{{הוראות דף שיחה}}
=ארכיון=
[[שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא/ארכיון 1|ארכיון 1]]
=שאלות=
== תרגיל 1, 4 שאלה 2, סעיף ה 3 ==
האם צריך להוכיח ש-1) הכוונה היא בנקודת שבת "של g" <math>\Deltax| g*x=x</math> אסוציאטיבית, או שמספיק לציין את זה? בנקודת שבת "של G" (כבר הוכחנו במתמטיקה בדידה). תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 22:50, 6 באוגוסט 2011 (IDT):מספיק לציין. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:02, 7 באוגוסט 2011 (IDTאיקסים כך שלכל g בG מתקיים g*x=x)?
2)סימטריות של הריבוע =סיבובים?תודה:1) לא נתונה g ספציפית, לכן הכוונה לנקודת שבת "של החבורה" (ליתר דיוק, של הפעולה), כלומר איבר x ב-X שנשאר במקום ע"י כל איברי g ב-G.:2) סיבובים ושיקופים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:16, 30 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה = מערכת שעות למחר 8= שאלה == ב Sn, טיפוסי המחזורים הבאים: (--)(---) ו- (---)(--) נחשבים טיפוסים שונים, או זהים? תודה!:זהים: כי מחזורים זרים מתחלפים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 10:39, 30 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה! == תרגיל 4 - שאלת בונוס 2 == בשאלת הבונוס השניה בתרגיל 4, מה זה בדיוק [G,G] ו-[G,A]? תודה מראש!;): אלו חבורות הקומוטטורים. אם G היא חבורה ו-A,B תת-חבורות שלה, אז <math>\ [A,B]</8 math> היא תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a,b] = aba^{-1}b^{-1}</math> עבור <math>\ a\in A, b\in B</math>. שימו לב שבאופן כללי, לא כל איבר של <math>\ [A,B]</math> הוא קומוטטור. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:36, 30 באוגוסט 2011 (IDT) == בקשר לשאלה 11 == האם מתקיים ש exp(G)= lcm({ O(g)|g in G }) zzz? זה לפחות מתקיים בחבורה Sn? תודה!:הטענה נכונה. בכל חבורה סופית האקספוננט הוא ה-lcm של סדרי כל האיברים (בפרט ב-Sn). נסו להוכיח זאת. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:42, 1 בספטמבר 2011 (IDT)::צריך להוכיח זאת לצורך התרגיל? תודה.:::לא, אתם יכולים פשוט להשתמש בזה. אני כן ממליץ (בלי קשר לתרגיל) לנסות להבין למה זה נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 13:26, 1 בספטמבר 2011 (IDT)::::תודה! == כמה שאלות לגבי שאלה 6 == 1. הכוונה (ב-ב.) היא שצריך להוכיח שקיים אפימורפיזם מZ^m לG, נכון?2. אני יכול לטעון שקבוצה מסוימת יוצרת את Z^m בלי להוכיח את זה?3. זה טריויאלי להשתמש בעובדה שניתן להגדיר הומומורפיזם ע"י שליחת יוצר בקבוצה אחת ליוצר בקבוצה אחרת?תודה!== שאלה 7 סעיף ב' == מה זה G' ?: ('''לא מתרגל''') חבורה הנוצרת ע"י כל הקומוטטורים ב-G. למדנו זאת בחלק נרחב מהתרגול, קשה לי להאמין שלא נתקלת בזה.: מקווה שעזרתי;) == סיכומים (של סטודנטים) לקורס זה ==
שלום רב,
מהי מערכת השעות למחר 8/8? (נאמר לנו שיהיו שינויים בגלל תשעה באב).
תודה מראש, [[משתמש:gordo6|גל]]
כפי שנעשה בקורסים האחרים באתר זה (כגון:ההרצאה תסתיים ב[[88-13:00236 תשעא סמסטר קיץ|אינפי 4]]), והתרגול יתחיל ב13:30 ויסתיים לקראת 16:15.-העליתי סיכומים של הקורס (שכתבו סטודנטים שלמדו בו) לדף השיחה שלי -ממש [[משתמש: לואי פולבGordo6/סיכומים אלגברה מופשטת 1|לואיכאן]]תוך הוספת הערה שאלו סיכומים שנכתבו על ידי הסטודנטים, ולכן כמובן שאין התחייבות של המרצים ו/או המתרגלים לתקינותם.
== תרגיל 2 שאלה 1ב' ==כמו כן - הוספתי לדף הראשי של הקורס הזה קישור לדף הסיכומים, ממש כפי שנעשה בקורסים האחרים. מקווה שזה בסדר. במידה וזה בעייתי, אין לי בעיה להסיר את הקישור המדובר בעקבות בקשה שלכם ו/או שאתם תסירו אותו.
הכוונה היא לחבורת כל המטריצות הריבועיות הרציונליות מגודל 5תודה, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב? ובאופן דומה, חבורת כל הווקטורים הרציונליים מגודל 5, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב?:כן. [[משתמש:דורון פרלמןGordo6|דורון פרלמןגל]] 23:54, 8 באוגוסט 2011 (IDT).
