'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - תרגיל 4
=שאלות=
==שאלה חשובה על 6.41==
<math>A</math> מעל שדה סופי, אז קיים מספר סופי של מטריצות <math>A</math> שקיימות (בסדר <math>n*n</math> קבוע).
הייתם מצפים שמכך ינבע ש- <math>A^n</math> יתן מטריצה שונה בכל פעם, ואחת מהן תהיה <math>I</math> כי <math>I</math> נמצאת בכל שדה מטריצות.=שאלות=
אבל אולי <math>A^2=A^4=A^6</math>... וגם <math>Aציונים סופיים =A^3=A^5</math>... עוד מעט מתחיל סמס א',מתי יפורסמו הציונים הסופיים?
ונניח שהוכחנו שזה לא אפשרי (עבור <math>A \neq I</math>). אז מי אמר שאין מטריצה <math>A</math> כך ש:<math>A=A^4=A^7</math>... וגם <math>A^2פגישה=A^5=A^8</math>... וגם <math>A^3=A^6=A^9</math>... הפגישה היום (י"א תשרי) בקשר לרישום, היא עם הורים?
ונניח שהוכחנו שגם זה לא מתקיים, אז יש עוד אינסוף אפשרויות (כי יש אינסוף מספרים ראשוניים, בדומה למה שקורה בשדה <math>Z_p</math>) שאולי הן מתקיימות, מה שמונע מ-<math>A^n</math> להיות שווה <math>I</math>שאלה, אפילו שיש מספר סופי של מטריצות <math>A</math> מעל שדה סופי.באיזה שעה היא ואיפה?
==שאלה בקשר לפתרון של מועד ב==
בשאלה 8 א כתבת ש (1,0) != (1,6) אבל אנחנו נמצאים בz3 אז זה לא אומר ש (1,6)=(1,0) ואז הטענה אינה נכונה?
אז אני לא יודעת איך להוכיח את זה, ואני כבר המון זמן על התרגיל. עזרה? :(==לוגיקה=תשובה===האם הביטוי: A הפיכה וגם <math>A \neq I</math> גורר <math>A^n \neq A</math>,נכון! בכלל לא שמתי לב לשאלה. מזל שאני לא נבחנתי על זה. אני אתקן ואעלה מחדש
שקול לביטוי: A הפיכה וגם <math>A^n=A</math> גורר <math>A=I</math>תרגילים נוספים?==שלום רב,האם היו תרגולים נוספים אשר היינו אמורים להגיש (בחלקו העליון של דף זה נכתב: "הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:):") או שזו טעות?תדה מראש.
שמתי אותו בטבלת אמת ונראה לי שזה נכון===תשובה===זה לא קשור לקורס הזה בשום צורה, הייתה טעות... הגיוני?פה יש 5 תרגילים בלבד
==ציוני תרגיל==
הגשתי את תרגיל 4 ומופיע כאילו לא הגשתי אותו (מס' ת.ז. 205632516)
==שאלה 1.ג במבחן==
האם כדי להוכיח סכום ישר, לא צריך להוכיח גם סכום ז"א ש- U+W=V.
===תשובה===
לוגית המשפטים האלה אכן שקוליםברור שכן, שכחתי להוסיף את זה. אבל שניהם משפטי שקר במטריצות באופן כלליאני אעלה עוד כמה דקות תוספת לפתרון. :העלאתי את התוספת הדרושה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:52, 13 בספטמבר 2010 (IST) ==תרגילי בית==היכן ניתן למצוא תרגילי בית שלא קיבלתי חזרה? :לא ניתן למצוא אותם בשלב זה.
:עבור n טבעי גדול או שווה 2 הם משפטי אמת, לא== בקשר לציוני התרגיל ==אנחנו נקבל את הציונים של תרגילים 4 ו5? (הצלחתי להוכיח באינדוקציה)עברו כבר שבועיים והמבחן..
==מטריצות בחזקה שלילית==ידוע ש- <math>A=P^{-1}BP</math>, וגם שהמטריצות A,B,P הפיכותאני צריך לדעת בשביל להחליט אם לעשות מועד ב'. האם מכך נובע ש- <math>A^{-1}=(P^{-1}BP)^{-1}</math> ?
===תשובה===
אני מניח שמה שאתה באמת רוצה לשאול זה האם <math>(ABC)^{-הנה רשימת הציונים שיש בינתיים '''[[מדיה:10Linear1TargilTempGrade.pdf|ציוני תרגיל 1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}</math> ואם שלושת המטריצות הפיכות התשובה היא כן. אם זה בהקשר לתרגיל, זה מה שאתה צריך להוכיח פחות או יותר.4]]'''
לגבי השאלה שלך, אם נתון <math>A=D</math> אז ברור ש<math>A^{-1}=D^{-בקשת הבהרה==למה כוונתכם באמירה "הבוחן יהיה ציון מגן בלבד":1}</math> . אם A הפיכההוא גבוה משיעורי הבית אז הוא יהיה במקומם.2. אם הוא גבוה מהמבחן אז החלוקה תהיה 80% מבחן, וזה בדיוק מה שרשמת בשאלה10% בוחן, 10% שיעורים.3. אם הוא גבוה מהשיעורים אז החלוקה תהיה 80% מבחן, 10% בוחן, 10% שיעורים.4.אחר?
תודה, גל.
:למה <math>===תשובה===מתוך ציון התרגיל בלבד הוא מגן. כלומר המבחן 80 אחוז בכל מקרה (ABCאמנם זה כמו שרשמת, אבל רשמת רק אופציה אחת)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}</math> ?? ותודה על התשובה.
אם הוא גבוה משיעורי הבית זה יהיה 10 אחוז 10 אחוז, ואם נמוך זה יהיה 20 אחוז שיעורי בית. ==שאלה 1ב==תשובה לתשובה====תודה רבה על התשובה המהירה.כרגע רשום באתר המידע האישי שהמבחן 85%, אני מניח שזה יתעדכן?ומתי נקבל את ציוני תרגול 4-5 ואת השקלול הסופי של הציונים בתרגולים?שוב תודה, גל. :זה מוזר שרשום שם 85... או שזה יתעדכן או שזה ישאר ככה. אני לא חושב שזה הפרש משמעותי במיוחד. תקבלו את שאר הציונים כאשר אני אקבל אותם. ==ציונים==מתי יפרסמו את הציון הסופי או את הרכב הציון (אחוזים לכל דבר)?זה יכול להשפיע בהחלטה האם הכוונה היא להביע לגשת למועד ב'.אשמח לתשובה מהירה. ==שאלה==:האתר לא פועל בחגים, ואני עוד לא ראיתי את הוקטור u באמצעות הסקלרים הציון שלי, יש דרך כלשהי לראות את הציונים שלי?:ועוד משהו, הציונים שעלו, הם רק בלינארית, או להביע שזה גם בבדידה? תודה רבה, ושנה טובה לכולם!==ציון ביניים==מה זה אומר בדיוק? וכמה עולה לצפות במחברות הבחינה? תודה. (אגב, ציוני הביניים עלו!!): ציון ביניים = חלקי הציון הכללי לפני מעבר שקלול. הציון הסופי יעלה רק לאחר שיעלו כל ציוני הביניים.: עלות צפייה במחברת בחינה 5 ש"ח דרך כ"א. אפשר לצפות בה דרך האתר, אפשר גם להוריד אותה (ע"י לחיצה על כפתור השמירה תוך כדי הצפייה במחברת). (אינני מתרגל) ==ציון מעבר==הודיעו מתישהו מה הציון הכללי שצריך כדי לעבור? בכל מקרה, מה הציון?:באופן כללי באוניברסיטה ציון מבחן עובר הוא 60 [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:44, 7 בספטמבר 2010 (IDT)::מה זה אומר שהציון עובר, או נכשל - במבחן? מה, אי אפשר לעבור את הסקלרים באמצעות xהקורס עם נכשל במבחן?:::התכוונתי לציון סופי,yלא ציון מבחן. ציון סופי 60 זה עובר (אחרי השקלול של ציון התרגיל). [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:10,z7 בספטמבר 2010 (IDT) ==פקטור==היה במבחן בלינארית פקטור? אם כן,wכמה? ==אחוזים==בתחילת הסמסטר אמרו לנו שהציון מורכב מ: 80% מבחן, 10% בוחן, 10% ש.ב.. רציתי לדעת האם יש שינוי בהרכב הציון? :לא בטוח. אתם תראו את הציון הסופי כאשר הוא יופיע ==תרגולים 4-5==האם תעלו את הציונים שלהם בהמשך? תודה מראש.:כן, כאשר הם יתקבלו ==הערה==קודם כל אני רוצה להגיד תודה על כל העזרה עם השאלות באלגברה לינארית. אני יודע שזאת בקשה גדולה ואתם לא חייבים להיענות לה, אך המתרגלים שעד עכשיו ענו על תשובות לאלגברה לינארית, יכולים לעזור גם בבדידה? כי נראה לי שאף אחד לא נכנס לדף של בדידה... תודה רבה!! == פתרונות ==איפה מופיעים הפתרונות של המבחן???:'''[[מדיה: 10LinearTestASol.pdf|פתרון המבחן]]''' ==ציונים==איפה יופיעו הציונים?:ומתי?::לפי מה שידוע לי - בעוד כשבוע. אבל אשמח לתשובה ממרצה/מתרגל. ==תגובות לגבי פתרון המבחן==תיקונים: את שאלה 1 ו-4 לא עשיתי ככה שלא התייחסתי אליהם,בשאלה 2, הצבת את 1 במקום a ועדיין השארת a בפיתרון הכללי.. (ובמטריצה)בשאלות האמריקאיות- היה צריך להוכיח ולהפריך או רק לרשום כן/לא?תוכל בבקשה להעלות את ההגדרות, כי יש כמה גרסאות ורציתי לדעת אם יש הבדל, למשל:KerT= מרחב הפתרונות של המערכת Ax=0 כאשר A מטריצה מייצגת העתקה T, נקרא הגרעין של ההעתקה T. (KerT)/מרחב הוקטורים שההעתקה T שולחת אותם ל-0.סה"כ את שתיהן המרצה כתב לנו ושתיהן הגדרות פורמליות..
