שינויים

== תרגיל 1, 4 שאלה 2, סעיף ה 3 ==

האם צריך להוכיח ש-1) הכוונה היא בנקודת שבת "של g" <math>\Deltax| g*x=x</math> אסוציאטיבית, או שמספיק לציין את זה? בנקודת שבת "של G" (כבר הוכחנו במתמטיקה בדידה). תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]^{[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]} 22:50, 6 באוגוסט 2011 (IDT):מספיק לציין. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:02, 7 באוגוסט 2011 (IDTאיקסים כך שלכל g בG מתקיים g*x=x)?

2)סימטריות של הריבוע =סיבובים?תודה:1) לא נתונה g ספציפית, לכן הכוונה לנקודת שבת "של החבורה" (ליתר דיוק, של הפעולה), כלומר איבר x ב-X שנשאר במקום ע"י כל איברי g ב-G.:2) סיבובים ושיקופים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:16, 30 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה = מערכת שעות למחר 8= שאלה == ב Sn, טיפוסי המחזורים הבאים: (--)(---) ו- (---)(--) נחשבים טיפוסים שונים, או זהים? תודה!:זהים: כי מחזורים זרים מתחלפים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 10:39, 30 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה! == תרגיל 4 - שאלת בונוס 2 == בשאלת הבונוס השניה בתרגיל 4, מה זה בדיוק [G,G] ו-[G,A]? תודה מראש!;): אלו חבורות הקומוטטורים. אם G היא חבורה ו-A,B תת-חבורות שלה, אז <math>\ [A,B]</8 math> היא תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a,b] = aba^{-1}b^{-1}</math> עבור <math>\ a\in A, b\in B</math>. שימו לב שבאופן כללי, לא כל איבר של <math>\ [A,B]</math> הוא קומוטטור. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:36, 30 באוגוסט 2011 (IDT) == בקשר לשאלה 11 == האם מתקיים ש exp(G)= lcm({ O(g)|g in G }) zzz? זה לפחות מתקיים בחבורה Sn? תודה!:הטענה נכונה. בכל חבורה סופית האקספוננט הוא ה-lcm של סדרי כל האיברים (בפרט ב-Sn). נסו להוכיח זאת. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:42, 1 בספטמבר 2011 (IDT)::צריך להוכיח זאת לצורך התרגיל? תודה.:::לא, אתם יכולים פשוט להשתמש בזה. אני כן ממליץ (בלי קשר לתרגיל) לנסות להבין למה זה נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 13:26, 1 בספטמבר 2011 (IDT)::::תודה! == כמה שאלות לגבי שאלה 6 == 1. הכוונה (ב-ב.) היא שצריך להוכיח שקיים אפימורפיזם מZ^m לG, נכון?2. אני יכול לטעון שקבוצה מסוימת יוצרת את Z^m בלי להוכיח את זה?3. זה טריויאלי להשתמש בעובדה שניתן להגדיר הומומורפיזם ע"י שליחת יוצר בקבוצה אחת ליוצר בקבוצה אחרת?תודה!== שאלה 7 סעיף ב' == מה זה G' ?: ('''לא מתרגל''') חבורה הנוצרת ע"י כל הקומוטטורים ב-G. למדנו זאת בחלק נרחב מהתרגול, קשה לי להאמין שלא נתקלת בזה.: מקווה שעזרתי;) == סיכומים (של סטודנטים) לקורס זה ==

כפי שנעשה בקורסים האחרים באתר זה (כגון:ההרצאה תסתיים ב[[88-13:00236 תשעא סמסטר קיץ|אינפי 4]]), והתרגול יתחיל ב13:30 ויסתיים לקראת 16:15.-העליתי סיכומים של הקורס (שכתבו סטודנטים שלמדו בו) לדף השיחה שלי -ממש [[משתמש: לואי פולבGordo6/סיכומים אלגברה מופשטת 1|לואיכאן]]תוך הוספת הערה שאלו סיכומים שנכתבו על ידי הסטודנטים, ולכן כמובן שאין התחייבות של המרצים ו/או המתרגלים לתקינותם.