== תרגיל 2 - שאלת הבונוס בקשה ==
לגבי שאלת הבונוסמתרגלים יקרים, האם הטענה הבאה נכונה: <br>'''''טענה''''': עבור <math>G_{1} \subseteq G_{2} \subseteq ... </math> חבורות פשוטות, נגדיר <math>G = \bigcup_{n}G_{n} </math>.תהי תת חבורה נורמלית <math>H \triangleleft G</math>, השונה מתת החבורה המלאה תוכלו להעלות את הפתרונות של תרגילי הבית? וגם אולי מבחנים? (G עצמה כלומרזה חשוב כדי להתאמן למבחן) ושונה מתת החבורה הטריוויאלית. אזי קיים <math>n_{0} \in \mathbb{N}</math> כך ש - <math>H \subset \bigcup_{n=1}^{n_{0}}G_{n}</math>. תודה רבה!
אם הטענה נכונה, אזי קל להוכיח בעזרתה את שאלת הבונוס::קיבלתם! :) הפתרונות נמצאים מתחת לתרגילים. מצד אחד היא נראית הגיונית, מצד שני זה לא טריוויאלי אם בכלל נכוןעוד היום יעלו גם מבחנים של פרופסור מגרל משנים קודמות.--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]האם הטענה נכונה? אחרי מספר נסיונות להוכיח אותה זה לא טריוויאלי כלל, ואולי היא בכלל לא נכונה, וצריך לפנות אל השאלה בכיוון אחר לגמריי?דיברתי עם לואי לגבי זה בתרגול והיא ביקשה שאפרסם כאן את השאלה.:::תודה
תודה מראש.== חבורות חופשיות ==
: לאחר מחשבה בנושא: הטענה הזאת חבורות חופשיות זה בחומר למבחן? לא נכונה..תרגלנו את הנושא והנושא מרגיש לא מובן, לכן נשמח אם לא נבחן עליו. נסו כיוון אחר :) [[משתמש: לואי פולב| לואי]]:: תודה רבה על התשובה המהירה! ;)
הדרישה ש-H תהיה "שונה מ-G" היא מה שקוראים באנגלית red herring (ראו [http://en:המבחן כבר כתוב, וכולל את כל החומר שלמדתם.wikipedia.org/wiki/Red_herring כאן] להסבר מפורט מדי). השאלה העקרונית היא האם חבורה המוכלת באיחוד של (שרשרת של) חבורות פשוטות צריכה להיות מוכלת באיחוד של מספר סופי מהן (ולכן באחת מהן!)חופשית זה נושא גדול, וברור שהתשובה שלילית ובמסגרת מה שהספקת בהרצאה - אם אפשר לבנות שרשרת עולה ממש של חבורות, אז האיחוד שלה אינו שווה לאף רכיב בשרשרתאין הרבה מה לתרגל. בכל אופן, הנה דוגמא נגדית מפורשת: קחו את <math>\ G_n</math> להיות חבורת התמורות הזוגיות אני מציעה שתעברו על n אברים (נניח שמתחילים החומר במחברת ותנסו להבין את השרשרת ב-n=5), המשוכנות זו בזו באופן הטבעי (כלומר, m הוא נקודת שבת משותפת של <math>\ G_n</math> לכל n<m)הרעיונות המרכזיים. האיחוד של כל החבורות האלה הוא החבורה של התמורות הזוגיות בעלות תומך סופי על המספרים הטבעיים - וזו חבורה פשוטה אינסופית לפי התרגיל, שאינה מוכלת באף איחוד סופי. G יכולה להיות חבורת כל התמורות בעלות תומך סופי על המספרים הטבעיים, או אפילו חבורת כל התמורות על המספרים הטבעיים (שזה משהו אחר לגמרי). -[[משתמש:עוזי ו.לואי פולב|עוזי ו.לואי]] 16:17, 21 באוגוסט 2011 (IDT)
==בקשהשיעור חזרה מחר ==אתם יכולים להעלות את הפתרונות של תרגיל 1? תודה מראש.: ''' "כל דבר בא בעתו... כל דבר בא בעתו למי שיודע לחכות" ''' לב טולסטוי, "מלחמה ושלום"
: ובנימה עניינית יותר: נעשה זאת בימים הקרובים =) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]איפה השיעור מחר? תודה מראש.