===תשובה===
להביע את הוקטור u כפתרון של מערכת משוואות. [[#שאלה מהדף]]
צודק לגבי ההצבות, באמת טעות טפשית. לא היה צריך להוכיח או להפריך, אבל אחת המטרות העיקריות של התשובות היא שמי שצריך יוכל ללמוד מהפתרון למועד ב'. (וכמובן גם מי שלא ייגש - טוב שיידע את התשובות הנכונות). לגבי ההגדרות, אני לא יודע מה המרצים יקבלו. ==ציוני הבוחן בלינאריתמבחן==עשיתי בשאלה 3 ג' בתשובות, בשלב שלפני שמתקבלת המטריצה הסופית (כפל שתי מטריצות), במטריצה השמאלית, במקום <math>a_{n,n-1}</math>, אני חושבת שאמור להיות <math>-(n-1)</math> ולא <math>-n-1</math>. נכון? :כן, תודה. ==שאלה==אם כתבתי בשאלה 2 ב' שאין בסיס וליד זה את הבוחן ותעודת הזהות שלי האות פי, זה בסדר? כי אני יודע שהבסיס הוא פי, אבל כתבתי לפני זה שאין בסיס, תודה רבה:(לא מופיעה ברשימהמתרגלת) פי? מה הקשר של פי לקבוצה ריקה?:: הכוונה היא לאות <math>\ \empty</math>, המסמנת את הקבוצה הריקה. מצד שני מופיעה תעודת זהות זהה לשלי חוץ ממספר אחד [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 31 באוגוסט 2010 (האחרוןIDT): תחליט: או שאין בסיס, או שיש בסיס והוא הקבוצה הריקה. אל מי לפנותהאפשרות הראשונה בוודאי אינה נכונה, משום שלכל מרחב וקטורי יש בסיס (את המקרה הסופי הוכחתם בקורס; המקרה הכללי הוא משפט של Hammel). הקבוצה הריקה היא הבסיס (היחיד) של מרחב האפס. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:01, 31 באוגוסט 2010 (IDT):: אני כתבתי שאין בסיס וליד זה את האות <math>\ \empty</math>, כל החישובים שלי בתרגים נכונים וגם על פי התשובות שלכם אין לי טעות אחת במבחן, הדבר היחיד שלא היה טוב זה שאחרי שהגעתי לזה שהחיתוך הוא 0 כתבתי שאין בסיס, וליד זה <math>\ \empty</math>, יורידו על זה הרבה נקודות? כי זה לא שהיה לי טעות אחרת חוץ מזה, וגם כתבתי <math>\ \empty</math> בפתרון הסופי, תודה:::יורידו אולי נקודות, אני לא יודע מראש כמה. אם אין לך טעויות חוץ מזה יהיה לך ציון טוב. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:09, 1 בספטמבר 2010 (תIDT) ==כמה שאלות לגבי פתרונות המבחן==1.זבשאלה 3א האם אפשר היה להוכיח את היותה של הקבוצה בסיס על ידי שימוש בכך ש: א. 205781990<math>|B|=N</math> ולכן משום היותה בסיס <math>dimV=n</math> ומשום <math>|C|=n</math> עפ"י הגדרתו אז <math>dimV=|C|</math>. ב. בת"ל (וגם לא הוכחתי כפי שאתם הוכחתם אלא הוכחתי בשלילה, מופיעה 205781997אמנם יצא לי יותר ארוך אבל אני מניח שזה בסדר, לא?!?). 2. ב-3ב לא יותר קצר למצוא את המטריצה הנדרשת באותו אופן שאתם מצאתם את ההופכית שלה? 3. בפתרון ל-2א יש לך טעות: הצבת a=1 וללכן לא יכול להיות שהפתרון הכללי למקרה של אינסוף פתרומנות תלוי ב-a. 4. איך נעשית חלוקת הנקודות בין הסעיפים בין השאלות הפתוחות? לכל סעיף משקל שווה? תודה מראש ושנה טובה!
===תשובה===
כנראה שזו תעודת הזהות שלך, אני אתקן
1. בת"ל ובגודל n + השלישי חינם זה סבבה. 2. אפשרי, קצר זה עניין של דעה :) 3. כן, העירו לי על כך. תודה. כמובן שצריך להציב בכל מקום שם את a ולא רק בחלק מהמקומות :) 4. לא ידוע, יוחלט בעת הבדיקה. שנה טובה ומבורכת. ==שאלה 1ה מדף העבודהאחרונה==למה אם rankAB < min{rankA,rankB} אז A וגם B אינן הפיכות? תודה! ===תשובה===כי אם A או B הפיכות, אז AB היא בעצם A או B שמבצעים עליה פעולות אלמנטריות, עשיית פעולות אלה לא משנות את מרחב השורות ובטח לא את מימדו, ואז המימד של מרחב השורות של AB היה שווה למימד המינימלי בין A ו-B ולא קטן ממש.:תודה רבה על התשובה בשעה מוקדמת! אשמח אם תוכל לענות לי על השאלה השניה לפני המבחן! תודה! ==שאלה==במבחן 2003 מועד ב' שאלה 1 (צריך למצוא את [v]c, יש טעות בתשובה? עשיתי כמה פעמים מכל הכיוונים ויצא לי תשובה 4 ולא 2. תודה! ==6.14 עמוד 62 בחוברת==בתשובות שבאתר הוספת לבסיס את (1,0,0). למה, לפי מה? :מדרגים ומוסיפים את e_i עבור כל העמודות i של המשתנים החופשיים (כלומר משלימים איברים פותחים) ::אהה.. באמת? חידשת לי. תמיד כשרוצים להשלים קבוצה בת"ל לקבוצה פורשת אז שמים את הוקטורים מהקבוצה הבת"ל בשורות מטריצה, מדרגים, ורואים אילו משתנים חופשיים יש. לאחר מכן מוסיפים קבוצה ובה וקטורים <math>e_i</math>, עבור כל עמודה i שבה יש משתנים חופשיים? יש איזה משפט קשור או משהו שמסביר למה עושים דווקא ככה? תודה. :::זה פשוט מאד, כמו שאמרתי - משלימים את האיברים הפותחים. לאחר התוספת יש n איברים פותחים (אם יש n עמודות) ואז מרחב השורות הוא ממימד n ובהכרח מרחב השורות הוא כל F^n. ==עזרה==איך מוכיחים את המשפט: יהי בסיס v1,..,vn לV וקבוצה w1,..wn בW, אז יש העתקה לינארית כך ש T(vi(=Wi? תודה! ===תשובה===לא יודע איך הוכיחו לכם בכיתה (כנראה אחרת) אבל אפשר עם המטריצה המייצגת. כלומר למצוא את המטריצה המייצגת לפי ההגדרה נקרא לה A ואז ההעתקה Tx=Ax היא העתקה לינארית שמקיימת את הדרישה.:המטריצה המייצגת '''הוגדרה''' בהתבסס על המשפט הזה ולכן אני לא חושב שמותר להשתמש בה (אני לא מתרגל). ==שיחלוף==במשוואה שכוללת מטריצות, מותר לשחלף את שני האגפים וזה ישמור על שיוויון, בלי להסביר או להוכיח (אם זה לא התרגיל), נכון?:אתה מתכוון ש-<math>A=B\iff A^T=B^T</math>? בטח שזה נכון. זו בדיוק אותה מטריצה, ופעולת השיחלוף מוגדרת היטב (חד-ערכית). אני לא מתרגל, אבל אני כמעט בטוח שלא צריך להסביר או להוכיח. ==העתקת המטריצה==בחוברת עמוד 52 שאלה 1.10 ב' - או שלא הבנתי את ההגדרה, או שיש טעות בהגדרת הטווח של ההעתקות T,S. למשל עבור העתקה T: הרי כפל של מטריצה מסדר m על n בוקטור מסדר n על 1 נותן וקטור מסדר m על 1 ולא הפוך! ועוד דבר - צריך לזכור בעל פה את ההגדרות של העתקת המטריצה, ההעתקות <math>L_A</math>, <math>T_A</math> ועוד? אם לא, אז אילו הגדרות של העתקות כן צריך לזכור בעל פה? ===תשובה===אתה צודק זה באמת צריך להיות הפוך. לא בטוח למה אתה מתכוון, אלה דברים שלמדתם בהרצאה, תלוי מה המרצה אמר שצריך לזכור. ==מושג==מה זה "מרחב האפס"?:קבוצה שהאיבר היחיד בה הוא 0, והקבוצה הזאת היא מרחב וקטורי כל התנאים של מרחב וקטורי מתקיימים.::תודה. בעמוד 50 שאלה 11.15 ד' (בחוברת), אומרים "מצא בסיס למרחב האפס של A". מה הכוונה?:::<s>הכוונה היא שתמצא בסיס למרחב <math>\{\vec0_A\}</math>, כלומר המרחב שכולל את האיבר הנייטרלי לחיבור ב-A.</s> ===תשובה===מרחב האפס בלי הקשר הוא אכן המרחב שמכיל בלבד את אפס. מרחב האפס של מטריצה, בד"כ, הוא מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית.:תודה! ==שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'==למה סכום איברי המטריצה הוא 1?? מאיפה בתשובות הוא הביא את התשיעית הזאת? המטריצה P היא <math>(0,2,1),(1,0,2),(2,1,0)</math> ולכן סכום איברי המטריצה הוא 0+2+1+1+0+2+2+1+0=9, למה 1?? תודה! ===תשובה===אתה רשמת את מטריצת המעבר מB לC. אבל P היא ההופכית שלה, מטריצת המעבר מC לB.:וואלה, תודה.. ==החוברת עמוד 48==כתוב שם שמרחב העמודות הוא תת מרחב של <math>F^n</math> כאשר <math>A</math> מסדר <math>mxn</math> ואני חושבת שמרחב העמודות הוא תת מרחב של <math>F^m</math>. לא? (כנ"ל לגבי מרחב השורות, רק הפוך) :נכון זו טעות בחוברת. ==שאלה 8 ממבחן 2002 מועד א'==איך ניגשים לשאלה כזאת? מה הקשר בין הפיכות של הפונקציה לRANK שלה? אפשר הסבר מפורט בבקשה? זה ממש מבלבל! וגם, למה נתונה מטריצה B אם היא נמצאת בשאלה בכלל? תודה רבה מראש ===תשובה===יש כמה קשרים בין השניים. למשל הrank של מטריצה ריבועית מגודל n שווה לn אם"ם היא הפיכה. אם נסתכל על זה בתור העתקות ליאריות, אז הrank הוא מימד התמונה והוא קטן ככל שמימד הגרעין גדל.:'''למה אני אמור להסיק שA אינה הפיכה ב3?'''::אם תסתכל על המשפט שרשמתי אז תראה שA הפיכה אם"ם הrank שלה הוא n אם הrank של A^2 קטן מהrank של A בוודאי הוא קטן מn ולא יכול להיות שהיא הפיכה. אבל אם A הפיכה בוודאי A^2 הייתה צריכה להיות הפיכה. ==שאלה 1 מקובץ מצורף תרגול 4==שלום רב. בשאלה התבקשנו להוכיח ש- <math>[I]_C^B</math> הפיכה. האם לא מספיק פשוט לומר ש- <math>([I]_C^B)^{-1}=[I]_B^C</math> ע"י בדיקה שאכן מתקיים שמכפלתן משני הצדדים היא <math>I</math> תודה, גל. ===תשובה===אפשר, אם ידוע המשפט שקיימת מטריצת מעבר בין כל שני בסיסים ואז להשתמש בנוסחא של מטריצת מעבר.:כלומר ש'''אם''' מבקשים ממני במהלך המבחן להוכיח את זה אסור לי להשתמש במה שאמרתי?::תלוי מה יבקשו ספציפי. אם השאלה הייתה מופיעה כמו שהיא במבחן זה היה בסדר. תשאל בזמן המבחן. ==שאלה==אם v מוכל בw וגם dim של v שווה לdim של w אזי v=w זה משפט? וכיצד ניתן להוכיח? ===תשובה===שאלה 7.7 תרגיל 4. ===לא ענית לי על שתי השאלות: זה משפט? איך מוכיחים?=== זה עובדה, ומוכיחים כמו בפתרונות שיש באתר כמובן. אפשר להשתמש בזה אלא אם צריך להוכיח את זה במפורש. ==mod==המספר -1 בZ5 כלומר <math>-1 mod 5</math> זה 1 או 4? תודה! ===תשובה===<math>-1 = 4 +(-1)\cdot 5</math> ולכן זה 4. ==שאלה==למה אם למערכת הומוגנית Ax=0 יש פתרון יחיד, אזי A הפיכה? תודה!