88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1 - היסטוריית גרסאות

רועי91: /* תרגיל */

2023-07-22T14:35:23Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:35, 22 ביולי 2023
שורה 53:		שורה 53:

	פתרון		פתרון
	נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> ~~כפי~~ שרצינו.		נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A</math> לכן קיים מספר שלם m כך ש <math>x=2m+1</math>. קל לראות שמתקיים <math>x=2(m-1)+3</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים <math>x\in B</math> כמו שרצינו.

	ההכלה בכיוון ההפוך דומה.		ההכלה בכיוון ההפוך דומה.

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-07-12T05:39:34Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:39, 12 ביולי 2021
שורה 59:		שורה 59:
	====תרגיל ====		====תרגיל ====
	הוכיחו כי <math>\{n^2\mid n\in \mathbb{N}\}=\{n\in \mathbb{N}\mid \sqrt{n}\in \mathbb{N}\}</math>		הוכיחו כי <math>\{n^2\mid n\in \mathbb{N}\}=\{n\in \mathbb{N}\mid \sqrt{n}\in \mathbb{N}\}</math>
			==== תרגיל ====
			הוכיחו כי <math>\left\{ 8x+6y\,\mid x,y\in\mathbb{Z}\right\} =\left\{ n\in\mathbb{Z}\,\mid\exists k\in\mathbb{Z}:\,n=2k\right\}</math>

	=== פעולות על קבוצות ===		=== פעולות על קבוצות ===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-06-21T09:21:42Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:21, 21 ביוני 2021
שורה 39:		שורה 39:
	*<math>A\not\in B, A\not\subseteq B</math>		*<math>A\not\in B, A\not\subseteq B</math>

	====תרגיל====		====תרגיל (חשוב)====
	נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:		נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:
	#<math>\phi\subseteq B</math> (כן)		#<math>\phi\subseteq B</math> (כן)

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2021-06-21T09:21:23Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:21, 21 ביוני 2021
שורה 32:		שורה 32:
	::<math>\mathbb{C}=\{a+bi : a,b\in \mathbb{R}, i^2 =-1\}</math> המספרים המרוכבים		::<math>\mathbb{C}=\{a+bi : a,b\in \mathbb{R}, i^2 =-1\}</math> המספרים המרוכבים

	==== תרגיל====		==== תרגיל (חשוב!)====
	מצאו קבוצות A,B כך ש:		מצאו קבוצות A,B כך ש:
	*<math>A\in B, A\subseteq B</math>		*<math>A\in B, A\subseteq B</math>
שורה 38:		שורה 38:
	*<math>A\not\in B, A\subseteq B</math>		*<math>A\not\in B, A\subseteq B</math>
	*<math>A\not\in B, A\not\subseteq B</math>		*<math>A\not\in B, A\not\subseteq B</math>

	====תרגיל====		====תרגיל====
	נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:		נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:

בארי: /* פתרון */

2020-07-12T11:44:13Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:44, 12 ביולי 2020
שורה 319:		שורה 319:

	דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי		דרך נוספת: נגדיר את B להיות הקבוצה האוניברסאלית <math>U:=B</math> ואז צריך להוכיח כי
	<math>A\~~cap~~ A^c =U</math> וזה אכן נכון!		<math>A\cup A^c =U</math> וזה אכן נכון!


	ג. נניח בשלילה ש<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\phi\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>\phi \not=C</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תתי הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.		ג. נניח בשלילה ש<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\phi\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>\phi \not=C</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תתי הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.

אריאל: /* תרגיל */

2019-07-10T09:15:58Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:15, 10 ביולי 2019
שורה 277:		שורה 277:
	ג. קיימת A כך ש <math>A\cap P(A)\neq \emptyset</math>		ג. קיימת A כך ש <math>A\cap P(A)\neq \emptyset</math>

	ד. קיימת A כך ש <math>A\cap P(A)=P(A)</math>		ד. קיימת A סופית כך ש <math>A\cap P(A)=P(A)</math>. לגבי אינסופית תראו בבעתיד.

	פתרון:		פתרון:
שורה 292:		שורה 292:

	ד. לא, כי אז <math>P(A)\subseteq A</math> שלא ייתכן משיקולי עוצמה (בקבוצה סופית: ב <math>P(A)</math> יש יותר איברים מ Aׂׂ)		ד. לא, כי אז <math>P(A)\subseteq A</math> שלא ייתכן משיקולי עוצמה (בקבוצה סופית: ב <math>P(A)</math> יש יותר איברים מ Aׂׂ)


	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====

אריאל: /* פעולות על קבוצות */

2019-07-10T08:31:43Z

פעולות על קבוצות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:31, 10 ביולי 2019
שורה 66:		שורה 66:
	*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>.		*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>.

	*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A \~~smallsetminus~~ B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.		*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A \setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.

	*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B) \smallsetminus (A\cap B)</math>		*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B) \smallsetminus (A\cap B)</math>

אריאל: /* פעולות על קבוצות */

2019-07-10T08:30:36Z

פעולות על קבוצות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:30, 10 ביולי 2019
שורה 66:		שורה 66:
	*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>.		*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A) </math>.

	*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A/B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.		*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A \smallsetminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.

	*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B) / (A\cap B)</math>		*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B) \smallsetminus (A\cap B)</math>

	דוגמא:		דוגמא:
שורה 82:		שורה 82:
	<math> B \cap C = \emptyset</math>		<math> B \cap C = \emptyset</math>

	<math>C \~~backslash~~ A =\{\{1,2\}\}</math>		<math>C \smallsetminus A =\{\{1,2\}\}</math>

	<math> B \Delta C = B \cup C</math>		<math> B \Delta C = B \cup C</math>

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-07-09T19:29:04Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:29, 9 ביולי 2019
שורה 293:		שורה 293:
	ד. לא, כי אז <math>P(A)\subseteq A</math> שלא ייתכן משיקולי עוצמה (בקבוצה סופית: ב <math>P(A)</math> יש יותר איברים מ Aׂׂ)		ד. לא, כי אז <math>P(A)\subseteq A</math> שלא ייתכן משיקולי עוצמה (בקבוצה סופית: ב <math>P(A)</math> יש יותר איברים מ Aׂׂ)


	~~====תרגיל====~~
	~~הוכיחו או הפריכו:~~

	~~א. <math>P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)</math>~~

	~~ב. <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math>~~

	~~פתרון:~~

	~~א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff</math>~~

	~~<math>X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)</math>~~

	~~ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>. אז <math>\{1,2\} \in P(A\cup B)</math>, אבל לא ל-<math>P(A)\cup P(B)</math>.~~

	~~למעשה הוכיחו כי <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math> אם ורק אם <math>A\subseteq B</math> או <math>B\subseteq A</math>.~~

	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-07-09T19:28:22Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:28, 9 ביולי 2019
שורה 313:		שורה 313:
	==== תרגיל ====		==== תרגיל ====
	הוכיחו כי אם <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math> אז <math>A\subseteq B</math> או <math>B\subseteq A</math>		הוכיחו כי אם <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math> אז <math>A\subseteq B</math> או <math>B\subseteq A</math>

			==== תרגיל ====
			תהא <math>A\subseteq U</math>. הוכיחו כי <math>P(A^c)\setminus\{\emptyset\}\subseteq P(A)^c</math>

	===תרגיל ממבחן===		===תרגיל ממבחן===