== 2 שאלות :) ==:זה מופיע בהודעות, בדף הראשי
-בתרגיל 2 שאלה 4 א'- הכוונה ל Q/Z כחבורה? אם כן- מהי הפעולה?-לגבי הרכבת מחזורים, אם למשל מסתכלים על (1,2,3)(1,3,2) מה בא קודם- הימני או המשאלי- זאת אומרת למשל 1 עובר ל 3 ואז ל2 ולכן סך הכל 1 עובר ל-2 או ש 1 עובר ל-3 ו3 עובר ל-1 ולכן סך הכל 1 עובר לעצמו? תודה!:בנוגע לתרגיל 2 שאלה 4 א': נתון מה הפעולה של Q (חיבור רגיל), והפעולה של חבורת מנה מוגדרת על הקוסטים לפי נציגים. במילים אחרות, מרגע שנתונה לכם חבורה G (כלומר, קבוצה ופעולה) ובתוכה תת-חבורה נורמלית H, ושואלים שאלה על G/H, אין אפשרות לשאול "מה הפעולה על G/H": הפעולה נובעת מהפעולה של G. בנוגע לשאלה על הרכבת מחזורים: כופלים מימין לשמאל. קל לזכור זאת כי הרכבת תמורות זה סך הכל מקרה פרטי של הרכבת פונקציות, ובפונקציות בדרך כלל מרכיבים מימין לשמאל. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:16, 12 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה, והבנתי לגבי המחזורים, אבל לא הבנתי משהו לגבי שאלה 4 א' - אם הבנתי את התשובה שלך, הפעולה ב Q/Z היא חיבור בין הנציגים, אבל אז אם ניקח למשל את 2Z (שנמצא, אם אני לא טועה, בQ/Z) אז כל חזקה טבעית שלא ניקח לא תיתן לנו את האיבר הניטרלי Z:<math>(2Z)^n=(2*n)Z!=1Z</math> - הפרכה. איפה אני טועה?::: ('''לא מתרגל''') התבלבלת קצת בהגדרה של הקוסט. שתי החבורות, Z ו-Q, מוגדרות מעל '''חיבור'''. למעשה הקוסט 2Z הוא לא 2Z כמשמעו כפל, אלא 2+Z, כי הפעולה שאנחנו נמצאים בה בחבורות Z ו-Q היא חיבור.::: ולכן, מה שרשמת, זה לא 2nZ, אלא למעשה 2n + Z, שכידוע זה פשוט Z, אבל זה החלק הטריוויאלי של השאלה כי למעשה עבור כל מספר שלם הקוסט n+Z הוא פשוט Z, הקאץ' בא כאשר זה איבר רציונלי לא שלם...::: מקווה שעזרתי.;)::::נכון... מופשטת זה מבלבל X: ::::תודה!::::'''עוד שאלה:''' בסעיף ב', מה זאת אומרת תת החבורה הנוצרת ע"י המחלקות רבע ושישית? איחוד של המחלקות? חיבור שלהם?:::::לא זה ולא זה. ראינו בתרגול מה ההגדרה של תת-חבורה הנוצרת ע"י מספר איברים (בפרט חבורה ציקלית נוצרת ע"י איבר 1). למשל יש תת-חבורות הנוצרות ע"י 2 איברים. על זה מדברת השאלה הזו. כאן החבורה היא חבורת המנה, לכן האיברים הם הקוסטים, ושואלים על תת-החבורה (של חבורת המנה) הנוצרת ע"י 2 האיברים (במקרה זה, הקוסטים) הנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 18:39, 14 באוגוסט 2011 (IDT)::::::"כאן החבורה היא חבורת המנה, לכן האיברים הם הקוסטים, ושואלים על תת-החבורה (של חבורת המנה) הנוצרת ע"י 2 האיברים" - הבנתי את זה, ושאלתי- מהי חבורה הנוצרת ע"י 2 איברים (במקרה זה המחלקות / קוסטים) - איחוד של החבורה הנוצרת ע"י האיבר הראשון (המחלקה של רבע) והחבורה הנוצרת ע"י האיבר השני(שישית)? אם לא, מהי ההגדרה של חבורה הנוצרת ע"י יותר מאיבר אחד? כי אני לא זוכר שהגדרנו את זה בתרגול.:::::::לפי מיטב זכרוני הגדרנו, ואפילו התעכבנו להבין מה משמעות ההגדרה. בכל אופן, ההגדרה הכללית היא (עבור 2 איברים): ת"ח הנוצרת ע"י שני איברים x,y היא הת"ח הקטנה ביותר של G המכילה את x ואת y. במקרה האבלי אפשר לחשוב על זה יותר קונקרטית: זה כל האיברים מהצורה x^n*y^m באשר n,m שלמים ו-* זו הפעולה של החבורה (במקרה הלא אבלי זה יותר מסובך. אבל בשאלה הזו החבורה אבלית, אז אפשר להשתמש גם בהגדרה הקונקרטית). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:45, 14 באוגוסט 2011 (IDT)::::::::תודהשיעור חזרה היום ==
== תרגיל 7 ==הי לואי,המזכירות שלחה עכשיו מייל לכולם שהתרגול בשעה 14, למרות שכתוב באתר שהוא בשעה 16. אז מתי הוא יהיה? גל.
האם בשאלה 7 (תרגול 2) ניתן להסתמך על טבלת הכפל שפיתחנו בשאלה 9 (שמגיעה אחריה) או שמשום שהיא אחריה אז צריך לפתח מחדש את הדברים הנדרשים? תודה מראש, [[משתמש:gordo6|:הי גל]]. , בסוף הוא יהיה בשעה 14:ניתן בהחלט להיעזר בשאלה 900. ההודעה באתר תוקנה. --[[משתמש: לואי פולב| לואי]].