===תשובה===קודם כל זה נכון רק אם '''A ריבועית'''. יש כמה וכמה הוכחות, למשל מטריצה ריבועית שקולת שורה למטריצת היחידה אם"ם היא הפיכה, ואם הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא לא מטריצת היחידה סימן שיש לה משתנים חופשיים ולכן יותר מפתרון אחד. דרך אחרת להסתכל על זה היא שעמודות A בת"ל אם"ם למערכת Ax=0 יש פתרון יחיד, וידוע שעמודות מטריצה ריבועית בת"ל אם"ם היא הפיכה.:תודה! ==פרטים על המבחן בעמוד הראשי==פרטים על המבחן בעמוד הראשי:מה לגבי כמה זמן המבחן ומה המבנה שלו?::כבר אמרו את זה בהרצאות.:::ומי שלא הקשיב או לא היה מרוכז? או לא היה בשיעור?::::שישאל את החברים שלו. שאלות לגבי המבחן צריכות להיות מופנות למרצים ולא למתרגלים. ===שאלה קטנה===איפה זה בניין 507? זה הבניין שאנחנו בדרך כלל לומדים בו או בניין אחר? תודה!:אנחנו לומדים ב-604.::אז אפשר הכוונה לגבי איפה זה 507?:::507 זה הבניין הגדול עם המבנה המיוחד והמגני דויד למעלה, ממש ליד הבניין שאתם לומדים בו. ==שאלה/בקשה==נכון יש משפט שאומר (אני לא יודע ממש איך לכתוב בשפה המתמטית בפורום, לכן הבינו ש2 אותיות אחרי הT פירושן שהאות הראשונה למעלה מימין והשנייה למטה מימין וכו'): <math>[T]FG=[Iw]HG[T]EH[Iv]FE</math>? אז השאלה שלי היא, למה צריך את המשפט הזה תכלס? מתי המשפט הזה עוזר? והאם מתרגל יכול, בבקשה, להביא תרגיל אחד שבו חייבים/ רצוי מאוד להשתמש במשפט הזה? תודה רבה! ===תשובה===<math>[T]_G^F=[Iw]_G^H[T]_H^E[Iv]_E^F</math> השתמשנו בנוסחא הזו בשאלה הקודמת שלך... פשוט שם הייתה גם המטריצה <math>[I]_S^S</math> שהיא שווה למטריצת היחידה ולכן לא הזכרנו אותה. == שאלה ==מבחן 2004 מועד א' שאלה אמריקאית 3.. איך מוצאים את המימדים של U ו W?:(אני לא מתרגל)- 2 הSPANים פורשים, רק תבדוק אם יש בכל אחד מהSPANים איברים שתלויים אחד בשני, אם יש- תוריד אותם, ותישאר עם בסיסים לU וW. ===תשובה===מעבירים לצורה וקטורית שמים בשורות מטריצה ומדרגים. ==מבחן תשס"ד מועד ב' חלק אמריקאי שאלה 2==התשובה לא אמורה להיות A^-1*B במקום B*A^-1? כי <math>[T]AB=[I]SB*[T]AS=(A^-1)*B</math> לא? תודה! ===תשובה===לא נתון שB הוא בסיס בכלל. [T] צריכה לקיים את המשוואה <math>[T][v]=[Tv]</math>. לכן <math>[T][v_i]=[T]v_i=[Tv_i]=w_i</math> (כי הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי שוות לוקטור עצמו). אבל <math>A^{-1}v_i=e_i</math> ואז <math>BA^{-1}v_i=Be_i=C_i(B)=w_i</math> כפי שרצינו. דרך אחרת להוכיח: (פשוט הרבה יותר) <math>[T]=[T]_S^S=[T]_S^A\cdot [I]_A^S=BA^{-1}</math> ==שאלה על הוכחה==האם ההוכחה הזאת קבילה?: נתון ש<math>AB=I</math> וכי <math>T:F^{n\times{n}}\rightarrow{F^{n\times{n}}}</math> כך ש:<math>T(X)=BX</math>, אני צריך להוכיח ש<math>T</math> על:"נניח -T לא על: לכן קיים <math>Q\in{F^{n\times{n}}}</math> כך שלכל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math><math>T(Z)\not=Q</math> לכן <math>BZ\not=Q</math> לכן <math>ABZ\not=AQ</math> כלומר- <math>Z\not=AQ</math> בסטירה לכך שהטענה נכונה עבור כל <math>Z\in{F^{n\times{n}}}</math> לכן T על? האם זה נכון? ===תשובה===כן, עדיף הוכחות כאלה לבצע בחיוב ולא בשלילה. תהי Q מטריצה כלשהיא, אזי המקור שלה הוא AQ ולהוכיח את זה. כן אבל בתרגיל הספציפי הזה אסור היה להשתמש במשפט ש<math>AB=BA=I</math> היה נתון רק ש<math>AB=I</math> == שאלה==מבחן 2 שאלה אמריקאית 2..הטענה חייבת להיות לכל Im(z)==0 אחרת זה לא יכול להתקיים: מה זה מבחן 2? איזו שנה? איזה מועד?::2005 מועד א':::נראה לי שאתה צודק... יהי <math>z=x+yi</math> ולכן <math>z^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i=x^3-3x^2yi+3xy^2+y^3i=(x-yi)^3</math> נפשט ונקבל ש- <math>6x^2yi-6xy^2-2y^3i=-6xy^2+(6x^2y-2y^3)i=0</math>. לאחר השוואה אני קיבלתי שאמנם ישנם אינסוף מקרים אבל בכולם <math>y=0=Im(z)</math> ===תשובה===[[#שאלה ממבחן 2005 מועד א]] ==מטריצות סימטריות ואנטי סימצטריות==שאלה: אם <math>A</math> ו-<math>B</math> סימטריות (שתיהן ריבועיות מאותו גודל) אז: האם <math>ABA</math> סימטרית?חשבתי על לפתור בדרך הזו: לפי סימטריות מתקיים ש: <math>A=A^t</math> וגם <math>B=B^t</math> ולכן <math>ABA=A^tB^tA^t=(BA)^tA^t=(A(BA))^t=(ABA)^t</math>. אי לכך גם <math>ABA</math> סימטרית. עם זאת, במבחן של 2003 (מועד א), זוהי שאלה 8 בחלק של האמריקאיות. אם מה שאני אומר נכון הרי שהתשובה אמורה להיות 3, אבל באתר כתוב שהתשובה היא 1. מה הטעות שלי? תודה, גל. ===תשובה===אתה צודק, ABA סימטרית אם A,B סימטריות מאותו גודל ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 11==איך פותרים שאלה כזאת? הצלחתי להבין ש<math>[T]B=(u1,u2,u3;0,0,0;w1,w2,w3)</math> (; מפריד בין עמודות)אבל איך יודעים איפה יש עוד אפסים? אם התשובה היא 2 או 4? תודה רבה!===תשובה===אני לא מתרגל אבל נראה לי שאני יכול לרמוז לך- תסתכל על הבסיס של האימג'- כל איבר בתמונה אתה יכול להציד כצירוף ליניארי שלהם.:לא הייתי עולה זה בחיים, אבל הבנתי- תודה רבה! ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 9==למה התשובה הנכונה היא- כל התשובות לא נכונות? אני זוכר שלמדנו משפטון שאומר שאם v1,..vk בת"ל אזי Tv1,..Tvk בתל כלומר 3 היא התשובה הנכונה.. לא? תודה! ===תשובה===המשפטון שאתה מזכיר מחייב T '''חח"ע'''. למשל העתקת האפס תהווה דוגמא נגדית לסעיף זה ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 4==הצלחתי להבין, בשיטת האלימנציה, שהתשובה היא T32=0, אבל אני ממש לא יודע בדיוק למה, אפשר בבקשה הסבר קצר על למה אפשר לדעת בוודאות שT32=0 ואיך אפשר להוכיח את זה? תודה! ===תשובה===נבנה בסיס לגרעין של ההעתקה. הגרעין של T^2 בהכרח '''גדול ממש''' מהגרעין של T אחרת ההעתקה תתקע על אותו מצב ולא תתאפס בחיים (אבל נתון שהיא מתאפסת). ולכן מימד הגרעין גדול ב1 לפחות. אחרי 32 צעדים כאלה נגיע לגרעין בגודל 32 - כלומר העתקת האפס. מדוע ההעתקה תתקע? אני אשאיר את זה כתרגיל.:למה גרעין בגודל 32 הוא העתקת האפס? כי המימד הוא 32?:וזה נכון לומר שהגרעין של TT חייב להיות גדול ממש מהגרעין שלT כי אם היה להם אותו מספר של איברים בגרעין אז מה שמאפס את T^1024 מאפס גם את T^1023 ואז זה אומר ש T^1023 הוא העתקת האפס, וככה עד שמגיעים ל-שT היא העתקת האפס תמיד, אבל יודעים שהיא לא העתקת האפס תמיד? תודה ::קודם כל כן, אם הגרעין בגודל 32 אז הוא כל המרחב ולכן זו העתקת האפס. ::שנית, לא זו לא הוכחה נכונה. צריך להוכיח שאם נשלים את הבסיס של הגרעין של T^n לבסיס למרחב כולו, אזי הוקטורים שהשלמנו מהווים גם בסיס לתמונה של T^{n+1} ואז ברור שההעתקה חוזרת על עצמה. לא בטוח שזו הוכחה כל כך פשוטה. ==מבחן תשס"ד מועד א' חלק אמריקאי שאלה 1==כל מה שאני יודע הוא שהאפסיות של T היא לפחות 1 כי בטוח שV שהוא לא וקטור האפס נמצא בגרעין, וגם ש TT=0 ולכן לכל u מתקיים T(Tu)=0 ולכן התמונה מוכלת בגרעין ולכן dim(ImT)<=dim(KerT). אבל כל מה שזה נותן לי זה שהמימד של V הוא לא אפס! אפשר עזרה? תודה רבה!===תשובה===המימד הוא בטוח לא 4 כי 4 זה המימד של כל ההעתקות הלינאריות, והקבוצה הזו לא מכילה את כולם. המימד הוא גם לא אפס, יש יש העתקות שונות מאפס כאלה. נותר לבחור בין 1 לבין 2. נשלים את v לבסיס בעזרת u. אם ההעתקה שונה מאפס, u חייב להשלח לסקלר כפול v (אחרת פעם שנייה שנפעיל את ההעתקה היא לא תתאפס, ישאר שם גורם עם u.) לכן כל שתי העתקות יהיו ת"ל על ידי איפוס הסקלר הזה, ולכן המימד הוא אחד.:תודה רבה, רק עוד שאלה קטנה, איך יודעים שהמימד של כל ההעתקות הוא 4? תודה! ::זה משפט שיש איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות למרחב המטריצות. ואנחנו יודעים מהו המימד של מרחב המטריצות 2 על 2:::הבנתי, תודה! ==שאלה על מכפלת מטריצת הפיכה והשחלוף שלה==טענה: עבור <math>A</math> הפיכה הרי שיתקיים ש- <math>A^t</math> הפיכה (עפ"י משפט) ולכן <math>A^tA</math> הפיכה כי מכפלת שתי מטריצות הפיכות תתן מטריצה הפיכה נוספת.השאלה שלי האם זה הסבר מספק לקיום טענה זו. אם לא, מה עליי להוסיף?ובלי קשר, האם עליי להוסיף הערה מדוע המכפלה <math>A^tA</math> מוגדרת או שזה ברור?תודה, גל. :בגדול זה בסדר, תלוי מה אתה נדרש להוכיח. בזמן מבחן שואלים את המרצה אם צריך להוכיח כך וכך. :: אוקי תודה. האם יהיו מתרגלים או מרצים כלשהם במבחן (אלי אמר שהוא לא יהיה)? אם כן, איך זה הולך? אתם נכנסים לשאלות או שחייבים לשאול לפני הבחינה? :::יהיה מי שיענה על שאלות בזמן המבחן (על שאלון המבחן ולא רמזים לפתרון כמובן) == קישורים למבחנים ==כשעשיתם עריכה לדף של לינארית הוצאתם את הקישורים למבחנים לדוגמא אפשר להחזיר אותם? תודה(::זה נמצא ב[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99&oldid=5475 היסטורית הדף]. ::הם פשוט הועברו בטעות לבדידה במקום ללינארית. הם הוחזרו למקום בדף של לינארית ==שאלה==האם נושא הדטרמיננטות כלול בחומר למבחן? אני לא מתרגל, אבל ודאי שלא ==שאלה דחופה==מחר צריך לבוא בזמן של ההרצאה (9) או בזמן של התרגול (13:00)? תודה רבה! :לא יודע מתי המרצים יגיעו. המתרגלים בגדול אמורים לבוא בזמן התרגול הרגיל. :לפי מה שידוע לי אצלנו (אלי) מתחילים ב-0900. מי שלומד עם אפי מתי צריך להגיע??לפי מה שזכור לי הוא אמר שהוא לא יבוא.. אנחנו צריכים לבוא ב9 או ב1?::אז כנראה שמי שלומד עם אפי צריך להגיע ב1, כי שיעור החזרה שלנו היה ביום שישי, ומחר יהיה לנו רק שיעור חזרה עם המתרגלים ב1.. ==חח"ע ועל של ה"ל==
שלום רב,
בתסעיף נניח ונתונה לי ה עליי למצוא בסיס שיקיים את המתבקש בסעיף.."ל <math>T:V->V</math>. האם מספיק שאני אמצא וקטור שמקיים את שתי המשוואות (כמובן שאני אראה שהוא אכן מקיים אותן נכון לומר ש <math>T</math> חח"עאם"י הצבה) או שאתם רוצים שאני אפתור את כל המשוואות עם הסקלריםם <math>T</math> על? ואם כן, אגיע לפתרון כללי ואציב ערכים לסקלרים כדי לקבל בסיס כלשהוהאם עליי להסביר במבחן מדוע? תודה רבה מראש.., גל.