הכוונה היא לחבורת כל המטריצות הריבועיות הרציונליות מגודל 5תודה, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב? ובאופן דומה, חבורת כל הווקטורים הרציונליים מגודל 5, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב?:כן. [[משתמש:דורון פרלמןGordo6|דורון פרלמןגל]] 23:54, 8 באוגוסט 2011 (IDT).

== תרגיל 2 - שאלת הבונוס בקשה ==

לגבי שאלת הבונוסמתרגלים יקרים, האם הטענה הבאה נכונה: <br>'''''טענה''''': עבור <math>G_{1} \subseteq G_{2} \subseteq ... </math> חבורות פשוטות, נגדיר <math>G = \bigcup_{n}G_{n} </math>.תהי תת חבורה נורמלית <math>H \triangleleft G</math>, השונה מתת החבורה המלאה תוכלו להעלות את הפתרונות של תרגילי הבית? וגם אולי מבחנים? (G עצמה כלומרזה חשוב כדי להתאמן למבחן) ושונה מתת החבורה הטריוויאלית. אזי קיים <math>n_{0} \in \mathbb{N}</math> כך ש - <math>H \subset \bigcup_{n=1}^{n_{0}}G_{n}</math>. תודה רבה!

אם הטענה נכונה, אזי קל להוכיח בעזרתה את שאלת הבונוס::קיבלתם! :) הפתרונות נמצאים מתחת לתרגילים. מצד אחד היא נראית הגיונית, מצד שני זה לא טריוויאלי אם בכלל נכוןעוד היום יעלו גם מבחנים של פרופסור מגרל משנים קודמות.--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]האם הטענה נכונה? אחרי מספר נסיונות להוכיח אותה זה לא טריוויאלי כלל, ואולי היא בכלל לא נכונה, וצריך לפנות אל השאלה בכיוון אחר לגמריי?דיברתי עם לואי לגבי זה בתרגול והיא ביקשה שאפרסם כאן את השאלה.:::תודה

: לאחר מחשבה בנושא: הטענה הזאת חבורות חופשיות זה בחומר למבחן? לא נכונה..תרגלנו את הנושא והנושא מרגיש לא מובן, לכן נשמח אם לא נבחן עליו. נסו כיוון אחר :) [[משתמש: לואי פולב| לואי]]:: תודה רבה על התשובה המהירה! ;)

==בקשה==אתם יכולים להעלות את הפתרונות של תרגיל 1? תודה מראש.: ''' ":המבחן כבר כתוב, וכולל את כל דבר בא בעתוהחומר שלמדתם.חבורה חופשית זה נושא גדול, ובמסגרת מה שהספקת בהרצאה - אין הרבה מה לתרגל.אני מציעה שתעברו על החומר במחברת ותנסו להבין את הרעיונות המרכזיים. כל דבר בא בעתו למי שיודע לחכות" ''' לב טולסטוי, "מלחמה ושלום"--[[משתמש: לואי פולב|לואי]]

: ובנימה עניינית יותר: נעשה זאת בימים הקרובים =) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]= שיעור חזרה מחר ==