== שאלה לגבי חישובים ב Zn כמה שאלות על תרגילי הבית ==
כשצריך לחשב למשל ספרות אחרונות של מספר או לפתור משוואות ב Zn לn כלשהו, מה איבר היחידה, 0 או 1? כי בתרגול, כשרצינו לחשב ספרות אחרונות של מספר, ובאמצע האלגוריתם היינו צריכים למצוא את ההופכי של 59, אז חיפשנו x כך ש<בתרגיל 2 (http://math> 59x=1mod100<-wiki.com/images/math> אבל אם אני מבין נכון5/56/Solution2abstractalgebra2011.pdf) שאלה 8, כשמדברים על Zn מדברים על חבורה חיבורית וב (Znג',+) איבר היחידה הוא 0 לא 1, לאלמה הקוסט שיצא איזומורפי לX2?:{{אני לא מתרגל}} צריך להבין על פי הקשררואה למה זה קורה. אם מדברים על Zn כחבורה אז כן, מדובר על חיבור. אבל אם מופיעה משוואה כמו שנתת הרי שמופיע בה כפל, או בשאלה למצוא לאן נעלם X1? כפי שאני רואה את הספרה הארונה של חזקה כלשהי - מדובר על כפל כמובןזה זה שווה ל X1xX2 ולא איזומורפי לX2. עלייך להבין לפי ההקשר... [[משתמש:gordo6|גל]]. נכון, ובתרגיל המדובר, השתמשנו במשפט אוילר ולשם כך עברנו לחבורה הכפלית <math>U_n</math> -[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
== שאלה 8 ==
מה הפעולות בכל חבורה בשאלה 8 סעיפים א' עד ד'? תודה!: ('''לא מתרגל''') בדר"כ אתה אמור להבין מה הפעולה בכך שנתונה לך החבורה : זה אכן איזומורפי ל-<math>X_2</math>. אנסה להבהיר את זה עם דוגמא. נתבונן ב- <math>G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2</math>, להלן הפעולותותהי <math>H=\mathbb{Z}_4 \times \{0\}</math>. כעת נתבונן בקוסטים של <math>H</math>:: 1. <math>(0,0)+H=H</math>: 2. + <math>(ביחס לשני הרכיבים1,0)+H=H</math>: 3. פעולה רכיב רכיב (הוכחנו בתרגול שזו חבורה)..: 4. כפללמעשה: <math>(a, כי U20 זו חבורת ההפיכים של Zn ביחס לכפל0)+H=H</math>.: אני מציע לך לקרוא במחברת ולזכור אילו חבורות ישכעת, גם על פעולת הכפל וגם על החיבור. מה קורה אם למשל עבור הקבוצה Q היה רשום Q* ולא Q, אתה יכול להסיק שזו חבורה על כפל, ולא על חיבור.יש 1 במקום השני?: מקווה שעזרתי;<math>(0,1)+H= \mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>:וקל לראות כי:עזרת, תודה. למתרגלים, חבורה מורכבת הרי מקבוצה ומפעולה, נשמח אם אפשר תכתבו גם את הפעולות ולא רק את הקבוצות כדי שלא נצטרך לנחש.:::לא צריך לנחש. הדגשנו הרבה פעמים בתרגולים <math>(גם בקבוצה שלי וגם בקבוצה של לואיa,1) שיש קבוצות מסוימות (למשל המספרים השלמים), שכאשר מדברים על "חבורת המספרים השלמים", הפעולה מובנת מאליה - חיבור+H=\mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>. כנ"ל השלמים מודולו n. נכון שאפשר להגדיר אין-סוף פעולות אחרות על השלמים, אבל אלא אם מציינים אחרת, אתם אמורים להבין שזו הפעולה הסטנדרטית. כאשר אתם רואים Un אין טעם לשאול אם הפעולה היא חיבור או כפל, כי זו חבורה רק עבור כפל! וכאשר אתם רואים Zn, שוב, אין טעם לשאול את השאלה: זו חבורה לכן יש רק עבור חיבור. אנחנו מודעים לעובדה שלחבורה יש גם קבוצה וגם פעולהשני קוסטים, ואם בתרגילים מסוימים אנחנו לא מציינים את הפעולה, זה לא מעצלנות, אלא בגלל שאנחנו מצפים שתדעו להכיר את הדוגמאות הקלאסיות ואכן קבוצת המחלקות של חבורות שראיתם שוב ושוב בתרגולים<math>H</math> איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_2</math>. (נ"ב: בתרגילי בית באינפי, כאשר התבקשתם לגזור את x^3+2x, האם כל פעם היה צורך לשאול "האם גוזרים לפי x או לפי משתנה אחר?"). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:52, 14 באוגוסט 2011 (IDT)::::טוב תתלה אותי וזהו:::::לא היתה כוונה לפגועאותו הדבר בדיוק קורה בתרגיל המדובר.נסו לחשוב מהו האיזומורפיזם המפורש שעושה את העבודה. התשובה גם לא היתה אישית כלפי שואל השאלה, אלא תשובה כללית לכל השואלים (כיוון שזו שאלה שחוזרת על עצמה), אז ניסיתי להבהיר נקודה מסוימת. אם העלבתי או פגעתי, אני מתנצל. --[[משתמש:דורון פרלמןלואי פולב|דורון פרלמןלואי]] 17:59, 16 באוגוסט 2011 (IDT)
== שאלה ==
האם בחבורה, או חבורה אבלית, מתקיים a^n=b^n => a=b, והאם אפשר/צריך להוכיח את זה? תודה מראש
: ('''לא מתרגל''') הטענה אינה נכונה. הדוגמא הכי טובה לכך היא החבורה של המרוכבים ללא האפס, תחת הכפל (או אפילו אומגה n),
: עבור שני שורשי יחידה '''שונים''', חזקתם ב-n כאשר n הוא סדר שורש היחידה יהיה פשוט 1. כלומר, a^n = b^n = 1,
: אך ממש לא a = b. שים לב שהחבורה שציינתי היא אף אבלית, אז זה באופן כללי סותר את הטענה.