===תשובה===
זה נכון ונובע ממשפט הדרגה V=dimKer+dimIm (צריך לפתור לצטט את מערכת המשוואות, לא לדעת מראש מה הפתרון ולהציב. אחרת איך אתה יודע שהוא הפתרון היחיד ומהווה בסיס?המשפט ולהסביר למה זה נובע)
למעשה הטענה היא יותר כללית. תהי T:V->W כך שהמימדים של V,W שווים, אזי T על אם"ם T חח"ע. ==שאלה 62.37 ג-ד15ב'==אם לא הצלחתי להוכיח אני רוצה למצוא את ג' (כי kerTa אז מה שצריך לעשות זה לכפול את המטריצה A במטריצה כללית מסדר 2x2 ולהשוות לאפס- ואז למצוא את המטריצה הכללית?- הכוונה במטריצה כללית זה שאני אסמן a b c d במקום קבועים במטריצה ואז אבדוק מה אני כנראה קצת מטומטםאקבל.. וזה יהיה הker? :כן, הגרעין זה מה שנשלח לאפס על ידי ההעתקה. ==שאלה==אם אני יודע ש:<math>\dim (W+U) מותר לי בכל זאת לטעון אותו כדי לפתור את ד'= \dim W + \dim U</math> וגם <math>\dim V= \dim W + \dim U</math>כאשר<math>U,W\le V</math> אז אני יכול להגיד ש:<math>U\oplus W=V</math> ?
===תשובה===
כן אתה יכול להשתמש בזה.
:(לא אני שאלתי את השאלה) למה כן? אם למשל <math>U=\{(a,0,0)\}</math>, <math>W=שאלה ראשונה מהדף\{(0,a,0)\}</math>, <math>V=\{(a,0,b)\}</math>? (כך ש-a,b שייכים ל-R):ומה ז"א: <math>U,W\le V</math>?::אתה צודק, זה לא נכון (לא אני רשמתי את התשובה הקודמת). אם נוסיף את התנאי ש-<math>U+W=V</math> זה כן יהיה נכון. <math>U,W\le V</math> משמעו <math>U,W</math> תת מרחבים של V.בסעיף a יצא לי משוואה אחת===תשובת מתרגל===המשפט נכון, והגעתי אליה והרי הוכחה: נתון U,W תתי מרחב של V. אזי ברור ש<math>U+W\subseteq V</math>. לכן לפי הנתון <math>dim(W+U)=dimV</math> יש לנו תת מרחב עם מימד שווה למרחב ולכן הם שווים <math>U+W=V</math>. כעת לפי משפט המימדים <math>dim(U+W)=dimU+dimW + dim(U\cap W)</math> ולכן לפי הנתון <math>dim(U\cap W)=0</math> ולכן <math>U \cap W = \{0\}</math>. וזה מה שצריך על ידי הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטוריםV1 V2 ןמנת להוכיח סכום ישר. תודה רבה! ואגב לזה שהביא את הדוגמה, בדוגמה שלך W לא תת מרחב של V.אפשר להשתמש בזה או שצריך להוכיח?:נכון, זה בגלל שלא הבנתי מה אומר סימן ה"קטן-V3שווה". אז בסעיף מצטרפת לשאלה.::צריך להוכיח. ==char-ים במבחן==כמעט לא התעסקנו ב' אני פשוט צריכה להחזיר -char-ים בשיעורים, לא תרגלנו והמרצים/מתרגלים בד"כ הזכירו את המקדמים שהצבתי בהתחלהזה כהערת אגב. יהיו char-ים במבחן?תודה, 16:11, 28 באוגוסט 2010 (IDT)
===תשובה===
*אני לא מבין איך הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטורים יכול לקדם אותךיהיה מעבר לדברים דומים למה שעשינו בכיתה. הרי הוקטורים בSpan הם ==1.28==לא הסקלרים שנכפלים בוקטורים v1הבנתי את התרגיל בכלל. את <math>T(f)</math> אמנם מצאתי בלי בעיה,v2,v3אבל איך מוצאים את <math>T^{-1}(f)</math>? קראתי פה שאלה ותשובה: '''''איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה?''''' '''יש כמה דרכים. צריך להגיע למשוואות על xאחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית.''' ולא הבנתי בכלל. מה הקשר למטריצות? (אני יודעת מה זו מטריצה מייצגת,yקראתי את הקובץ,zוגם במחברת,w כך שוקטור שמקיים משוואות אלא יהיה בSpanונראה לי שהבנתי, אבל מה הקשר לתרגיל הזה? בכלל לא הבנתי מה השימוש של המטריצה המייצגת, מלבד לפתרון של תרגילים מסוג "מצא את מטריצה המייצגת").*בסעיף ב' צריך לפתור ומה זה "בסיס בתמונה", בתרגיל הזה הבסיס הוא <math>\{1,x,x^2\}</math>? את המקור אמצא בעזרת מערכת המשוואות שמצאת בסעיף א'משוואת כזו: <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=1</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x</math> , <math>aT(1)+bT(x)+cT(x^2)=x^2</math> ? ואז. כמו שפתרנו מערכות משוואות עד היום.מה אני עושה עם המקור הזה? שוב, מה קשורה המטריצה המייצגת?
תודה רבה מראש, מקווה להסבר מפורט.
----
אני גם הצבתי מקדמים ובסעיף ב' רשמתי את ניסיתי עכשיו לפתור איך שראיתי לנכון, בלי מטריצות וכל זה כוקטור.. האם מישהו יכול להסביר שוב מה צריך לעשות . סימנתי <math>T^{-1}(זו שאלה שכולם שואליםf)=mx^2+nx+d</math>.לאחר מכן אמרתי ש-<math>TT^{-1}(f)=I_{R_2[x]}(f)=f=cx^2+bx+a</math> (ה-<math>f</math> הוא סימון).מצד שני, <math>TT^{-1}(f)?=T(T^{-1}(f))=T(mx^2+nx+d)</math> וזה שווה למה שמצאתי קודם, הרי יש לי את <math>T(f)</math>. קיבלתי מערכת של 3 משוואות (לפי המקדמים של <math>x^2</math>, <math>x</math>, <math>1</math>) ואז ביטאתי את <math>m</math>,<math>n</math>,<math>d</math> באמצעות <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> וקיבלתי את <math>T^{-1}(f)</math>.
==6בלי מטריצות, רק אלגברה.30 ד'==הגיוני? או שבכלל לא הבנתי מהי בדיוק המטריצה הנלווית, איך היא נראית? אפשר אולי את ההגדרה המתמטיתהתרגיל?
וגם גיגלתי את המושג ובויקיפדיה יש מטריצה נלווית אחרת...
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94_%D7%A0%D7%9C%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA מטריצה נלוית בויקי]
===תשובה===
זו מויקי *למדנו הרי כיצד למצוא העתקה '''מפורשת''' באמצעות מטריצה מייצגת. *אנחנו יודעים שהתמונה היא סה"כ השחלוף של זו מהחוברת עם החלפת סימני המשתניםמרחב וקטורי, ולכן יש לה בסיס נסמן אותו <math>u_1,...,u_n</math>*נמצא w_i כך ש <math>Tw_1=u_1,...,Tw_n=u_n</math>*לכן <math>T^{-1}u_i=w_i</math> וכך אפשר למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת כמו בתרגיל.
אני אסביר איך היא נראיתדרך שנייה:*זו מטריצה ריבועית <math>n\times n</math>נמצא את המטריצה המייצגת של T*השורה התחתונה ברורה - קבועים נהפוך אותה על מנת לקבל מטריצה מייצגת של <math>a_0,...,a_T^{n-1}</math>*האלכסון הראשון מעל האלכסון הראשי הוא אחדות*כל השאר אפסיםנמצא את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת, כמו בתרגיל.
====תשובה לתשובה====
תודה רבה על התשובה!
ובהגדרה מתמטיתלגבי הדרך הראשונה:*מה זה אומר העתקה '''מפורשת'''?*האם לכל <math>T(u)=v</math>, מתקיים <math>T^{-1}(v)=u</math>?*תודה, הצלחתי לפתור את התרגיל בדרך הזו! והתשובה יצאה לי כמו זו שיצאה בדרך שעשיתי קודם (זו שפירטתי למעלה). מעניין איזו קצרה יותר או עדיפה מאיזושהי סיבה. יש העדפה כלשהי באופן כללי, ובמבחן בפרט?
לגבי הדרך השנייה:*המטריצה המייצגת של <math>T</math> שהיא במקרה הזה פשוט מטריצה <math>[AT]_{n_S^S</math> כאשר <math>S</math> הבסיס הסטנדרטי של <math>R_2[x]</math>,i}:=a_בעצם מטריצה שעמודותיה הן (1,0,0), (0,2,3), (0,3,0) - כלומר הצורה הוקטורית של התמונות המתקבלות עבור מקורות מאיברי הבסיס. נכון?*ישנו משפט שאומר שהמטריצה ההופכית של המטריצה המייצגת של <math>T</math> היא המטריצה המייצגת של <math>T^{i-1}</math>? (זה קל להוכחה אבל האם צריך להוכיח בכל פעם?)*איך מוצאים את ההעתקה במפורש מתוך המטריצה המייצגת? ואיזה תרגיל?
=====תשובה=====*צורה בה אתה יודע לאין איבר כללי הולך. לדוגמא: <math>\forall i<n:[A]_{iT(x,i+1}:y,z)=13x+y+z</math>*כן, זו כמעט ההגדרה של ההעתקה ההופכית.*יש העדפה לדרכים שאני הצעתי, בניגוד לפתרון הרבה מערכות משוואות.
וכל השאר אפסים*לא עקבתי ביחס לתרגיל, אבל בגדול מה שאמרת נשמע נכון.*צריך לצטט את המשפט בלבד אלא ביקשו מכם להוכיח במפורש*עשינו תרגיל כזה בכיתה. אתה מחשב מטריצה מייצגת שמעבירה מהבסיס הסטנדרטי לאנשהו ואז אתה מקבל נוסחא כזו:<math>[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math>. לכן <math>(x,y,z)</math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>
:======השאלות שנשארו======*בעצם מה שאני צריכה למצוא בתרגיל הזה. אוקיי תודה רבה!.*וניתן להשתמש בזה בלי להוכיח, נכון?*דרך הפתרון שלי דווקא פשוטה (רק 3 משוואות קלות), אבל באמת כדאי שאבין את עניין השימוש במטריצה המייצגת.
