-wiki.com/images/b/b2/09Infi2sol8.pdf פתרון]

	== 5 ==		== 5 ==
			(זה לא לקוח מתרגילי בית קודמים!)


	נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי הנתון (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).		נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי הנתון (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).

OfirSh: /* 5 */

2012-05-04T05:29:18Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:29, 4 במאי 2012
שורה 1:		שורה 1:
	== 5 ==		== 5 ==

	נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי הנתון(אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).		נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי הנתון (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).

	f קעורה <math>\Leftarrow </math> עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.		f קעורה <math>\Leftarrow </math> עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.

OfirSh: /* 5 */

2012-05-04T05:29:00Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:29, 4 במאי 2012
שורה 1:		שורה 1:
	== 5 ==		== 5 ==

	נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי ~~לעיל~~ (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).		נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי הנתון(אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).

	f קעורה <math>\Leftarrow </math> עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.		f קעורה <math>\Leftarrow </math> עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.

OfirSh: יצירת דף עם התוכן "== 5 == נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי לעיל (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?). ..."

2012-05-04T05:28:41Z

יצירת דף עם התוכן "== 5 == נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי לעיל (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?). ..."

דף חדש

== 5 ==

נראה קודם כי הפונקציה f קעורה לפי התנאי לעיל (אני לא בטוח שהחלק הזה הכרחי, אבל למה לא?).

f קעורה <math>\Leftarrow </math> עבור כל שתי נקודות בקטע, הישר המחבר בין הנקודות נמצא תחת גרף הפונקציה.

'''הוכחה (טענה)'''

יהיו <math>x_{1},x_{2}\in [0,2]</math>, ונניח בה"כ <math>x_{1}<x_{2}</math>.

משוואות הישר העובר בין שתי הנקודות היא: <math>g(x)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+f(x_{1})</math>

תהי <math>y\in [x_{1},x_{2}]</math>, נקודה בקטע בין שתי הנקודות, נרצה להראות כי <math>f(y)\geq g(y)</math> (וזה אומר שהישר מתחת לגרף הפונקציה).

קיים <math>t\in [0,1]</math> שעבורו: <math>y=tx_{1}+(1-t)x_{2}</math>, כעת נציב את <math>y</math> במשוואת הישר g.

<math>g(y)=g(tx_{1}+(1-t)x_{2})=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(tx_{1}+(1-t)x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=</math>

<math>\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}(1-t)(x_{2}-x_{1})+f(x_{1})=(1-t)(f(x_{2})-f(x_{1}))+f(x_{1})=tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})</math>

ולפי הנתון שנתון לנו, נקבל כי:

<math>f(y)=f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\geq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})=g(y)</math>.

מה שרצינו להוכיח.

'''בחזרה לתרגיל'''

ואם נחזור להוכחה המקורית, אז הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': <math>x_{1}=0, x_{2}=1</math> בקטע <math>[0,1]</math>.

וכן הפונקציה f נמצאת מעל הישר שמחבר את הנק': <math>x_{2}=1, x_{3}=2</math> בקטע <math>[1,2]</math>.

כל הישרים המחברים את הנקודות <math>(0, f(0)), (1,1)</math> נמצאים מעל הישר <math>y=x</math> בקטע <math>[0,1]</math>

כל הישרים המחברים את הנקודות <math>(1,1), (2,f(2))</math> נמצאים מעל הישר <math>y=2-x</math> בקטע <math>[1,2]</math>

(תוכיחו את זה אם בא לכם, זה באמת לא קשה)

ובסה"כ מתקיים: <math>f(x)\geq h(x)=\begin{cases}
x & \text{ if } x\in[0,1] \\
2-x & \text{ if } x\in [1,2]
\end{cases}</math>

ומכיוון ששתי הפונקציות אי שליליות, אז לפי משפט: <math>\int_{0}^{2}f(x)dx\geq \int_{0}^{2}h(x)dx</math>

אבל את האינטגרל של <math>h(x)</math> קל לחשב ומתקבל: <math>\int_{0}^{2}h(x)dx=1</math>

ולכן סיימנו (:.