: מקווה שעזרתי ;)
== תרגיל 2 שאלה בתרגיל 3 סעיף ג' ==(http://math-wiki.com/images/a/a6/Solution3abstractalgebra2011.pdf) שאלת בונוס 2, מהו C_H(a)?
מספיק להוכיח ש N1 חיתוך N2 וN1N2 הן נורמליות זהו המרכז (בלי להוכיח שהן ת"ח, כי זה ברור/ הוכחנו את זה בתרגולcentralizer) ?של <math>a</math> ב- <math>H</math>.
לגבי חיתוךותוכלו להסביר את הפתרון? (למשל למה ידוע ש <math>|[a]_H|=[H: הראינו בכיתה שחיתוך של תתי חבורות הוא תת חבורהC_H(a)]</math>). ידוע את זה לגבי כפל: הכפל הוא לא תמיד תת כל חבורה, אלא במקרים מיוחדים (ראה את הסעיף הקודם, למשל), לכן כן יש שם משהו להוכיחבפרט עבור <math>H</math>. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]]
באופן כללי, אני אוכל לנסות לכתוב את הפתרון באתר באופן יותר ברור, אבל כאן זה לא המקום להסביר את כל השאלה הזאת (כי זאת, אחרי הכל, שאלת בונוס).
== בשאלת בונוס 3 באותו תרגיל 2 שאלה 8 ==, איך הגעתם לסדרי יתר מחלקות הצמידות? וגם, למה הסדר של חבורה נורמלית צריך להיות סכום של איברים מהקבוצה הנ"ל '''ועוד אחד'''? איבר היחידה לא נמצא כבר בתוך המסלולים האחרים? לדוגמה אם אנחנו במסלול בגודל 12, איבר היחידה הוא לא אחד מהאיברים במסלול, כך שלא צריך להוסיף עוד אחד ולקבל 13?
מה בכוונה ב"תארו את הקוסטים :בתרגיל 4(http://math-wiki.com/images/3/39/Solution4abstractalgebra2011..." מה זאת אומרת "לתאר" pdf), שאלת בונוס 2, למה G/K אבלית <-> [G,G] מוכל בK? למה G=<A,x>?תודה רבה!
: (': זאת שאלה חשובה. טענה: תהי <math>G</math> חבורה כלשהי ותהי <math>N</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math>. אזי <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G'\subseteq N</math>.::הוכחה: נוכיח את הכיוון הלא טריוויאלי. נניח ש- <math>G/N</math> אבלית. צריך להוכיח כי<math>G'לא מתרגל''') "קוסט בלונדיני\subseteq N</math>. אז נניח בשלילה שלא. כלומר, עם איבר הפיך" לדוגמאקיים קומוטטור שלא שייך ל-<math>N</math>.זאת אומרת, קיימים <math>a,b \in G</math> כך ש- <math>[a,b]=aba^{-1}b^{-1} \notin N</math>.או.קיי. אבל <math>G/N</math> אבלית ולכן מתקיים לכל <math>a,b \in G</math>: :הכוונה לרשום מה הם:<math>[aN,bN]=N</math>, אבל, <math>[aN,bN]=aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=aba^{-1}b^{-1}N=N</math> ואז מקבלים ש-<math>aba^{-1}b^{-1} \in N</math>, בסתירה להנחה שלנו. לכן חבורת המנה היא אבלית אם ורק אם <math>N</math> מכילה את חבורת הקומוטטורים. --[[משתמש:דורון פרלמןלואי פולב|דורון פרלמןלואי]] 02:12, 14 באוגוסט 2011 (IDT)::תודה על התשובות! ==תרגיל 2 [[מדיה: AAexam2004B.pdf|מבחן 2004 מועד ב]] שאלה 5 א' 6א ==ההעתקה מעבירה בין איזה קבוצות ומה בדיוק זה אומר " לא מוגדרת היטב " ?