==Span==*טוב.השאלה שלי מאוד פשוטה- *מהו הניסוח המדוייק של המשפט הזה?*הנוסחה היא ממש משפט, לא? אבל לא הבנתי מה ההגדרה המתמטית המדוייקת כתבת פה: '''לכן <math>(כלומר לא במיליםx, רק בכתיב מתמטיy,z) </math> הולך לצירוף הלינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים מהכפל של המטריצה המייצגת בוקטור <math>Span(Ax,y,z)</math> עבור קבוצה .''' בבקשה תסביר ברור יותר, ממש חשוב לי להבין את זה (והתרגיל מהכיתה לא כתוב לי, העדפתי להקשיב). **כן*חשוב להבין כי יהיו שאלות '''ישירות''' על מטריצה מייצגת שלא תוכלי להתחמק מזה. **תחפשי במחברת הרצאה הכי טוב*הנוסחא היא משפט כן. את יודעת ש<math>A[T]_B^S[v]_S=[Tv]_B</math> כלשהי. מה המשוואה הזו אומרת? מצד שמאל יש את המכפלה של המטריצה המייצגת בוקטור <math>(x,y,z)</math>. מצד ימין מקבלים את הקואורדינטות של Tv לפי הבסיס B. לכן צירוף לינארי של איברי הבסיס B עם המקדמים שהם המכפלה משמאל שווים בדיוק לTv (הרי זו ההגדרה של קואורדינטות). מובן? :אהה.. נראה לי שהבנתי! תודה רבה!! אנסה לפתור את התרגיל בשתי הדרכים. ==2.15==מה הכוננה של (v(Ta בסעיף ב'? תודה :ההגדרה בעמוד 56 ==מבחן תשסה מועד ב' שאלות אמריקאיות שאלה 10==למה הטענות הנכונות הן א' וד'? אני חושב ש ב' וג' לא נכונות וגם א' לא נכון. למה א' נכון? א' אומר שכל הפונקציות מR לR הן כל הפונקציות הזוגיות סכום ישר עם כל הפונקציות האיזוגיות. זה לא נכון, כי יש פונקציות שהן לא זוגיות ולא איזוגיות ולא הסכום שלהן, כמו f(x)=x+1 או f(x) =rootX. (שורש של X). ויש גם פונקציות שהן גם זוגיות וגם איזוגיות, כמו f(x)=0 לא? כי אני זוכר מהבגרות שפונקציות זוגיות הן סימטריות ביחס לציר הX (מתקיים) ופונקציות אי זוגיות סימטריות ביחס לציר ה-X "ואז" לY (כלומר לשקף את מה שמימין לציר הX ומשמאל לציר הX ואז זה אמור להיות סימטרי ביחס לציר הY). אני טועה?תודה
===תשובה===
יהא V מ"ו מעל שדה F ותהי * כל פונקציה היא סכום של זוגית ואי זוגית, ספציפית עשינו את זה בתרגיל. <math>S f(x)=\subseteq Vfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math> קבוצה המוכלת בV
*אתה יודע למה ב' לא נכון? מעל הממשיים הוא כן נכון. הבעייה היא, למשל, מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> שם יש את המטריצה <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}</math> שהיא גם סימטרית וגם אנטי סימטרית ושונה מאפס.:שתי הגדרות שקולותדברים: דבר ראשון, לא הבנתי מהדוגמה שלך למה כל פונקציה היא סכום של פו' זוגית ואי זוגית (יש יותרואני לא זוכר שעשינו את זה בתרגיל). דבר שני, אז מה אם הפונקציה f(x)=0, היא לא גם זוגית וגם אי זוגית? תודה
*::אתה יכול לוודא בקלות ש<math>Span\frac{f(Sx)-f(-x)=\{u=\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i|\alpha_i \in F, v_i \in S,n \in \mathbb{N}\2}</math>*אי זוגית ו<math>Span\frac{f(Sx)+f(-x)}{2}</math> הינו חיתוך כל תתי המרחבים של V המכילים את Sזוגית. 0 היא בוודאי גם אי זוגית וגם זוגית. לכן החיתוך הוא אפס, בדיוק כמו שאנחנו מצפים מסכום ישר.
==6.30 גמבחן תשסה מועד ב'שאלות אמריקאיות שאלה 3==איה אוקי, עכשיו אני בטוח שיש פה טעות כלשהי. בתשובות כתוב שאפשרות 3 היא הבחירה הנכונה, כלומר 3 לא נכונה. זה לא הגיוני, כי לפי השאלה, יש לבחור רק תשובה אחת לא נכונה, כלומר אם 3 לא נכונה אז 1 2 ו4 נכונות- אבל תשובה 2 אומרת שאף אחת מהתשובות האחרות היא אינה נכונה, שאת המשפט הזה אפשר להבין ב2 דרכים:-כל התשובות האחרות לא נכונות, שזה לא יכול להיות כי עם 3 הואלא נכון זה אומר ש 1 ו4 נכונות בסתירה לכך שכל התשובות האחרות לא נכונות.-כל התשובות האחרות נכונות, שזה לא הגיוני כי 3 הוא לא נכון.אז נכון שיש טעות כלשהי?אני חושב שהתשובה ההגיונית היחידה היא 2. תודה
===תשובה===
רק תלמידים חכמים רואים אותותשובה 3 היא משפט שקר.:התכוונת שרק תלמידי חכמים רואים אותואתה צודק שגם 2 הוא משפט שקר, זה פשוט בלבול של כותב השאלה. ==rank==הrank של מטריצת האפס הוא אפס, נכון?::לאכן ==טעות במספר תעודת זהות==שלום, בציוני הבוחן והתרגילים ישנה אותה טעות במספר תעודת זהות שלי,בשניהם כתוב 205403933 אך המספר הנכון הוא התכוון שהמלך עירום205413933.אשמח אם תוכלו לתקן זאת
== שאלה כללית על אינדוקציה==תמיד באינדוקציה אנחנו מוכיחים שהטענה נכונה לכל n טבעי או אם הגבלות מסויימות(גדול שווה וכו').השאלה שלי היא האם מותר להוכיח עבור n טבעי מסויים:בסדר, כלומר שקיים n שעבורו הביטוי מתקיים. אם השאלה לא מובנת אז אני אחדד אותה-כשאנחנו מוכיחים טענה, אנחנו מוכיחים עבור n=1 ואז מניחים שהטענה נכונה עבור n=k ומכאן מוכיחים שהטענה נכונה עבור n=k+1 השאלה אם כשאני מניח ש-n=k אני אני יכול להניח שלא כל k פותר אלא k מסויים(ספציפי) כלומר קיים k כזה, ומכאן להוכיח שגם קיים n=k+1 שפותר. תודה מראש!אגב, השאלה היא על 6.40 כי אני לא רואה דרך אחרת\כיוון להוכיח אותה(סעיף ב') אם משהו יוכל לתת לי כיוון אחר אני אשמח
==שאלה על rank==
יהי T:V->V ה"ל וB,C בסיסים בV. מה זה rankT? מה זה rank([T]BC)? (כשBC אומר שיש B קטן בצד למעלה ימין של [T] וC קטן בצד ימין למטה)? תודה
===תשובה===
באופן כללי באינדוקציה אתה צריך להוכיח עבור המקרה הראשון n=1 ולהוכיח <math>rank([T]_C^B)</math> זה דרגה של המטריצה המייצגת ואנחנו יודעים את הכלל "אם מתקיים עבור k אז מתקיים עבור k+1"ההגדרה של דרגה של מטריצה. לא מספיק להוכיח פחות מזההדרגה של העתקה rankT זה המימד של התמונה (עמוד 56 בחוברת).
לגבי סעיף ב==שאלה ממבחן==במבחן השני מועד א' ב6.40שאלה אמריקאית 11, אין דרך להוכיח את מה זה באינדוקציה. אינדוקציה על אומר שT היא מעל השדה Zp? זה אומר שהיא מZp לZp? מהזה אומר?איך זה יכול להיות שT היא מF לF כשF שדה, העתקה לינארית צריכה להיות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, לא? למה התשובה הנכונה היא 3? תודה.
רמז: כמה מטריצות יש מעל ===תשובה===שדה סופי?הוא תמיד מ"ו מעל עצמו ממימד 1. לכן זו העתקה ממרחב וקטורי למרחב וקטורי. בשאלה מסתכלים על F כמ"ו מעל Z_p בכלל.
:בכל אופן לא הבנתי את הרמז, אינסוף? אגב, הכוונה הייתה ל6למדתם מאפיין ולכן השאלה לא ממש רלוונטית.41 כמובן
::מטריצות מגודל קבוע כמובן==שאלה ממבחן==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 10, נגיד nxn.למה התשובה היא א,ב,ג, ולא כל הטענות נכונות?? הצלחתי למצוא מטריצות כך שכל הטענות יהיו נכונות-
:::מה זה בכלל אומר שהמטריצה הפיכה מעל שדה סופי?א' וב' שתי מטריצות האפס::::בדיוק אותו דבר שזה אומר מעל שדה אינסופי. קיימת B כך שAB=BA=I. מכיוון שI מוגדרת רק על ידי ג' A מטריצת האפס וB מטריצה גדולה ללא אפסים ואחדות היא מוגדרת מעל כל שדה.::::איברי המטריצה הם מהשדה הסופי (אם לזה אתה מתכוון.ד' A מטריצה גדולה ללא אפסים וB מטריצת האפס..)
==שאלה מהדף==
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?
===תשובה===
כמו שפתרתם משוואות עד היום. פתרון כללי עם פרמטרים חופשיים s,t וכובד'. למשל <math>\{(s,t+s,4,s,t)|s,t \in \mathbb{R}\}</math> (כמובן שזה לא הפתרון פה...)AB=0 איך הדרגה שלו תהיה שווה לדרגה של A בדיוק?
==שאלה 4.3ממבחן==בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>"במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 9, ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדללמה הפתרון הוא 3? שמתי משתנים, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונהדירגתי והגעתי למטריצת הזהות, אז אני כלומר כל האיקסים שווים לאפס? זה בטוח לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה יכול להיות <math>U+V=U\cup(V0,t,0,0,0)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון! יש טעות? עזרה בבקשה...תודה
===תשובה=== אני למעשה המשתנה השני *חייב* להיות חופשי. בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא מתרגל הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס.כמובן שעוד פתרונות יתכנו, אבל עלא פתרונות 1,2,4 בהם המשתנה השני אינו חופשי.:"בגלל שאם היה לו איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת כלל. לעומת זאת בעמודות האחרות ניתן להוסיף איבר פותח כך שכל שאר המשתנים יהיו אפס"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>סליחה, ממש לא הבנתי למה התכוונת.מה זה איבר פותח, למה המשתנה השני חייב להיות חופשי, מה זה אומר שאם לא היה איבר פותח המטריצה לא הייתה מדורגת? גם אם הייתי יודע מה זה איבר פותח, למה דווקא המשתנה השני חייב להיות חופשי, למה לא השלישי הרביעי החמישי או הראשון? תודה
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math> --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 15:41, 12 באוגוסט 2010 (IDT)
:נכון מאד זו הגדרה נכונה:כמו שאמרתי, חלק מהאחרים גם יכולים להיות חופשיים. היא אבל השני '''שקולהחייב''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל)להיות חופשי. סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את איבר פותח או איבר ציר זה כךהאיבר הראשון בשורה ששונה מאפס. --[[משתמשאיך יודעים אם משתנה הוא חופשי? אם אין איבר פותח בעמודה שלו. האופציה היחידה לשים איבר שונה מאפס בעמודה של המשתנה השני היא בשורה האחרונה. אבל השורה האחרונה חייבת להיות שורת אפסים על מנת שהמטריצה תהיה אכן מדורגת.:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06:מה?? המשתנה השני חייב להיות חופשי כי אין איבר פותח בעמודה שלו? אבל אפשר להחליף בין העמודה השניה לחמישית! והשורה האחרונה לא חייבת להיות שורת אפסים, דירגתי והגעתי לשורה ראשונה עם איבר פותח בעמודה הראשונה, 12 באוגוסט 2010 (IDT)שורה שנייה עם איבר פותח בעמודה השניה וככה לכל השורות!
