===תשובה===
נתחיל מהראשון. הכיוון הפשוט יותר הינו שאם לכל תת סדרה יש תת סדרה שעבורה הטור מתכנס, לכן לכל תת סדרה יש תת סדרה ששואפת לאפס (טור מתכנס -> סדרה שואפת לאפס). אבל מזה נובע שכל הגבולות החלקיים הם אפס, אחרת יש גבול חלקי שונה מאפס, יש תת סדרה ששואפת אליו, וכל תת סדרה שלה גם תשאף אליו בסתירה לכך שאחת מהן שואפת לאפס. ומכיוון שכל הגבולות החלקיים הינם אפס, גבול הסדרה הינו בהכרח אפס (limsup=liminf).
בכיוון השני, מספיק להוכיח את המשפט הבא: אם סדרה שואפת לאפס, יש לה תת סדרה שהטור שלה מתכנס (קל לראות לוגית שהמשפט הזה מספיק). ומה הטריק פה? לדלל את הסדרה המקורית... נניח הסדרה המקורית הינה <math>\frac{1}{n}</math> ברור ש<math>\frac{1}{n^2}</math> הינה תת סדרה שלה.
האלגוריתם המדויק הוא כזה. ניקח את הסדרה <math>\epsilon_n</math> כך ש <math>0<\epsilon_n < \frac{1}{n^2}</math>. כעת, לכל <math>\epsilon_n</math> קיים <math>n_{\epsilon_n}</math> כך שהחל ממנו והלאה הסדרה קטנה מ<math>\epsilon_n</math>. ניקח את האיברים המתאימים לאפסילונים לפי הסדר (לכל אפסילון נבחר את האיבר הראשון שקטן ממנו) וקל לראות לפי מבחן ההשוואה שהטור של תת הסדרה הנ"ל יתכנס.
מתוך הדברים שאמרתי, קל להוכיח את התרגיל השני.
==שאלה==
אני נתקל בבעיה הזו הרבה פעמים: איך אומים שהסדרה לוג איקס חלקי איקס היא מונוטונית יורדת? ואיך אומרים שלוג איקס חלקי איקס שואפת לאפס?? תודה..
:עבור סדרות (n טבעי) זה טרוויאלי - אפשר להראות את זה באינדוקציה. באופן כללי, בגלל ש-e^x שואפת לכל גבול מהר יותר מכל פולינום, אז ln(x) שהוא הפעולה ההפוכה שואף לכל גבול לאט יותר מכל פולינום.