::זה מופיע בהודעות, בדף הראשי == שיעור חזרה היום == הי לואי,המזכירות שלחה עכשיו מייל לכולם שהתרגול בשעה 14, למרות שכתוב באתר שהוא בשעה 16. אז מתי הוא יהיה? גל. ::הי גל, בסוף הוא יהיה בשעה 14:00. ההודעה באתר תוקנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]. == כמה שאלות על תרגילי הבית == בתרגיל 2 שאלה 4 א'(http://math- הכוונה ל Qwiki.com/Z כחבורהimages/5/56/Solution2abstractalgebra2011.pdf) שאלה 8,ג', למה הקוסט שיצא איזומורפי לX2? אם כן- מהי הפעולהאני לא רואה למה זה קורה. לאן נעלם X1?כפי שאני רואה את זה זה שווה ל X1xX2 ולא איזומורפי לX2.  :: זה אכן איזומורפי ל-לגבי הרכבת מחזורים<math>X_2</math>. אנסה להבהיר את זה עם דוגמא. נתבונן ב- <math>G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2</math>, אם למשל מסתכלים על ותהי <math>H=\mathbb{Z}_4 \times \{0\}</math>. כעת נתבונן בקוסטים של <math>H</math>:: <math>(1,20,30)+H=H</math>:<math>(1,30)+H=H</math>:...:למעשה: <math>(a,20) +H=H</math>.:כעת, מה בא קודם- הימני או המשאלי- זאת אומרת למשל קורה אם יש 1 עובר ל 3 ואז ל2 ולכן סך הכל במקום השני?:<math>(0,1 עובר )+H= \mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>:וקל לראות כי::<math>(a,1)+H=\mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>.:לכן יש רק שני קוסטים, ואכן קבוצת המחלקות של <math>H</math> איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_2</math>.:אותו הדבר בדיוק קורה בתרגיל המדובר. נסו לחשוב מהו האיזומורפיזם המפורש שעושה את העבודה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]   בתרגיל 3 (http://math-wiki.com/images/a/a6/Solution3abstractalgebra2011.pdf) שאלת בונוס 2 או , מהו C_H(a)?   זהו המרכז (centralizer) של <math>a</math> ב- <math>H</math>.  ותוכלו להסביר את הפתרון? (למשל למה ידוע ש 1 עובר <math>|[a]_H|=[H:C_H(a)]</math>). ידוע את זה לגבי כל חבורה, בפרט עבור <math>H</math>.   באופן כללי, אני אוכל לנסות לכתוב את הפתרון באתר באופן יותר ברור, אבל כאן זה לא המקום להסביר את כל השאלה הזאת (כי זאת, אחרי הכל, שאלת בונוס). בשאלת בונוס 3 באותו תרגיל, איך הגעתם לסדרי יתר מחלקות הצמידות? וגם, למה הסדר של חבורה נורמלית צריך להיות סכום של איברים מהקבוצה הנ"ל'''ועוד אחד'''? איבר היחידה לא נמצא כבר בתוך המסלולים האחרים? לדוגמה אם אנחנו במסלול בגודל 12, איבר היחידה הוא לא אחד מהאיברים במסלול, כך שלא צריך להוסיף עוד אחד ולקבל 13? :בתרגיל 4(http://math-wiki.com/images/3 ו3 עובר ל/39/Solution4abstractalgebra2011.pdf), שאלת בונוס 2, למה G/K אבלית <-1 ולכן סך הכל 1 עובר לעצמו> [G,G] מוכל בK? למה G=<A,x>?תודהרבה! :בנוגע לתרגיל 2 : זאת שאלה 4 א'חשובה. טענה: נתון מה הפעולה של Q (חיבור רגיל), והפעולה תהי <math>G</math> חבורה כלשהי ותהי <math>N</math> תת חבורה נורמלית של חבורת מנה מוגדרת על הקוסטים לפי נציגים<math>G</math>. במילים אחרות, מרגע שנתונה לכם חבורה אזי <math>G (/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>.::הוכחה: נוכיח את הכיוון הלא טריוויאלי. נניח ש- <math>G/N</math> אבלית. צריך להוכיח כי<math>G' \subseteq N</math>. אז נניח בשלילה שלא. כלומר, קבוצה ופעולה) ובתוכה תתקיים קומוטטור שלא שייך ל-חבורה נורמלית H<math>N</math>. זאת אומרת, ושואלים שאלה על קיימים <math>a,b \in G</Hmath> כך ש- <math>[a, אין אפשרות לשאול "מה הפעולה על b]=aba^{-1}b^{-1} \notin N</math>. או.