הבדלים בין גרסאות בדף "88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(קבוצות)
(שקילות)
שורה 35: שורה 35:
  
 
<math>A_n\rightarrow A_1</math>
 
<math>A_n\rightarrow A_1</math>
 +
 +
==דרכי הוכחה==
 +
הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:
 +
*<math>(A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)</math>
 +
*<math>A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F)</math>
 +
 +
 +
(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)

גרסה מ־14:10, 18 ביולי 2011

תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי

הצרנות

  • הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
    • לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
    • אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד (P(1)\equiv T) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
    • x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
    • כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
    • קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

קבוצות

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.

  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}, והשלמים מוכלים בממשיים \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}).

  • הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB


(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא \forall a\in A, \exists a\in A)

שקילות

הגדרה: טענות A_1,A_2,...,A_n שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).

  • הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח שA_1,A_2,...,A_n שקולות:

A_1\rightarrow A_2,

A_2\rightarrow A_3,

\vdots

A_{n-1}\rightarrow A_n,

A_n\rightarrow A_1

דרכי הוכחה

הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:

  • (A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)
  • A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F)


(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)