===רמז לפתרון===בשאלות כאלה::::אי אפשר להחליף עמודות, לפעמיםממתי מותר? נתונה מטריצה '''בצורה קנונית'''. אתה לא יכול לשים איזה מספרים שאתה רוצה, נוח לחשוב על הגאומטריהרק מספרים שישאירו את המטריצה מדורגת קנונית. למשלנובע מכך, במרחב התלת מימדי '''בהכרח''', שהשורה האחרונה היא שורת אפסים. אחרת יש שני סוגי תתי מרחבים: מישורים איבר פותח שאינו נמצא מימין ממש לאיבר הפותח שלפניו (מימד 2והאיבר הפותח לפניו בעמודה האחרונה) וקוים ישרים (מימד 3). קל מאד לחשב חיתוכים וסכומים של מרחבים כאלה: חיתוך של קוים ישרים זרים הוא הראשית - כלומר אפס, חיבור של קוים ישרים זרים הוא המישור שהם יושבים בו, וכדומה.
==שאלה 4.3שיעור חזרה ביום ראשון==שיעור החזרה יהיה במתכונת של שאלות ותשובות, או שהמתרגל יפתור תרגילים?
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצותפשוט אני עוברת על כל המחברת ועד עכשיו יש לי בערך 7 שאלות, כדאי לשאול אותן פה, או לחכות לשיעור?(קשה יותר לשאול ולהסביר פה..)
===תשובה===
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייהשיעור החזרה יהיה עם חומר מוכן מראש.
:יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי פרט לכך ש- X , נשאר אתכם כמה שצריך אחרי כן לענות על שאלות (לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלאכל המתרגלים, זה מספיק?:מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?אבל לפחות אני).
::הרישום אומר שהם תמיד שונותבנוסף, אפשר לרשום פה בוודאי. יש להוכיח או להפריך את זה (דוגמא אחת שם הם שוות מהווה הפרכה)
==שאלה 2.9==:תודה על התשובה המהירה! מי אתה?
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות::ארז. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן:::אה יופי אתה המתרגל שלי. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס ==עמוד 49 שאלה 11. האם 8==עבור מטריצה A=1-0-0,0-1-0 (מסדר 2 על 3), אני טוענת ש-rankA=2. צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> להסביר משהו מעבר ל: "לפי הבסיס הסטנדרטי rankA=2"? תודה.
===תשובה===
כן מה הכוונה למטריצות מסדר nxnלפי הבסיס הסטנדרטי? ניתן לומר "זו מטריצה מדורגת. דרגת המטריצה שווה למספר השורות השונות מאפס בצורה המודרגת שלה. יש פה 2 שורות שונות מאפס":טוב.. פשוט זה נורא ארוך לתרגיל שכולו 2 שורות ><. תודה.:יש לי רעיון, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתוןאכתוב "דרגת מטריצה מדורגת שווה למספר השורות השונות מ-0 בצורתה המדורגת" ואסמן בכוכבית, ואז בכל פעם אכתוב "לפי * rankA=2". אחרת, זה נורא ארוך וסתמי, לחזור על אותו המשפט 9 פעמים! ==שאלה ממבחן 2005 מועד א==במבחן השני מועד א' שאלה אמריקאית 2, z^3=x3 כשx שווה לצמוד של z. למה אף אחת מהתשובות לא נכונה? יצא לי שim(z)=0 גם כשהתעסקתי בZ כa+bi וגם כrcisO.זו טעות או שאני טועה? תודה
== 6.30 ב' ==
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?
===תשובה===
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.לגבי <math>cis(\frac{\pi}{3})</math>?
== שאלה 1 מקובץ התרגילים2.11==בשאלה 1 ד2.11 בב',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם בשיש העתקהה s:v -> v וs לא שווה לאפס. המשוואות מאלא נאמר ש S העתקה לינארית, האם כשאני מוכיל שב' ובשקול לא' הם אותו משוואותאני צריך להוכיח שS לינארית, האם הכוונה לסעיף א וסעיף גאו שהיא סתם העתקה?<br>
תודה
===תשובה===
כןהכוונה לS העתקה לינארית, סעיפים א' וג'אחרת מה קשור משפט ההגדרה?
== 6.30 שאלה ממבחן==שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידהנתון לי ש:T(1+2x+xx)= (1,1,2):T(1+x+2xx)=(2,1,1):T(2+x+xx)=(1,2,1)אז אני יכול להגיד שפשוט T(axx+bx+c)= (c,b,a) ואז זה ממש ממש פשוט להוכיח שT חח"ע ועל?ועוד שאלה קטנה, כתוב בתחילת השאלה שT העתקה לינארית, אז זה אומר שכדי להוכיח שT איזומורפיזם אני לא צריך להוכיח שהיא העתקה לינארית נכון? תודה.
===תשובה===
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרתאי אפשר פשוט להגיד את זה, צריך להוכיח את זה. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )
במילים אחרות, אין אף פעם לא צריך להוכיח את הנתון. אם רשום "נוסחאנתונה העתקה לינארית" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 אין צורך להוכיח את זה. ==2.8==סלחו לי אם אני כותב את התשובה, אבל לא קיבלתי מענה האם ההוכחה שלי נכונה או לא- האם אני יכול להוכיח שv=imT1=imT2 כך?x שייך לimT1 וy שייך לimT2 וv שייך לV.:x+y /T1(אתה מוזמן לנסות לחשב ) -> =T1(x)+ T1(y) /+T2(v) -> =T1x+T1y+T2v ->T2() -> =T1T2x+T1T2y+T2T2v =0+T2T2v =T2v:v /T1() -> =T1v /+T2v -> = T1v+T2v =Iv=v /T2() -> =T2v(עשיתי אותן פעולות והגעתי לכך ששני האגפים שווים). ואז רק להוכיח שחיתוך הimים זר, וזה בסדר? או שזה לא נכון? תודה! :לא קיבלת מענה, כי בשביל זה יש בדיקת תרגילים. ביום ראשון יפורסמו פתרונות לתרגילים בכל מקרה.::אני לא יקבל את הנוסחא הזו בעצמךהתרגיל עד המבחן ואני רוצה לדעת אם הפתרון שלי גם בסדר... :::אז תשאל שוב יום ראשון.::::למחוק את השאלה? :::::זה בסדר, תודה :) ==6.14==סעיף א: האם צריך להשלים את הה"ל לפי הבסיס הסטנדרטי , ואין דבר פשוט מלדרג מטריצהואז למצוא את T בצורה מפורשת? וכן בסע' ב' האם לשלוח את הוקטורים הנתונים ל-0, ולהמציא וקטור שלישי (בת"ל בשניים הנתונים) ו"לשלוח אותו" לסתם וקטור כלשהו, ואז למצוא את T...אבל אז סע' ב' וג' יכלים להיות זהים? נכון?
== תרגיל 6.23 ==
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?
===תשובה===
זה בסעיף א' צריך למצוא את ההעתקה בצורה מפורשת. מה שצריך להוכיחלהשלים למה זה בחירה שלך, העיקר שיקיים את תנאיי הסעיף. כנ"ל לגבי הסעיפים האחרים. הרי זו בדיוק הנוסחא בוודאי שכל העתקה לינארית מסעיף ג' עונה על התנאים של סעיף ב'.====שאלה בקשר לתשובה====האם צריך להראות איך הגענו לההעתקה המסויימת או שפשוט להראות שהיא מקיימת את התנאים?
==עוד שאלה על 6.34===תשובה=====הצלחתי להבין שאם אכפול צריך לפרט בתרגיל הזה, שכן הוא בוחן את המטריצה ההבנה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של Aמשפט ההגדרה, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- ומציאת העתקה המפורשת מתוך ההגדרה:התכוונתי האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, צריך להסביר איך הגעתי להעתקה עצמה או להראות שזה מתקיים עבור בסיס כלשהו ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחתלהשתמש במשפט ההגדרה ולהגיע לכללית? אם כן, (האם צריך להסביר למה מותר לעשות בחרתי ככה את זה, ההעתקה עבור האיברים של הבסיס ואיך עושים את זההגעתי אליה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות ודבר נוסף האם מותר לי להגדיר את ההעתקה שלי כלינארית ואז להשתמש במשפט ההגדרה (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, כי אני צריך לשים נותן את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתיהערכים שאליהם נשלח הבסיס) ולהגיע להעתקה הכללית? (מותר לי להגדיר אותה כלינארית בכלל בתרגיל הזה? אני לא מבין איך כל זה מתנהגשאני רואה דרך אחרת. תודה!.)
==1.28==
האם זה נכון להוכיח ש imT1=kerT2, ומכאן נובע שהסכום ישר לפי 2.7 ב. כי T2 אידמפוטנטית?
===תשובה===
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק אם זה נכון זה בסדר, ואם זה לא מבין נכון אז לא לא פשוט לכפול.:)
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות=כמה שאלות==*'''דורש הוכחה או טריוויאלי?''' קבוצה D פורשת מ"ו V. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Axב-D יש n איברים. האם צריך להסביר למה מכך נובע ש- dimV<=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAxn? (אפשר להניח בשלילה ש-k=PbdimV>n ואז אם d שייך ל-D, נוסיף ל-D עוד k-n איברים מהצורה ad כאשר a בשדה.נקבל קבוצה חדשה E שפורשת את V וגם dimE=k לכן E בסיס ל-V, אבל E ת"ל כי <math>d+a_1ad=0</math> כאשר <math>a_1</math> בשדה אבל <math>a_1=-a^{-1}</math> שונה מ-0. קיבלנו סתירה לכך שבסיס הוא בת"ל, מ.ש.ל) ההוכחה די ארוכה והיא לא מטרת התרגיל (11.2), אבל מצד שני, האורך שלה מראה על כך שהיא לא ממש טריוויאלית.. בקיצור - צריך או לא צריך?*מה זה cspan? אם יש כזה דבר בכלל..?*הציון שלי של תרגיל 3 לא מופיע, למה ומה לעשות בנושא? (הגשתי אותו!)
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).תודה מראש!!
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).
==בקשה מארז שיינר- המתרגל =תשובה===*לא צריך להוכיח את זה אלא מבקשים במפורש. מספיק לצטט את המשפט מההרצאה. *אני מנחש שזה קיצור של שיעור התגבור בלינארית (Columne Spane כלומר מרחב העמודות. אני לא נתקלתי בזה, אני לא יודע אם אפשרראיתם את זה בהרצאה או לא. *לשלוח למתרגל שלך מייל בנושא..) ====תשובה לתשובה====ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'תודה!*איזה משפט בדיוק? *אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספיםראיתי את זה בשאלה שמתחת לזו...*אוקיי תודה. :לא יודע, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאותתפתח מחברת ותחפש. אם אפשרכנראה שיהיה מספיק לכתוב "לפי משפט, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידהמספר האיברים בקבוצה פורשת גדול או שווה למימד" ::נראה לי שהמשפט שאומר שאם יש קבוצה שפורשת את V, וקבוצה בת"ל מוכלת ב-V אז מספר האיברים בפורשת גדול שווה ממספר האיברים בבת"ל. תודה רבה! ==המבחן==ביום שלישי יש מבחן בלינארית. כמה זמן המבחן? מתי הוא מתחיל? כמה שאלות? מה המבנה?