קיי. אבל <math>G/H": הפעולה נובעת מהפעולה של N</math> אבלית ולכן מתקיים לכל <math>a,b \in G</math>: ::<math>[aN,bN]=N</math>, אבל, <math>[aN,bN]=aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=aba^{-1}b^{-1}N=N</math> ואז מקבלים ש-<math>aba^{-1}b^{-1} \in N</math>, בסתירה להנחה שלנו. בנוגע לשאלה לכן חבורת המנה היא אבלית אם ורק אם <math>N</math> מכילה את חבורת הקומוטטורים. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]]:::תודה על הרכבת מחזוריםהתשובות! == [[מדיה: כופלים מימין לשמאלAAexam2004B. קל לזכור זאת כי הרכבת תמורות זה סך הכל מקרה פרטי pdf|מבחן 2004 מועד ב]] שאלה 6א == השאלה היא: "בעזרת משפט ברנסייד מצא מספר ריבועים '''לא שקולים''' עד כדי סיבובים ושיקופים אם מותר לצבוע את הקודקודים בשני צבעים קבועים".האם אפשר למצוע את מספר הריבועים השקולים (כפי שלמדנו לעשות בעזרת הלמה של הרכבת פונקציותברנסייד), ובפונקציות בדרך ואז לקחת את מספר כלל מרכיבים מימין לשמאל. האפשרויות, לחסר ממנו את מספר הצביעות השקולות שמצאנו ולקבל את מספר הצביעות הלא שקולות?תודה מראש, [[משתמש:דורון פרלמןgordo6|דורון פרלמןגל.]] 11 :16:לא, 12 באוגוסט 2011 כי משפט ברנסייד בעצמו מספק את התשובה הדרושה. לפי משפט ברנסייד אנחנו מוצאים את מספר המסלולים של פעולת החבורה. בכל מסלול - איברי המסלול הם שקולים אחד לשני, מצד שני, שני איברים ממסלולים שונים - לא יהיו שקולים. לכן למצוא את מספר המסלולים משמע למצוא את מספר הצביעות '''השונות''', או את מספר הריבועים '''הלא שקולים''' (IDTבמקרה של השאלה הנ"ל). [[משתמש:לואי פולב|לואי]] נ.ב. מצאתי עוד מבחנים נוספים של פרופ' מגרל שלא העלתם, אז העלתי אותם לדף המבחנים.::תודה, והבנתי לגבי המחזוריםנהדר, אבל לא הבנתי משהו לגבי תודה! :) [[משתמש:לואי פולב|לואי]] == שאלה 4 א== האם מתקיים <math>Un~=Z_\phi(n)</math> (הכוונה היא שחבורת ההפיכים של Zn איזו' - אם הבנתי לZ של פי (פונקצית אוילר) של n), לפחות אולי לn ראשוני? תודה! ::אני לא בטוחה שהבנתי את התשובה שלךהשאלה, הפעולה ב Qאבל על פי '''ההגדרה''': חבורת אוילר <math>U_n</math> היא חבורת האיברים ההפיכים של <math>\mathbb{Z }_n</math>.  ::האם זה עונה על השאלה?..--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] :::אני די בטוח שהשאלה פה היא חיבור בין הנציגיםהאם חבורת אוילר מסדר n כלשהו איזו' לZ של פי של אן (כלומר לחבורת מודולו פי אן - כאשר פי אן היא פונקציית אוילר או במילים אחרות העוצמה של חבורת אוילר). התשובה לזה, אבל אז כמובן, קשורה לשאלה האם חבורת אוילר היא ציקלית (שכן האיזו ששאלת עליו יקרה אם ניקח "ם היא ציקלית). עם זאת לא כל חבורת אוילר היא ציקלית - למשל את 2Z (שנמצאU_20. עם זאת, אם חבורות אבליות הן אבליות ולכן ניתנות לפירוק למכפלה של חבורות ציקליות. מקווה שעזרתי, [[משתמש:gordo6|גל.]] == שיעור חזרה עם המרצה == מתי ואיפה הוא יתקיים?תודה!:ראה מייל שפרופ' מגרל שלח לי לגבי זמן השיעור, מיקומו ומטרותיו. [[משתמש:gordo6|גל]]."