השאלה היא: ("בעזרת משפט ברנסייד מצא מספר ריבועים '''לא מתרגלשקולים'''עד כדי סיבובים ושיקופים אם מותר לצבוע את הקודקודים בשני צבעים קבועים".האם אפשר למצוע את מספר הריבועים השקולים (כפי שלמדנו לעשות בעזרת הלמה של ברנסייד) בתרגול הראו לנו כי ההעתקה ההפיכה בין קבוצת הקוסטים השמאליים לימניים היא לא הטריוויאלית xH -> Hx אלא xH -> Hx^-1, מסיבה מסוימתואז לקחת את מספר כלל האפשרויות, והסיבה היא שההעתקה הטריוואלית לא מוגדרת היטב.: מז"א לא מוגדרת היטבלחסר ממנו את מספר הצביעות השקולות שמצאנו ולקבל את מספר הצביעות הלא שקולות? שהיא לא חד-ערכיתתודה מראש, כלומר[[משתמש:: x1 = x2 אבל : fx1 != fx2gordo6|גל.]]: מקווה שעזרתי;)::נכוןלא, כי משפט ברנסייד בעצמו מספק את התשובה הדרושה. ובימילים אחרות: העניין הוא שכאשר יש פונקציה בין מחלקות שקילותלפי משפט ברנסייד אנחנו מוצאים את מספר המסלולים של פעולת החבורה. בכל מסלול - איברי המסלול הם שקולים אחד לשני, ומגדירים אותה על נציגיםמצד שני, צריך לבדוק שהיא מוגדרת היטב שני איברים ממסלולים שונים - לא יהיו שקולים. לכן למצוא את מספר המסלולים משמע למצוא את מספר הצביעות '''השונות''', או את מספר הריבועים '''הלא שקולים''' (זכור משהו כזה מבדידה?במקרה של השאלה הנ"ל) כלומר שלא משנה איזה נציג במחלקה נבחר, נגיע לאותה תוצאה. [[משתמש:דורון פרלמןלואי פולב|דורון פרלמןלואי]] 02 נ.ב. מצאתי עוד מבחנים נוספים של פרופ' מגרל שלא העלתם, אז העלתי אותם לדף המבחנים.:12:נהדר, 14 באוגוסט 2011 (IDTתודה! :)[[משתמש:לואי פולב|לואי]] == שאלה ==
האם מתקיים <math>Un~== תרגיל 2Z_\phi(n)</math> (הכוונה היא שחבורת ההפיכים של Zn איזו' לZ של פי (פונקצית אוילר) של n), שאלה 4, סעיף 2 ==לפחות אולי לn ראשוני? תודה!
יש לחשב ::אני לא בטוחה שהבנתי את השאלה, אבל על פי '''ההגדרה''': חבורת אוילר <math>[G:H]U_n</math>. אם אני צודק והתשובה היא חבורת האיברים ההפיכים של <math>\aleph_0mathbb{Z}_n</math>, האם מספיק להוכיח שזה ∞? תודה.
בהחלט! ::האם זה עונה על השאלה?..--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
== תרגול מחר 17/8 ==:::אני די בטוח שהשאלה פה היא האם חבורת אוילר מסדר n כלשהו איזו' לZ של פי של אן (כלומר לחבורת מודולו פי אן - כאשר פי אן היא פונקציית אוילר או במילים אחרות העוצמה של חבורת אוילר). התשובה לזה, כמובן, קשורה לשאלה האם חבורת אוילר היא ציקלית (שכן האיזו ששאלת עליו יקרה אם"ם היא ציקלית). עם זאת לא כל חבורת אוילר היא ציקלית - למשל U_20. עם זאת, חבורות אבליות הן אבליות ולכן ניתנות לפירוק למכפלה של חבורות ציקליות. מקווה שעזרתי, [[משתמש:gordo6|גל.]]