===תשובה===
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבורמה שאמרו בהרצאה.אם לא אמרו, אפשר לשאול ביום ראשון בחזרה
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות מה אמרו בהרצאה? אני לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביריכול להגיע ביום ראשון לחזרה, אתם משאירים אותי פה במתח.
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו== 11.10 ==האם אני יכול להגיד ש- dim(cspan(A)+cspan(B))=rank(A+B)?
ארז===תשובה===לא, זה לא נכון.קח (A=(-B
== תרגיל 2שאלה 6.9 14==בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>אפשר הכוונה לגבי 6. מה זה14? הרי V זה מ"ותודה רבה! :הרמז שרשום שם מכוון מצויין.. משפט ההגדרה, לא מרחב של מטריצותהשלמה לבסיס.אם תוכל לכוון אותי לבעייה, אני אוכל לכוון אותך לפתרון.::התכוונתי לגבי א'. ומטריצות זה אוסף של וקטוריםתודה:::כן, לא וקטורלגבי א'. משפט ההגדרה במפורש. הרי התמונה של ההעתקה היא המרחב הנפרש על ידי ה- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"וw_i מהמשפט. ==2. בקיצור פשוט תסבירו 8==מה הכוונה של זה אומר ש T1+T2 = Iv? אני יודע מה שכתבתי קודם.זה Iv, אני מתכוון ל-מה זה אומר הסכום שלהם? כאילו ש T1v1+T2v2=v1+v2 או ש T1v+T2v=v? או מה? זה ממש לא מובן.תודה
===תשובה===
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי תקרא את אותה שאלה עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועותהתשובה למטה.*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.*מטריצות :סליחה לא שמתי לב! אני די בטוח שלא למדנו את זה אבל לא אוסף של וקטוריםנורא. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)תודה
::אני בטוח לחלוטין (כמעט) שכן למדתם את זה ולכן זה דיי נורא כי זה חומר חשוב למבחן.=== שאלה על משפט נוספת===וכשכתוב בב' T1T2, הכוונה היא הפעם לכפל של העתקות, כמו סכום? כי בדרך כלל זה הרכבה, אבל עכשיו נראה יותר מתאים שזה יהיה כפל. נכון? תודה
המשפט: V מ"ו מעל שדה Fואז איך תגדיר? כפל של שני וקטורים? אין כזה דבר כפל של שני וקטורים. כפל בין העתקות לינארית הוא בלבד הרכבה. כפי שלמדנו <math>T^2=TT=T\circ T</math>תהי K שמוכלת בV::אה, חשבתי שאם א. זה חיבור אז ב. זה יהיה כפל כזה D=TS -> D(v) = T(v)*S(v) אבל לא משנה.===עוד שאלה, לגבי דרך הפתרון===האם אני יכול להניח שקיימים x ששייך לimT1 וy ששייך לimT2 ואז להראות שאחרי כמה פעולות imT1+imT2 שווה לv ששייך לV אחרי אותן פעולות? אני ממש לא בטוח אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בUזה נכון, יש משהו לא נכון בהוכחה שלי? בנוסף, אני חושב שלא השתמשתי בעובדה שזה סכום ישר.זה בסדר? תודה!
ההוכחה שהמרצה כתב:ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לUאין עובדה שזה סכום ישר, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינארייםזה מה שצריך להוכיח.לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לUאם לא הוכחת את זה אז זה לא בסדר.
:ואתה לא צריך להראות שסכום של x וy הוא איבר בV זה טריוויאלי מסגירות. אתה צריך להוכיח ש'''כל''' v בV הוא מהצורה v=x+y עבור x,y כלשהם בIm-ים המתאימים.::אוקיי, אז אם אני לוקח v ששייך לV, ואחרי כמה פעולות מגיע ממנו לX+Y, זה בסדר?::האם מותר לי גם (יהיה לי הרבה יותר קל אם כן) להניח שקיימים v,x,y כמו מקודם, ואז להראות אחרי כמה פעולות ש v=a וגם x+y=a::(a ביטוי מסוים שלא אכתוב כדי לא ממש הבנתי לגלות את ההוכחההתשובה). זה בסדר? אפשר להגיד שאם זה ואם אין חיתוך בין הim-ים, אם U סגור לצרופים לינאריים אז ה-דרוש מתקיים?::ועוד דבר, אני יכול להניח שT1 וT2 הפיכות? תודה! ::: אי אפשר להניח דברים שלא בנתון. ושוב, אתה חייב להראות ש'''כל''' v הוא מהצורה הנ"ל. איך תעשה את זה ? זו החלטה שלך. הניסוח שלך קצת מצחיק- תקח x,y,v כללים ותוכיח שתמיד x+y=v? הרי וודאי לא יכול להיות שתצליח בזה. ==2.7==אם אני מוכיח ב א' T היא העתקה הזהות זה בעצם מקיים את מה שהם מבקשים? או שצריך להראות שייש מקרים עבורם T שווה למינוס העתקת הזהות?(לפי מה שניסיתי לראות המקרה השני בכלל לא הגיוני שu שייך Uוניתן לסתור אותו,אז אם צריך להראות שניתן שיתקיים שT שווה למינוס אז זו בעצם הפרחה, לא?)
===תשובה===
הלוגיקה חשובה במתמטיקה. אני אענה לשאלה, אבל חשוב לי להבהיר שאתם צריכים להיות מסוגלים להבין שאלה כזו לבד. כאשר אומרים הוכח/הפרך, יש לומר אם המשפט הוא משפט שקר או משפט אמת. במקרה הזה המשפט הוא:'''T המקיימת את תנאי השאלה היא בהכרח העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות.''' אם כל T שמקיימת את תנאי השאלה היא העתקת הזהות או מינוס העתקת הזהות אזי המשפט נכון (מהגדרה). לעומת זאת, אם קיימת T שמקיימת את תנאי השאלה ושונה מהעתקת הזהות '''וגם''' שונה ממינוס העתקת הזהות אזי המשפט הוא משפט שקר והפרכנו אותו.:ככה חשבתי, פשוט זה נראה לי מוזר שבכלל הוסיפו את העניין עם המינוס אם הוא לא משנה בכלל, אז העדפתי לשאול. תודה::יופי. תמיד טוב לשאול.===שאלה בקשר לשאלה והתשובה שנשאלו פה===רגע, אבל מה עם העתקת האפס, זה לא סותר את מה שאמרתם, העתקת האפס לא שווה להעתקת היחידה? לא? יש לשים לב כי העתקה אידמפוטנטית מוגדרת <math>T^2 = T</math> פרט ל-0 (בדר"כ) - בהסתמך על הערך "אידמפוטנט" [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%93%D7%9E%D7%A4%D7%95%D7%98%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%95%D7%AA] == 1.28 ==המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני?ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג?(לא ענית לי למטה..)תודה! ===תשובה===כי מה שרשמת זה לא מטריצה. העמודות של המטריצה צריכות להיות וקטורי הקואורדינטות, בוודאי פולינום אינו יכול להיות עמודה של מטריצה. ממליץ בחום רב לקרוא את המסמך על קואורדינטות ומטריצות מייצגות, יש שם דוגמאות והסברים לכל התהליך. ==שאלה (שקשורה ל6.14)==האם העתקה T:V->W חייבת להיות מוגדרת לכל v בV? אני יודע שבהעתקות, לא חייב להיות לכל וקטור בW מקור, כי אני זוכר שהעתקה יכולה להיות על ולא על, אבל האם היא חייבת "לקחת" את כל הקטורים מV אל איברים בW אל לא?למשל, אם אני מגדיר העתקה מR4 לR4, האם אני יכול להגיד אותה כך? T(a,b,00) = T(0,0,a,b) אפילו שהוא לא מוגדר לכל V, או לא? תודה ===תשובה===חייב להיות מוגדר לכל v, באופן כללי פונקציה צריכה להיות ח"ע ושלימה (כמו בבדידה) == 1.14 ==אפשר בבקשה הכוונה איך אני מוכיח את א'? עם ב' הסתדרתי.. :אין סעיפים בשאלה 1.14 ::התכוונתי להעתקת האפס!! :::מוכיחים את זה באמצעות הקריטריון המקוצר לבדיקת העתקה לינארית. ::::אני יכול לעשות מעבר כזה: T(v+u) =0 כיוון ש לכל v ששיך לV מתקיים T(v)=0? :::::מן הסתם... זו ההגדרה של העתקת האפס. :::::תודה:) ==שאלה==הדרגה של מטריצה עם 2 שורות ו2 עמודות שונות משורות אפסים, היא 2 או 4? לפי תשובה קודמת, נראה שכתבתם שהדרגה היא 2,אבל זה מביא לסתירה מסוימת, כי אם rank(A) =2 אם A מטריצה מגודל 2 על 2, אז זה אומר גם שהמימד של המרחב R2x2 הוא 2, לא? אבל חשבתי שהמימד של המרחב R2x2 הוא 4, כי בבסיס שלו 4 איברים {(0,0,0,1)(0010)(0100)(1000)} ? איפה אני טועה? תודה ===תשובה===לפי תשובה קודמת, ראינו מטריצה כזו עם דרגה 1. אין קשר בין המימד של מרחב המטריצות, לפי המימד של מרחב השורות של המטריצה. הדרגה של מטריצה בגודל nxm היא קטנה שווה למינימום בין n,m. לעומת זאת מימד כל המטריצות הוא nm. אם המטריצה בצורה מדורגת, הדרגה שלה היא '''מספר השורות השונה מאפס'''. בפרט, הדרגה לא יכולה להיות גדולה ממספר השורות.:כמה שאלות: -מהי הגדרה של הדרגה של מטריצה? אם היא קטנה או שווה למינימום בין M,N, זה אומר שאי אפשר לחשב אותה במדויק?:-אם יש מטריצה (מטריצות) שנראית כך: a, b, c, a+b+c :(a וb בשורה הראשונה וה2 האחרים בשורה השניה), אז מימד המטריצות האלה הוא עדיין MN? אפילו שאחד האיברים במטריצה תלוי באחרים?:-rankT כך שT הוא ממטריצות MxN למטריצות מאותו הגודל, הוא MN או המינימום? יש דבר כזה rankA וגם rankT כשA מטריצה וT העתקה? הם 2 סימונים ל2 דברים שונים? תודה רבה ===תשובה===ההגדרה רשומה בעמוד זה, מספר פעמים. למשל [[#שאלה לתשובה]] ושתי שאלות מתחתיה. אם תיקח תת מרחב של מרחב כל המטריצות שלא מכיל את כל המטריצות האפשריות, המימד שלו בהכרח יהיה קטן יותר. לגבי הדוגמא הספציפית צריך לוודא שזה אכן תת מרחב אחרת אין הגדרה למימד שלו. rankT היא הדרגה של העתקה, אני לא יודע אם למדתם את זה או לא. אם כן, יש הגדרה במחברת שלכם. אם T העתקה לינארית ממרחב המטריצות למרחב המטריצות, היא העתקה בין מרחבים וקטוריים ממימד NM ולכן המטריצה שמייצגת אותה היא מגודל NMxNM, ולכן יכול להיות שהדרגה של המטריצה המייצגת הינה NM.::::תודה לגבי כל השאר, יש לי רק עוד דבר לא פתור: נניח שיש מטריצה (בוא נגיד, מסדר 2 על 2) כאשר אחד או יותר מהמקומות במטריצה הוא תלוי\ים במקומות האחרים (כמו בדוגמה