השיעור יתקיים ביום ראשון ב 2 לאוקטובר בשעה 16:00חדר המחלקה אחד מהאופציות אבליתכן שיהיה שינוי חדר באותו יום אני מתכוון לדבר קצת על החומר -- לסכם כמה דבריםואם יש לכם שאולות לגבי המשפטיםלמשל אם משהו לא טועהברור בהוכחה זאת המטרה של השיעור" == שאלה - אוטומורפיזמים ב-Sn == ערב טוב, בQ/Z) אז כל חזקה טבעית שלא ניקח לא תיתן לנו את האיבר הניטרלי Z האם אוטומורפיזם כלשהו על Sn שומר על סימן תמורה? כלומר: <math>\forall f \in Aut(2ZS_n)^n=, \alpha \in S_n : sign(2*n\alpha)Z!=1Zsign(f(\alpha))</math> - הפרכה. איפה אני טועה? תודה מראש! ::בהחלט! יש לא מעט אוטומורפיזמים כאלה.קודם כל - אוטומורפיזם הזהות. או למשל: אוטומורפיזם ההצמדה ('''לא מתרגל'''הוא שומר על מבנה המחזורים ולכן שומר גם על הסימן) התבלבלת קצת בהגדרה של הקוסט. שתי החבורות, Z ו-Q-[[משתמש: לואי פולב| לואי]]::: תודה, מוגדרות מעל אך את זאת ידעתי כבר קודם. השאלה שלי הייתה האם '''חיבורכל'''. למעשה הקוסט 2Z אוטומורפיזם כללי הוא לא 2Z כמשמעו כפלבהכרח שומר סימן, אלא 2+Z, כי הפעולה שאנחנו נמצאים בה בחבורות Z ו-Q היא חיבוראם כן התכוונת שכל אוטומורפיזם שומר סימן (והדוגמאות היו כדי להסביר). ::: ולכןאז ככה, זה מה שרשמתשאני יודעת: עבור <math>n \neq 2, זה לא 2nZ6</math> מתקיים <math>Aut(S_n)=Inn(S_n)</math>, אלא למעשה 2n + Z, שכידוע זה פשוט Z, אבל זה החלק הטריוויאלי ז"א יש רק את האוטומורפיזמים של השאלה כי למעשה עבור כל מספר שלם הקוסט n+Z הוא פשוט Zההצמדה (ואז הם שומרים סימן). אבל אני לא ממש בטוחה מה קורה ב- <math>S_6</math>, הקאץ' בא כאשר זה איבר רציונלי לא שלםקופץ לי לראש כרגע...שווה לבדוק :)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]::: מקווה שעזרתי.;אשמח להוסיף כאן עוד שאלה שנתקלתי בה, (ובזמן שניסיתי להוכיח אותה עלה בראשי השאלה לגבי שמירת סימן), להוכיח שכל אוטומורפיזם על Sn שולח חילוף אל חילוף. יש לי עוד שאלה נוספת לגבי שאלה שמצאתי, אשמח אם אוכל לשאול אותך זאת::: באי-מייל, מה האי-מייל שלך? ::נכון... מופשטת זה מבלבל Xרשום בדף המשתמש שלי : ) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]::::תודה!מראש ;) :ברור שאוטומורפיזם של הצמדה שומר על הסימן (כי הוא שומר על חילופים). כפי שלואי כתבה, כל אוטומורפיזם של החבורה הסימטרית, פרט למקרה n=6, הוא פנימי (במקרה n=6 המנה של חבורת האוטומורפיזמים ביחס לפנימיים היא מסדר 2:::יש 1440 אוטומורפיזמים, מחציתם פנימיים), ולכן זה פותר את הבעיה - אבל כדי להוכיח את המשפט הזה (שכל האוטומורפיזמים פנימיים) צריך להראות שאין עוד שאלהמחלקה בגודל של מחלקת החילופים, וזה דורש קומבינטוריקה לא טריוויאלית.: בסעיף ב'אפשר להוכיח את הטענה הכללית (כל אוטומורפיזם שומר על הסימן) באופן הבא. החילופים צמודים זה לזה; לכן גם התמונות שלהם צמודות זו לזו. אם התמונה של חילוף היתה זוגית, מה זאת אומרת תת ממילא היו כל התמורות עוברות לתמורות זוגיות, אבל אז ההעתקה אינה על החבורה הנוצרת ע"י המחלקות רבע ושישית? איחוד . לכן התמונה של המחלקות? חיבור שלהם?(כל) חילוף היא אי-זוגית. מכאן שהזוגיות של התמונה של מכפלת חילופים שווה לזוגיות של המכפלה עצמה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 15:29, 4 באוקטובר 2011 (IST) == טעות בתשובה בתרגיל 2 ==

