88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות סמסטר א תשעב - היסטוריית גרסאות

Michael: /* הודעות */

2012-02-22T18:28:47Z

הודעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:28, 22 בפברואר 2012
שורה 25:		שורה 25:
	--[[משתמש:Michael\|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)		--[[משתמש:Michael\|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

			העלתי את פתרון תרגיל 11 ואת ציוני התרגילים. מי שמוצא טעות נא להודיע לי --[[משתמש:Michael\|Michael]] 20:28, 22 בפברואר 2012 (IST)
	----		----
	לגבי התרגול היום (6.12.2011):		לגבי התרגול היום (6.12.2011):

Michael: /* קישורים */

2012-02-22T18:27:48Z

קישורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:27, 22 בפברואר 2012
שורה 15:		שורה 15:

	[http://www.math-wiki.com/images/d/d1/T11s.pdf פתרון תרגיל 11]		[http://www.math-wiki.com/images/d/d1/T11s.pdf פתרון תרגיל 11]

			[http://www.math-wiki.com/images/9/92/Odegradespdf.pdf ציוני תרגיל]

	=הודעות=		=הודעות=

Michael: /* קישורים */

2012-02-21T20:00:28Z

קישורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:00, 21 בפברואר 2012
שורה 13:		שורה 13:

	[http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו]		[http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו]

			[http://www.math-wiki.com/images/d/d1/T11s.pdf פתרון תרגיל 11]

	=הודעות=		=הודעות=

Michael: /* הודעות */

2012-01-31T21:28:32Z

הודעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:28, 31 בינואר 2012
שורה 221:		שורה 221:
	<math>f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)</math>		<math>f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)</math>

	(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" <math>x=\frac{1}{2}</math>. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)		(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" <math>t=\frac{1}{2}</math>. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)

	נפשט קצת את <math>f(t)</math>:		נפשט קצת את <math>f(t)</math>:
שורה 283:		שורה 283:
	<math>y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)</math>		<math>y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)</math>

	וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית <math>x=\frac{1}{2}</math>		וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית <math>t=\frac{1}{2}</math>

	--[[משתמש:Michael\|Michael]] 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)		--[[משתמש:Michael\|Michael]] 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)

Michael: /* הודעות */

2012-01-31T21:27:39Z

הודעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:27, 31 בינואר 2012
שורה 235:		שורה 235:
	ואז ניתן לרשום:		ואז ניתן לרשום:

	<math>f(t)=2g(t)H(t)+4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math>		<math>f(t)=2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math>

	את התמרת הלפלס של g קל לחשב:		את התמרת הלפלס של g קל לחשב:
שורה 247:		שורה 247:
	<math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math>		<math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math>

	<math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)+4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math>		<math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math>

	ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:		ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:
שורה 255:		שורה 255:
	המשוואה היא:		המשוואה היא:

	<math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}+4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math>		<math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}-4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math>

	<math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)+4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math>		<math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)-4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math>

	<math>s^2 Y(s)=(2+4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math>		<math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math>

	<math>s^2 Y(s)=(2+4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math>		<math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math>

	~~המשך יבוא..~~.		<math>Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^4}</math>

			<math>Y(s)=2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4}</math>

			נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון:

			<math>y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{ 2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4} \right\}</math>

			ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה:

			<math>y(t)=2\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}-4\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-\frac{1}{2} s} \frac{1}{s^4} \right\}+2\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-s} \frac{1}{s^4} \right\}</math>

			לפי טבלת התמרת לפלס:

			<math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}=\frac{t^3}{3!}=\frac{t^3}{6}</math>

			אם כן:

			<math>y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)</math>

			וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית <math>x=\frac{1}{2}</math>

			--[[משתמש:Michael\|Michael]] 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)

Michael: /* הודעות */

2012-01-31T17:25:37Z

הודעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:25, 31 בינואר 2012
שורה 209:		שורה 209:

	--[[משתמש:Michael\|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)		--[[משתמש:Michael\|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)


			----

			הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין:

			<math>y''=\begin{cases} 2t & 0 \le t \le \frac{1}{2} \\ 2-2t & \frac{1}{2} \le t \le 1 \end{cases}=f(t), y(0)=y'(0)=0</math>

			"כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך:

			<math>f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)</math>

			(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" <math>x=\frac{1}{2}</math>. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)

			נפשט קצת את <math>f(t)</math>:

			<math>f(t)=2t (H(t-0)-H(t-\frac{1}{2})+(2-2t) (H(t-\frac{1}{2})-H(t-1))=2t H(t)+(2-2t-2t) H(t-\frac{1}{2})-(2-2t) H(t-1)=</math>

			<math>=2tH(t)-4 (t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2 (t-1)H(t-1)</math>

			נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו:

			<math>g(t)=t</math>

			ואז ניתן לרשום:

			<math>f(t)=2g(t)H(t)+4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math>

			את התמרת הלפלס של g קל לחשב:

			<math>\mathcal{L} \{g(t)\}=\mathcal{L} \{t \}=\mathcal{L} \{t \cdot 1 \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ 1 \}=-\frac{d}{ds} \frac{1}{s}=- \left(-\frac{1}{s^2} \right)=\frac{1}{s^2}=G(s)</math>

			(השתמשתי בתכונה מהשיעור: <math>\mathcal{L} \{ t \cdot (t) \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ f(t) \}</math>)

			נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו:

			<math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math>

			<math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)+4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math>

			ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:

			<math>\mathcal{L} \{g(t-c) \cdot H(t-c)\}=e^{-cs} G(s)</math>

			המשוואה היא:

			<math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}+4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math>

			<math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)+4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math>

			<math>s^2 Y(s)=(2+4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math>

			<math>s^2 Y(s)=(2+4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math>

			המשך יבוא...

Michael: /* קישורים */

2012-01-26T20:36:40Z

קישורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:36, 26 בינואר 2012
שורה 11:		שורה 11:

	[http://www.math-wiki.com/images/5/50/Annihilator_Method.doc קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)]		[http://www.math-wiki.com/images/5/50/Annihilator_Method.doc קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)]

			[http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו]

	=הודעות=		=הודעות=

Michael: /* הודעות */

2012-01-04T16:02:21Z

הודעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:02, 4 בינואר 2012
שורה 13:		שורה 13:

	=הודעות=		=הודעות=
	'''חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113)'''		'''חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113)''' --[[משתמש:Michael\|Michael]] 18:02, 4 בינואר 2012 (IST)

	העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין.		העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין.

Michael: /* הודעות */

2012-01-04T14:07:43Z

הודעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:07, 4 בינואר 2012
שורה 13:		שורה 13:

	=הודעות=		=הודעות=
			'''חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113)'''

	העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין.		העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין.
	שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל.		שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל.
	--[[משתמש:Michael\|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)		--[[משתמש:Michael\|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)


	----		----

Michael: /* הודעות */

2012-01-03T00:33:36Z

הודעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:33, 3 בינואר 2012
שורה 202:		שורה 202:

	כאשר הקבועים הגדולים בלעו את <math>a_0</math>		כאשר הקבועים הגדולים בלעו את <math>a_0</math>

			הערה חשובה: שימו לב שלא תמיד ניתן לפתור את הרקורסיות (אפילו לא במונחים של פונקציית גמא). במקרה כזה רצוי שלפחות תפתחו את הטור לכמה איברים ראשונים.

	--[[משתמש:Michael\|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)		--[[משתמש:Michael\|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)