איפה התרגול מחר (יום ד 17/8)? בחדר 106 כמו שהיה אתמול או בחדרים 101,102 כמו תמיד? תודה מראש.:ב-101/102 כרגיל. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 17:59, 16 באוגוסט 2011 (IDT)== שיעור חזרה עם המרצה ==
== תרגיל 3 שאלה 10 סעיף במתי ואיפה הוא יתקיים?תודה!:ראה מייל שפרופ' ==מגרל שלח לי לגבי זמן השיעור, מיקומו ומטרותיו. [[משתמש:gordo6|גל]]."השיעור יתקיים ביום ראשון ב 2 לאוקטובר בשעה 16:00חדר המחלקה אחד מהאופציות אבליתכן שיהיה שינוי חדר באותו יום אני מתכוון לדבר קצת על החומר -- לסכם כמה דבריםואם יש לכם שאולות לגבי המשפטיםלמשל אם משהו לא ברור בהוכחה זאת המטרה של השיעור"
נראה לי שיש טעות בשאלה. מבקשים להוכיח ש-H תח"נ של המנרמל. ז"א, בין היתר, כל איברי H מוכלים במנרמל שלה. אבל זה לא אומר בעצם שכל איבר ב-H מתחלף עם כל איברי H? ואם כן, אז כל איבר ב-H מתחלף עם כל איברי H => כל איברי H נמצאים במרכז של H <= H אבלית ולא אמרו לנו את זה..:זה לא אומר שכל איבר בשאלה -H מתחלף עם כל איברי H. איך הגעת למסקנה הזו? אם תפרט/י יותר את השלב בין "כל איברי H מוכלים במנרמל שלה" לבין "כל איבר אוטומורפיזמים ב-H מתחלף עם כל איברי H" נוכל לראות איפה הטעות. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 12:48, 18 באוגוסט 2011 (IDT)::אם לכל h ב-H מתקיים h שייך למנרמל זה לא אומר שכל ה-h ב-H מקיימים hHSn =Hh? ואז לא מקבלים שלכל h1 ו-h ב-H מתקיים: h*h1=h1*h?:::זה שלכל h ב-H מתקיים hH=Hh לא גורר שלכל h1 ב-H מתקיים h*h1=h1*h. מה שכן ניתן להסיק הוא רק שלכל h1 ב-H קיים h2 ב-H כך ש-h*h1=h2*h. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 13:14, 18 באוגוסט 2011 (IDT)
== שאלה 7 ==ערב טוב,
האם פעולת הכפל שמוגדרת, והמינוס שמוגדר אוטומורפיזם כלשהו על כל איבר בה, עובד באופן אינטואיטיבי בו עובד מינוס Sn שומר על ממשייםסימן תמורה?למשלכלומר:<math>(-i)*j = -(i*j)</math>?
<math>\forall f \in Aut(-1S_n) * , \alpha \in S_n : sign(-1\alpha) = 1sign(f(\alpha))</math>
<math>(-1) * (-i) = i</math>?תודה מראש!
וכל מיני תנאים שקשורים במינוס במספרים ממשיים::בהחלט! יש לא מעט אוטומורפיזמים כאלה.קודם כל - אוטומורפיזם הזהות.. מתקיים או למשל: אוטומורפיזם ההצמדה (הוא שומר על מבנה המחזורים ולכן שומר גם כאן?על הסימן) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]::: תודה, אך את זאת ידעתי כבר קודם. השאלה שלי הייתה האם '''כל''' אוטומורפיזם כללי הוא בהכרח שומר סימן, אלא אם כן התכוונת שכל אוטומורפיזם שומר סימן (והדוגמאות היו כדי להסביר).
תודה מראש;):כן:אז ככה, זה מה שאני יודעת: עבור <math>n \neq 2,6</math> מתקיים <math>Aut(S_n)=Inn(S_n)</math>, ז"א יש רק את האוטומורפיזמים של ההצמדה (ואז הם שומרים סימן). למעשה היינו חייבים לציין זאת בשאלה אחרת אי אפשר לפתור אותהאבל אני לא ממש בטוחה מה קורה ב- <math>S_6</math>, לא קופץ לי לראש כרגע. תודה על התיקון. . שווה לבדוק :)--[[משתמש:דורון פרלמןלואי פולב|דורון פרלמןלואי]] 01:::59אשמח להוסיף כאן עוד שאלה שנתקלתי בה, 20 באוגוסט 2011 (IDTובזמן שניסיתי להוכיח אותה עלה בראשי השאלה לגבי שמירת סימן), להוכיח שכל אוטומורפיזם על Sn שולח חילוף אל חילוף. יש לי עוד שאלה נוספת לגבי שאלה שמצאתי, אשמח אם אוכל לשאול אותך זאת::: באי-מייל, מה האי-מייל שלך?
