88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7 - היסטוריית גרסאות

אחיה בר-און: /* תרגיל (ממבחן) */

2020-08-05T17:46:08Z

תרגיל (ממבחן)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:46, 5 באוגוסט 2020
שורה 211:		שורה 211:
	ולכן <math>2^{\aleph_0}=\|P(\mathbb{N})\|=2a=a</math>.		ולכן <math>2^{\aleph_0}=\|P(\mathbb{N})\|=2a=a</math>.

	=== תרגיל (~~ממבחן~~) ===		=== תרגיל ===
			נגדיר <math>X=\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>X</math> כך <math>f\sim g</math> אמ"מ הקבוצה<math>\left\{ n\in\mathbb{N}\mid f(n)\neq g(n)\right\}</math> סופית

			הוכיחו כי <math>\sim</math> יח"ש

			לכל <math>f\in X</math>, מצאו את העוצמה של <math>[f]</math>.

			מצאו את העוצמה של קבוצת המנה.

			=== תרגיל ===
	תהא <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>.		תהא <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>.

שורה 220:		שורה 229:
	תהא <math>C\subseteq\mathbb{N}</math>. נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא <math>C</math> (כלומר <math>A\cap B=C</math>). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.		תהא <math>C\subseteq\mathbb{N}</math>. נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא <math>C</math> (כלומר <math>A\cap B=C</math>). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.

	נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא לכל היותר בן 10 איברים (כלומר <math>\left\|A\cap B\right\|\leq10</math> ). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.רמז: <math>\cup_{B\in I}X_{B}</math> כאשר <math>I=\left\{ B\subseteq\mathbb{N}\mid\left\|B\right\|=10\right\}</math> ו <math>X_{B}=\left\{ S\in X\mid B\subseteq S\right\}</math>		נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא לכל היותר בן 10 איברים (כלומר <math>\left\|A\cap B\right\|\leq10</math> ). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.רמז: <math>\cup_{B\in I}X_{B}</math> כאשר <math>I=\left\{ B\subseteq\mathbb{N}\mid\left\|B\right\|=10\right\}</math> ו <math>X_{B}=\left\{ S\in X\mid B\subseteq S\right\}</math>


	===תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===		===תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===

אחיה בר-און: /* תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן) */

2020-08-05T16:01:36Z

תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

@@ שורה 210: / שורה 210: @@
 ה: נסמן <math>|W|=a</math>. בנוסף <math>\bigcup_{\{A,A^c\}\in W}\{A,A^c\}=P(\mathbb{N})</math>
 ולכן <math>2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=2a=a</math>.
 ===תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-08-14T15:18:18Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:18, 14 באוגוסט 2019
שורה 181:		שורה 181:

	פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{R})</math> ע"י		פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{R})</math> ע"י
	<math>f\mapsto Im(f)</math> טענה: <math>A\subseteq Im(F)</math> הוכחה: תהא <math>X\in A</math> ומהגדרת A, נסיק כי X מעוצמה הטבעיים ולכן קיימת <math>f:\mathbb{R}\to X</math> חח"ע ועל ולכן <math>F(f)=Im(f)=X</math>. מסקנה מכך <math>\|A\|\leq \|Im(F)\|\leq \|\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\|=\aleph^{\aleph_0}=\aleph</math>. לפי ק.ש.ב <math>\|A\|=2^{\aleph_0}=\aleph</math>		<math>f\mapsto Im(f)</math> טענה: <math>A\subseteq Im(F)</math> הוכחה: תהא <math>X\in A</math> ומהגדרת A, נסיק כי X מעוצמה הטבעיים ולכן קיימת <math>f:\mathbb{N}\to X</math> חח"ע ועל ולכן <math>F(f)=Im(f)=X</math>. מסקנה מכך <math>\|A\|\leq \|Im(F)\|\leq \|\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\|=\aleph^{\aleph_0}=\aleph</math>. לפי ק.ש.ב <math>\|A\|=2^{\aleph_0}=\aleph</math>

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

אחיה בר-און: /* תרגיל */

2019-08-14T15:17:25Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:17, 14 באוגוסט 2019
שורה 180:		שורה 180:
	נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: \|X\|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה?		נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: \|X\|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה?

	פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\{~~0,1\~~}^{\mathbb{N}}\to A</math> ~~המוגדרת~~ <math>f\mapsto~~\begin{cases}~~		פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{R})</math> ע"י
	f~~^{-1}[1] & \|f^{-1}[1]\|=~~\~~aleph_{0}~~\\		<math>f\mapsto Im(f)</math> טענה: <math>A\subseteq Im(F)</math> הוכחה: תהא <math>X\in A</math> ומהגדרת A, נסיק כי X מעוצמה הטבעיים ולכן קיימת <math>f:\mathbb{R}\to X</math> חח"ע ועל ולכן <math>F(f)=Im(f)=X</math>. מסקנה מכך <math>\|A\|\leq \|Im(F)\|\leq \|\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\|=\aleph^{\aleph_0}=\aleph</math>. לפי ק.ש.ב <math>\|A\|=2^{\aleph_0}=\aleph</math>
	f^{-1}~~[0] & else~~
	\~~end{cases}~~</math> ~~היא על כי לכל~~ <math>X~~\in A~~</math> ~~המקור יכול להיות~~ <math>\~~chi_X~~</math>. לפי ק.ש.ב <math>\|A\|=2^{\aleph_0}</math>

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

Relweiz: /* תרגיל */

2019-08-14T08:47:36Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:47, 14 באוגוסט 2019
שורה 180:		שורה 180:
	נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: \|X\|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה?		נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: \|X\|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה?

	פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\~~mathbb~~{R}^{\mathbb{N}}\to A</math> המוגדרת <math>f\mapsto ~~Imf~~</math> היא על כי לכל <math>X\in A</math> ~~קיימת~~ <math>f:\~~mathbb{N}\to X~~</math> ~~הפיכה, בפרט על והיא תשמש כמקור~~. לפי ק.ש.ב <math>\|A\|=2^{\aleph_0}</math>		פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to A</math> המוגדרת <math>f\mapsto\begin{cases}
			f^{-1}[1] & \|f^{-1}[1]\|=\aleph_{0}\\
			f^{-1}[0] & else
			\end{cases}</math> היא על כי לכל <math>X\in A</math> המקור יכול להיות <math>\chi_X</math>. לפי ק.ש.ב <math>\|A\|=2^{\aleph_0}</math>

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

1593237070 ב־06:48, 14 באוגוסט 2019

2019-08-14T06:48:40Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:48, 14 באוגוסט 2019
שורה 163:		שורה 163:
	לכל <math>i\in I</math> קיימת פונקציה חח"ע ועל		לכל <math>i\in I</math> קיימת פונקציה חח"ע ועל
	<math>f_i:A\rightarrow A_i</math>.		<math>f_i:A\rightarrow A_i</math>.
	כעת נגדיר פונקציה <math>g:I\times a\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i</math> ע"י <math>g(k,x)=f_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>f_k</math> חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש<math>f_k</math> על גם g על ולכן קיבלנו את המבוקש.		כעת נגדיר פונקציה <math>g:I\times A\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i</math> ע"י <math>g(k,x)=f_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>f_k</math> חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש<math>f_k</math> על גם g על ולכן קיבלנו את המבוקש.

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===

Relweiz: /* תרגיל ממבחן תשע מועד ב (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן) */

2019-08-12T06:43:33Z

תרגיל ממבחן תשע מועד ב (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:43, 12 באוגוסט 2019
שורה 300:		שורה 300:
	דרך 2- נגדיר פונקציה <math>g:X\to P(A)^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>g((X_1,...,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases} </math>		דרך 2- נגדיר פונקציה <math>g:X\to P(A)^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>g((X_1,...,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases} </math>

	קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן <math> \|X\| =(\leq 2^{~~\|A\|~~})^{\aleph_0} = ~~\leq~~ 2^{~~\|A\|~~\cdot \aleph_0} =2^~~{\|A\|}~~</math>		קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן <math> \|X\| \leq (2^{a})^{\aleph_0} = 2^{a\cdot \aleph_0} =2^a</math>

	דרך 3- נציג את X כאיחוד זר <math>X=\cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n</math> כאשר <math>Y_n</math> זה חלוקות סדורות של A עם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה <math>g:Y_n \to P(A)^n</math>		דרך 3- נציג את X כאיחוד זר <math>X=\cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n</math> כאשר <math>Y_n</math> זה חלוקות סדורות של A עם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה <math>g:Y_n \to P(A)^n</math>

Relweiz: /* תרגיל */

2019-08-12T06:27:04Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:27, 12 באוגוסט 2019
שורה 171:		שורה 171:
	ואז <math>\|F\|=\|\cup_{i\in \mathbb{N}}F_i\|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math>		ואז <math>\|F\|=\|\cup_{i\in \mathbb{N}}F_i\|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math>

	=== תרגיל ===		=== תרגיל (בש.ב.)===
	נגדיר <math>A</math> להיות ~~כלי קבוצות~~ האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה?		נגדיר <math>A</math> להיות אוסף תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה?

	פתרון: מתקיים כי <math>P(\mathbb{N})=A\cup A^c</math> כאשר A היא תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת <math>\aleph_0</math>		פתרון: מתקיים כי <math>P(\mathbb{N})=A\cup A^c</math> כאשר A היא תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת <math>\aleph_0</math>

Relweiz: /* תרגיל */

2019-08-12T06:24:01Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:24, 12 באוגוסט 2019
שורה 166:		שורה 166:

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===
	נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:\|X\|<\~~aleph_~~\}</math>. מה עוצמתה?		נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:\|X\|<\aleph_0\}</math>. מה עוצמתה?

	פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:\|X\|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>\|F_i\|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math>		פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:\|X\|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>\|F_i\|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math>

Relweiz: /* תרגיל */

2019-08-12T06:23:11Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:23, 12 באוגוסט 2019
שורה 166:		שורה 166:

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===
	נגדיר <math>A</math> להיות ~~כלי קבוצות סופיות~~ של הטבעיים. מה עוצמתה?		נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:\|X\|<\aleph_\}</math>. מה עוצמתה?

	פתרון: נגדיר <math>~~A_i~~</math> ~~להיות תת~~ הקבוצות ~~מגדול~~ <math>i</math>. אזי <math>\|~~A_i~~\|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math>		פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:\|X\|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>\|F_i\|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math>
	ואז <math>\|A\|=\|\cup_{i=0}~~^{\infty~~}\|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math>		ואז <math>\|F\|=\|\cup_{i\in \mathbb{N}}F_i\|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math>

	=== תרגיל ===		=== תרגיל ===