שנתתי קודם, רק אם הדוגמה שנתתי לא טובה (כי היא לא תת מרחב וכדומה) אז דוגמה אחרת דומה -- המימד של המטריצות מהסוג הזה הוא עדיין MxN או לא? תודה. דוגמא: יהי מרחב המטריצות <math>V=F^{2\times 2}</math> ויהי <math>W=\{A\in V : a_{11}+a_{12}+a_{21}=a_{22}\}</math>. אזי קל לוודא שW תת מרחב של V ושהבסיס שלו הינו <math>B=\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\}</math> לכן המימד של W הינו 3. המימד של V לעומת זאת הוא 4. :איך מצאת את הבסיס של W? == 1.28 ==מה הכוונה וקטור כללי מ R2[X ? נניח (1,1,1) הוא טוב? ===תשובה=== 1. (1,1,1) הוא וקטור '''ספציפי''' - ההפך מ'''כללי''' 2. במרחב הפולינומים <math>\mathbb{R}_2[x]</math> הוקטורים הם '''פולינומים''' מדרגה קטנה שווה 2. לכן וקטור כללי במרחב זה הוא <math>a+bx+cx^2</math> :את האמת שזה מה שחשבתי רק שלא הייתי בטוח..:בכל מקרה, איך אני מחשב את ההעתקה ההפיכה? ::יש כמה דרכים. אחת מהן למדתם בהרצאה- בעזרת ההופכית של המטריצה המייצגת. הדרך השנייה היא לפי משפט ההגדרה - מספיק לבחור בסיס בתמונה ולראות מה המקור שלו וכך אפשר לחשב את המטריצה המייצגת של ההעתקה ההופכית. :::ראיתי הגדרה שאומרת: תהי f:A->B פונקציה. אם קיימת g:B->A כך ש f הרכבה g =למטריצה היחידה של A ו g הרכבה f= למטריצת היחידה של B נאמר :::שf הפיכה וg נקראת הפונקציה ההופכית של f.:::אי אפשר להשתמש בזה עבור הרכבה של העתקות לינאריות? :::: אפשר לומר את זה על העתקות לינאריות, עם הסייג הבא: הרכבה של העתקות לינאריות אינה מטריצה אלא העתקה. כלומר ההרכבה של ההעתקות היא ההעתקת הזהות והמכפלה של המטריצות המייצגות היא מטריצת היחידה (שכן המטריצה המייצגת של העתקת הזהות מבסיס לעצמו היא תמיד מטריצת היחידה). ::::המטריצה המייצגת יצאה לי (x^2 2*x+3 3*x) זה הגיוני? ואז אני מדרג?הרי זה כמו וקטור שורה איך אני יכול לדרג? == שאלה == צריך למבחן לדעת את העתקת האינטגרל, הנגזרת ועוד נושאים המוזכרים בחוברת של בועז צבאן ולא למדנו אותם?? === תשובה===אין צורך לדעת דברים שלא נלמדו בהרצאה, בתרגיל או נתנו בשיעורי הבית. כמובן שלא מזיק לפתור תרגילים נוספים, אבל אין צורך לזכור הגדרות אחרות. ==שאלה למתרגלים (או למתרגל הספציפי שלי, אדם צ'פמן==למדנו נושא שלם (דטרמיננטות) שלא הזכרנו אותו אפילו בתרגול עם אדם צ'פמן. למה? המרצה אמר שהוא יכול להיות במבחן!תודה. :מוזר, אנחנו מהקבוצה השנייה(עם אלי בגנו) לא למדנו דטרמיננטות בכלל גם לא בתרגול. ===תשובה===אם הנושא יהיה במבחן, הוא יהיה בהתחשב בכך שלא היה תרגול. בהסמך על מה שסגירות אומרתשלמדתם בהרצאה בלבד. כמובן שלמי שלא למד את זה בהרצאה, זה לא יהיה במבחן. ==תרגיל 11.8==מבקשים ממני בתרגיל לתת דוגמות למטריצות אשר מקיימות את התנאי המתבקש.האם אני צריך להסביר כיצד הגעתי לדרגה של המטריצות A ו-B שבחרתי או שפשוט לכתוב: "דרגתה של המטריצה A שנבחרה היא ... "ואותו כנ"ל עבור AB. תודה מראש, גל. :צריך רק להראות שהדרגה שלהן היא אכן כפי שאתה טוען. ==תרגיל 11.2==האם x הוא בהכרח וקטור מסדר n*1 או שהוא יכול להיות מטריצה? ===תשובה===הכוונה היא שb וx שניהם וקטורי עמודה (כלומר מגודל nx1 כפי שציינת):תודה!:ועוד שאלה: כאשר נתון ש-<math>V</math> הוא מרחב העמודות של <math>A</math>, האם אני יכולה פשוט בלי להסביר כלום לכתוב ש: <math>V=span\{v_1,v_2,...,v_n\}</math> כאשר <math>v_1,v_2,...v_n</math> הם וקטורי העמודות של <math>A</math>? ::כן, זו ההגדרה. ==בסיס==הוצאתי חוברת לינארית מהספרייה, ובספר כתוב שכדי לוודא שוקטורים מסויימים a1,a2,...ak בת"ל, צריך לשים את הוקטורים כעמודות של מטריצה הומוגנית, ואז לצטט את שני המשפטים הבאים: במטריצה המורכבת מהעמודות a1,a2,...,ak,b (כך שכל עמודה היא וקטור), הוקטור b הוא צירוף לינארי של a1,...,ak כך שהמקדם של ai לכל i הוא xi אם"ם (x1,...xk) הוא פתרון של המערכת שלמעלה. בנוסף ידוע כי מטריצת מקדמים מצומצמת (כלומר מקדמים של מערכת משוואות לינאריות הומוגניות) היא שקולה למטריצת היחידה אם"ם אין למערכת פתרון לא טריוויאלי. כלומר נוכיח שהמטריצה שהרכבנו מהעמודות a1,...,ak,b שקולה למטריצת היחידה עפ"י פעולות שורה אלמנטריות, ולפי זה פתרון המערכת x1,...,xk הוא טריוויאלי כלומר 0=(x1,...,xk) ולכן ל- 0=x1a1+x2a2+...+xkak יש רק פתרון טריוויאלי לכן לפי הגדרה הווקטורים a1,...,ak בת"ל. השאלה שלי היא האם מספיק לנמק: ידוע שאם מטריצה שקולה למטריצת היחידה אז כל עמודותיה בת"ל?נימוק כזה קצר יכול לחסוך המון זמן וכאב ראש... ===תשובה===למדנו את התיאור הראשון בתרגיל - וגם השתמשנו בזה בפתרון תרגיל 3 (בקובץ המצורף). כמו כן למדנו שניתן לדרג את המטריצה ולראות האם שורות התאפסו לנו. אלה שתי שיטות שונות ושתיהן נכונות. חשוב לשים לב ששקילות למטריצה היחידה היא רלוונטית רק כאשר מדובר על מטריצה ריבועית. וקטורים יכולים להיות בת"ל גם אם תשים אותם בעמודות מטריצה והיא תהיה לא ריבועית. חשוב לזכור שכאשר אנו שמים וקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב הפתרונות. כאשר אנו שמים את הוקטורים בעמודות ומדרגים - אנו מסתכלים על מרחב השורות. == 11.10 ==המטריצות A B הן שתיהן מגודל MXN?ובהוכחה אני אמורה להניח שהשורות הן בת"ל ושהדרגה שווה למס' השורות?אם שתי המטריצות הן מגודל MXN אז מה הדרגה? ===תשובה===לעולם לא מניחים דברים שלא כתובים בנתון. הגדלים של המטריצות נתונים - וזה נכון. השורות לא חייבות להיות בת"ל בכלל. == שאלה לתשובה == תודה על התשובה אבל לא כ"כ עזרת לי, ברור לי שאי אפשר להניח משהו שהוא לא נתון, השאלה שלי היתה האם כדי להוכיח את מה שרצו אני מניחה שהם בת"ל,הרי במקרה כללי אני חייבת להניח את זה..לא?ובנוסף לא ענית לי מהי הדרגה של מטריצה(כללית, כלומר שלא יודעם את אבריה) MXN?מימד מרחב השורות/העמודות? ===תשובה===זה כמו לשאול: האם x זוגי? התשובה המתבקשת כמובן היא תלוי מהו x. אי אפשר להניח ששורות המטריצה בת"ל, הרי בוודאי יש מטריצות ששורותיהן תלויות לינארית. למה שתניחי דבר שהוא לא בהכרח נכון? אין כזה דבר דרגה של מטריצת כללית. שוב, הדבר דומה לשאלה מהם הגורמים הראשוניים של מספר כללי x. כאשר מנסים לפתור תרגיל כזה צריך לגשת אליו בצורה טכנית. לתת שמות לשורות המטריצות A,B ואז לראות מהן שורות המטריצה A+B, ואז לראות איך אפשר לחשב את הדרגה כפונקציה של השורות האלה וככה לנסות לפתור את התרגיל. באופן כללי יש משפט לפיו דרגת המטריצה = מימד מרחב העמודות = מימד מרחב השורות = מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית = מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה ==תרגיל 2.8==מה הכוונה ב(א) שכתוב <math> T1 + T2 = Iv </math> ? כלומר מה הכוונה בחיבור העתקות ליניאריות? תודה רבה... XD ===תשובה===כמו שלמדנו בהרצאה ובתרגיל על המרחב הוקטורי של העתקות לינאריות - <math>Hom(V,W)</math>: יהיו 2 העתקות לינאריות T,S. נגדיר את ההעתקה הלינארית שהיא החיבור שלהן D=T+S, על ידי <math>\forall v\in V :D(v)=S(v)+T(v)</math> ===תשובה לתשובה=== תודה רבה XD :P :) :D ==מרחב עמודות ***עוד שאלה***==איך מחשבים את הדרגה של A, כלומר את מספר האיברים בבסיס של מרחב העמודות של A? איך מוצאים את הבסיס?מהי הדרגה של מטריצת האפס? למה? תודה. ===תשובה===*הדרגה של המטריצה היא מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת שלה. *אפשר למצוא בסיס למרחב העמודות על ידי:**שחלוף המטריצה A**דירוג המטריצה המשוחלפת**שורות הצורה המדורגת של המטריצה המשוחלפת השונות מאפס, מהוות בסיס למרחב העמודות (כאשר מסתכלים עליהן כעמודות כמובן)*מטריצה האפס היא בצורה מדורגת, אין שורות שונות מאפס ולכן הדרגה היא אפס.:תודה, אבל נראה לי (לפי הגיון) שהדרגה של מטריצה היא מספר השורות שגם לא תלויות אחת בשניה (בת"ל), לא? נגיד המטריצה 1 2 2 4 הדרגה שלה היא 1 או 2? תודה. :הדרגה היא אחד. המושג הכללי שאתה מתאר (מספר השורות שלא תלויות אחת בשנייה) מוגדר במדויק - הוא נקרא מימד. מימד הוא מספר האיברים בבסיס. ואם תביא את המטריצה הזו לצורה מדורגת תראה בקלות שיש רק שורה אחת שונה מאפס בצורה המדורגת, והיא מהווה בסיס למרחב השורות. ==תרגיל 11.2ב==מהי המטריצה A|b? :המטריצה A שהוסיפו לה מימין את העמודה b. == סכום ישר == לא הבנתי עד הסוף את הנושא של הסכום הישר! אתה יכול לתת דוגמא? גם היתה דוג' בהרצאה שלא ממש הבנתי, V=R^3 u=sp{(1,1,1)}, w={(x1,x2,x3)|x1+x2+x3=0, x1,x2,x3 in R טענה- v=u+w צ"ל : 1. U+W מוכל בV. 2.V תת מרחב של U+W 3.U חיתוך W שווה 0. למה צריך להוכיח את 2?? ===תשובה===הביטוי <math>V=U\oplus W</math> אומר את שני הדברים הבאים לפי הגדרה: א. V=U+W ב. <math>U\cap W = \{0\}</math> על מנת להוכיח את א, צריך להוכיח את 1+2 שלך (זו סה"כ הכלה דו כיוונית שמוכיחה שיוויון).
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U ב' הוא מ"ו)בדיוק 3 שלך.
==שאלה 6.37==
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>