== פירוק חבורות אבליות ==::זה רשום בדף המשתמש שלי :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]::: תודה מראש ;)
בתחילת הקורס דיברנו : ברור שאוטומורפיזם של הצמדה שומר על כך ש <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\ncong\mathbb{Z}_{4}</math>בגלל של <math>\mathbb{Z}_{4}</math> יש איבר מסדר 4הסימן (כי הוא שומר על חילופים).אבל בשיעור האחרון בחלק כפי שלואי כתבה, כל אוטומורפיזם של פירוק חבורות אבליותהחבורה הסימטרית, אמרנו בדיוק ההיפך!מה אני מפספס??:''פרט למקרה n=6, הוא פנימי (גרסה מתוקנת במקרה n=6 המנה של דבריי:)'' תהי <math>G</math> חבורה אבלית כלשהי חבורת האוטומורפיזמים ביחס לפנימיים היא מסדר <math>4=2^2</math>. נבנה חלוקה של 2, יש לכך שתי אפשרויות: <math>2=2 \or 2=1+1</math>. כלומר שכל חבורה אבלית <math>G</math> כנ"ל תהיה איזומורפית '''לאחת בלבד''' מהבאות: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\or\ \mathbb{Z}_{2^2}=\mathbb{Z}_{4}</math> וכך יש שתי אפשרויות. שים לב שהאיזומורפיזם הוא לאחת בלבד מהחבורות הללו1440 אוטומורפיזמים, שכן הן מחציתם פנימיים), ולכן זה פותר את הבעיה - אבל כדי להוכיח את המשפט הזה (שכל האוטומורפיזמים פנימיים) צריך להראות שאין עוד מחלקה בגודל של מחלקת החילופים, וזה דורש קומבינטוריקה לא איזומורפיות אחת לשנייהטריוויאלית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:gordo6|גל]]אפשר להוכיח את הטענה הכללית (כל אוטומורפיזם שומר על הסימן) באופן הבא.::שים לב: החלוקה היא החילופים צמודים זה לזה; לכן גם התמונות שלהם צמודות זו לזו. אם התמונה של המעריךחילוף היתה זוגית, ולא של סדר ממילא היו כל התמורות עוברות לתמורות זוגיות, אבל אז ההעתקה אינה על החבורה. כלומר פה 4=2^2 לכן מסתכלים על חלוקות התמונה של 2 ויש 2 חלוקות כאלה: 2=2 ו(כל) חילוף היא אי-2=1+1זוגית. לכן יש שתי חבורות אבליות מסדר 4 עד כדי איזומורפיזם: <math>\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}, \mathbb{Z}_{4}</math>מכאן שהזוגיות של התמונה של מכפלת חילופים שווה לזוגיות של המכפלה עצמה. [[משתמש:דורון פרלמןעוזי ו.|דורון פרלמןעוזי ו.]] 1415:1329, 20 באוגוסט 4 באוקטובר 2011 (IDTIST):::כמובן, טעות שלי. מה שרשמתי מעלה תוקן. [[משתמש:gordo6|גל]].
== תרגיל 11 טעות בתשובה בתרגיל 2 ==אתם יכולים להזכיר לי מהי נקודת שבת ?:תהי G חבורה עם פעולה * על קבוצה X. נאמר כי x ב-X היא נקודת שבת אם לכל g ב-G מתקיים g*x=x. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 17:46, 20 באוגוסט 2011 (IDT)
בתרגיל 2 שאלה 2 א', חישבו את פי של 102=2*51. כתוב שפי של 51 זה 50 אבל 51= תרגיל 17*3 שאלה 9 ==(לא ראשוני)לכן התשובה בתרגיל צריכה להיות 32 ולא 50
בסעיף א' האם הכוונה שיש צורך לחשב את a בחזקת 1- ואז לחשב מכפלה של תמורות? אם כן מעל איזה חבורה זה? S9?:כן, וכן. [[משתמש:דורון פרלמןחופית|דורון פרלמןחופית]] 15:24 כמובן, 21 באוגוסט 2011 (IDTתודה! בשנה הבאה כבר יהיה מתוקן :)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
== תרגיל 3 שאלה 11 מתי יעלו פתרונות למבחן? ==
בסעיפים ב'(כותרת) עובדים על זה! ואגב,ג' האם מותר גם לא לצבוע בכלל, זאת אומרת זה יהיה הרבה יותר מהיר אם יהיו מתנדבים לכתיבת הפתרונות : נגיד בסעיף ג' האם מותר גם לא לצבוע את הצלעות ?:{{לא מתרגל}} אני לא חושב, שכן גם בתרגול בשאלות שעשינו לא התייחסנו למקרה שבו הצלעות לא נצבעות. ) [[משתמש:gordo6לואי פולב|גללואי]].:אם היינו יודעים איך לפתור לא היינו מבקשים פתרונות :P
== לגבי שאלה 7 סעיף ב' אחוז ציון התרגיל ==
יש משפט שאומר שאם הסדר במידע האישי היה כתוב של ת"ח מחלק את הסדר החבורה אז הת"ח נורמליתהמשקל של התרגיל הוא 10% למרות שבתחילת הקורס נאמר 15%, האם הטעות הזאת תתוקן? (סליחה אם זאת שאלה טריויאלית)תודה:סדר של ת"ח תמיד מחלק את סדר החבורה, בלי קשר להיות הת"ח נורמלית או לא (ראה משפט לגרנג'!!!''לא מתרגל''')הבעיה כבר תוקנה, כשהעלו את הציונים של הבחינה. בכל מקרה, מה שכן אפשר בהזדמנות זאת אני רוצה לומר הוא: תהי <math>G</math> חבורהתודה על זה שהגיעו הציונים תוך פחות משבוע, <math>H</math> ת"ח מאינדקס 2, כלומר <math>{G:H]=2</math> או <math>|H|=0.5*|G|</math> (שוב ממשפט לגרנג'וחג שמח!!!) אזי <math>H</math> נורמלית ב-<math>G</math> (הוכחנו בתרגול). כמו כן אם האינדקס 1 אז הת"ח תהיה נורמלית - שכן במקרה זה נקבל שהיא שווה לחבורה עצמה. מקווה שעזרתי, [[משתמש:gordo6|גל]].