בתרגיל 2 שאלה 2 א', חישבו את פי של 102=2*51. כתוב שפי של 51 זה 50 אבל 51= תרגיל 7 ==17*3 (לא ראשוני)לכן התשובה בתרגיל צריכה להיות 32 ולא 50

האם בשאלה 7 (תרגול 2) ניתן להסתמך על טבלת הכפל שפיתחנו בשאלה 9 (שמגיעה אחריה) או שמשום שהיא אחריה אז צריך לפתח מחדש את הדברים הנדרשים? תודה מראש, [[משתמש:gordo6חופית|גלחופית]]. כמובן, תודה! בשנה הבאה כבר יהיה מתוקן :ניתן בהחלט להיעזר בשאלה 9. ) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]

== שאלה לגבי חישובים ב Zn מתי יעלו פתרונות למבחן? ==

כשצריך לחשב למשל ספרות אחרונות של מספר או לפתור משוואות ב Zn לn כלשהו, מה איבר היחידה, 0 או 1? כי בתרגול, כשרצינו לחשב ספרות אחרונות של מספר, ובאמצע האלגוריתם היינו צריכים למצוא את ההופכי של 59, אז חיפשנו x כך ש<math> 59x=1mod100</math> אבל אם אני מבין נכון, כשמדברים על Zn מדברים על חבורה חיבורית וב (Zn,+כותרת) איבר היחידה הוא 0 לא 1, לא?:{{לא מתרגל}} צריך להבין עובדים על פי הקשר. אם מדברים על Zn כחבורה אז כןזה! ואגב, מדובר על חיבור. אבל זה יהיה הרבה יותר מהיר אם מופיעה משוואה כמו שנתת הרי שמופיע בה כפל, או בשאלה למצוא את הספרה הארונה של חזקה כלשהי - מדובר על כפל כמובן. עלייך להבין לפי ההקשר... [[משתמשיהיו מתנדבים לכתיבת הפתרונות :gordo6|גל]]. נכון, ובתרגיל המדובר, השתמשנו במשפט אוילר ולשם כך עברנו לחבורה הכפלית <math>U_n</math> -) [[משתמש:לואי פולב|לואי]]:אם היינו יודעים איך לפתור לא היינו מבקשים פתרונות :P

== שאלה 8 אחוז ציון התרגיל ==

מה הפעולות בכל חבורה בשאלה 8 סעיפים אבמידע האישי היה כתוב של המשקל של התרגיל הוא 10% למרות שבתחילת הקורס נאמר 15%, האם הטעות הזאת תתוקן? תודה:(' עד ד'? 'לא מתרגל''') הבעיה כבר תוקנה, כשהעלו את הציונים של הבחינה. בהזדמנות זאת אני רוצה לומר תודהעל זה שהגיעו הציונים תוך פחות משבוע, וחג שמח!